Einführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen
Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, muss man einiges über markante Punkte des Graphen und über seinen Verlauf im Definitionsbereich wissen. Eine Funktionen so auf ihre wichtigsten Eigenschaften zu untersuchen nennt man Kurvendiskussion. Dabei setzt man die einzelnen mathematischen Verfahren an, die wir in den letzten Beiträgen kennengelernt habe. Im folgenden werde ich jeweils darauf verweisen. Man sollte dabei systematisch vorgehen und immer die gleiche Reihenfolge der Berechnungen einhalten, damit man keine wichtigen Eigenheiten der Funktion übersieht. Als erstes werde ich eine Anleitung für die Kurvendiskussion vorstellen, die sich bewährt hat. Anschließend werde ich dies anhand eines Beispiels erklären und dabei auch die Berechnung mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 erklären. In den Aufgaben können Sie dann Beispiele aus der Praxis üben.
Anleitung für die Kurvendiskussion:
1. Definitionsbereich:
Man bestimmt den Definitionsbereich der Funktion, denn nur innerhalb dieses Bereiches ist es sinnvoll, Untersuchungen über die Eigenschaften der Funktion anzustellen.
2. Symmetrien:
siehe: Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen
Man stellt fest, ob die Funktion achsen – oder punktsymmetrisch ist.
Speziell bei ganzrationalen Funktionen gilt:
Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn ihr Term nur Summanden mit geraden Exponenten enthält.
Eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn ihr Term nur Summanden mit ungeraden