Kurvendiskussion mit Beispielen

Einführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen

Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, muss man einiges über markante Punkte des Graphen und über seinen Verlauf im Definitionsbereich wissen. Eine Funktionen so auf ihre wichtigsten Eigenschaften zu untersuchen nennt man Kurvendiskussion. Dabei setzt man die einzelnen mathematischen Verfahren an, die wir in den letzten Beiträgen kennengelernt habe. Im folgenden werde ich jeweils darauf  verweisen. Man sollte dabei systematisch vorgehen und immer die gleiche Reihenfolge der Berechnungen  einhalten, damit man keine wichtigen Eigenheiten der Funktion übersieht. Als erstes werde ich eine Anleitung für die Kurvendiskussion vorstellen, die sich bewährt hat. Anschließend werde ich dies anhand eines Beispiels erklären und dabei auch die Berechnung mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 erklären. In den Aufgaben können Sie dann Beispiele aus der Praxis üben.

Anleitung für die Kurvendiskussion:

1. Definitionsbereich:

Man bestimmt den Definitionsbereich der Funktion, denn nur innerhalb dieses Bereiches ist es sinnvoll, Untersuchungen über die Eigenschaften der Funktion anzustellen.

2. Symmetrien:

siehe: Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen

Man stellt fest, ob die Funktion achsen – oder punktsymmetrisch ist.
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Speziell bei ganzrationalen Funktionen gilt:
Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn ihr Term nur Summanden mit geraden Exponenten enthält.
Eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn ihr Term nur Summanden mit ungeraden Exponenten enthält.

3. Extrempunkte:

siehe auch: Extrempunkte berechnen

Man bestimmt die relativen Extrema, man nennt sie auch Hoch- bzw. Tiefpunkte.
Das sind auch die Punkte mit waagerechter Tangente.

f_0590f_0591

4. Wendepunkte:

Siehe auch: Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente

Man bestimmt die Wendepunkte bzw. die Sattelpunkte

f_0592
Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

5. Achsenschnittpunkte:

Siehe auch: Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung

Wird der x- Wert Null ( x = 0 ) in die Funktionsgleichung von f(x) eingesetzt, erhält man den Schnittpunkt mit der y- Achse.
Die Schnittpunkt(e) mit der x- Achse erhält man durch Nullsetzen des Funktionsterms von f(x).

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6. Den Graphen zeichnen:

Mit allen bisher gesammelten Informationen lässt sich in den meisten Fällen nun der Graph zeichnen.
Dazu wird zunächst eine Wertetabelle angelegt.
Dabei zeigt es sich, welche Werte noch zu berechnen sind.
Diese kann man entweder mit dem Taschenrechner bestimmen, oder für ganzzahlige x- Werte mit dem HORNER-Schema.

7. Krümmungsverhalten und Monotonie:

Siehe auch: Monotonieeigenschaften

f_0594
Das heißt:
An den Wendestellen ändert sich das Krümmungsverhalten eines Graphen.
Das Monotonieverhalten ändert sich an den Extremstellen.

8. Randpunkte des Definitionsbereiches:

Untersuchung der Funktion in den Randpunkten des Definitionsbereichs.
Wenn der Definitionsbereich nicht beschränkt ist, dann muss man die beiden Grenzwerte

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bestimmen.
Anders ausgedrückt:
Man betrachtet den Verlauf der Funktionswerte für große x-Werte in sowohl positiver als auch negativer Richtung und fragt sich, wohin die Funktionswerte gehen .




Beispiel einer ausführlichen Kurvendiskussion

1.Definitionsbereich:

f_0596
Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert. Normalerweise gilt das immer für ganzrationale Funktionen. Es sei denn, man möchte die Definitionsmenge einschränken.

2.Symmetrien:

Da alle Exponenten gerade sind, liegt hier eine Achsensymmetrie vor,

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Der Vorteil  einer Achsensymmetrie besteht darin, dass Funktionswerte nur für positive x-Werte berechnet werden müssen. Für die entsprechend negativen x- Werte sind sie identisch.

3.Extrema:

Vorgehensweise zur Berechnung der Extrempunkte.
Man bildet die ersten beiden Ableitungen der Funktion f(x).
Nullsetzen der 1. Ableitung liefert die Stellen mit waagerechter Tangente.
Setzt man diese Werte in die 2. Ableitung ein, so erhält man eine Aussage über die Art des vorliegenden Extremums.
(Relatives Maximum oder relatives Minimum, bzw. kein Extrempunkt).
Die Werte der Extremstellen xi eingesetzt in die Funktionsgleichung ergeben die Extremwerte und damit sind die Koordinaten der Extrempunkte bekannt.
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Die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 habe ich unten erklärt.

4.Wendepunkte:

Vorgehensweise zur Berechnung der Wendepunkte:
Zusätzlich zu den ersten beiden Ableitungen von f(x) bildet man noch die dritte.
Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind mögliche Wendestellen.
Zur Überprüfung ob ein Wendepunkt vorliegt, werden die errechneten Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung eingesetzt.
Ist das Ergebnis ungleich Null, so bezeichnet der entsprechende x- Wert eine Wendestelle. Den dazugehörigen Funktionswert erhält man durch Einsetzen der x- Werte in den Term der Funktionsgleichung f(x).
f_0599

Die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 habe ich unten erklärt.

5.Achsenschnittpunkte:

f_0600
Die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 habe ich unten erklärt.

6.Wertetabelle und Graph:

f_0601
Die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 habe ich unten erklärt.

mc_110

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7.Krümmungsverhalten und Monotonie:

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8.Randpunkte des Definitionsbereiches:
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Berechnungen mit dem GTR Casio fx-CG20 und Casio fx-CG 50

Wer noch den  Casio fx-CG20 hat, kann sich auf der Webseite der Firma ein kostenloses Update herunterladen. Dann können Sie auch die neuen Funktionen des Casio fx-CG50 nutzen. Suchen Sie dazu auf https://www.casio-europe.com/de/ nach ‚FX-CG20 & FX-CG50 Betriebssystem-Update‘. Ich gebe hier nicht den direkten Link ein, weil es in der Zwischenzeit vielleicht bereits ein neueres Update gibt.

1. Berechnen Sie die Extrempunkte von

f_1944
Die Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor gibt man so ein:
g_0001
Um den Graphen optimal anzuzeigen, stellt man das Betrachtungsfenster auf
x: [ -4 ; 4 ] und y: [ -7 ; 5 ] eingestellt.
g_0002
Extremwerte:
g_0003
Pmax ( 0 | -2,25 ) ; Pmin1 ( -2 | -6,25 ) ; Pmin2 ( 2 | -6,25 )
gtr_0001
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

 

2. Berechnen Sie die Wendepunkte von
f_1944
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f‘ und f“ wie folgt ein:
g_0004

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.

g_0005

Die Wendestellen liegen bei xw1 = -1,1547.. und xw2 = 1,1547..

gtr_0002

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:

g_0006

Pw1 ( -1,1547.. | -4,472..) ; Pw2 ( 1,1547.. | -4,472..)
Diese Werte sind ungenau, mit SolveN wird die Berechnung präziser.
Die Nullstellen von f“(x) = 3x2 – 4 liefern die Wendestellen.
Die Nullstellen von f“(x) also xw1 und xw2 berechnet mit SolveN und speichert sie in Liste 3 ab.

g_0007

Eingabeprozedur:

g_0008

 

3. Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
f_1944
Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.Schnittpunkt mit der y-Achse:
g_0009
Nullstellen oder Schnittpunkte mit der x-Achse:
g_0010
Py ( 0 | -2,25 ) und Px1 ( -3 | 0) ; Px2 ( 3 | 0)
gtr_0003

 

4. Wertetabelle erstellen für
f_1944
Für das Intervall [ -4 ; 4 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden.
g_0011

Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):

g_0012

Weitere Beispiele zum grafikfähigen Taschenrechner finden Sie unter der Kategorie GTR, eine Einführung in den Casio fx-CG20 finden Sie hier.

Interaktiv: Kurvendiskussion:  Geben Sie einen ganzrationalen Term ein, das Javascript erstellt dann die Kurvendiskussion.
Interaktiv: Nullstellenfinder:  Geben Sie einen Term ein, das Javascript berechnet die Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades und zeichnet den Funktionsgraphen.


Hier finden Sie Aufgaben Differenzialrechnung XI

hier Aufgaben zur Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

In den nächsten 5 Beiträgen stelle ich ausführliche Beispiele vor,

hier  Kurvendiskussionen Beispiele 1

und  Kurvendiskussion Beispiel 2

und  Kurvendiskussion Beispiel 3

und  Kurvendiskussion Beispiel 4

und  Kurvendiskussion Beispiel 5



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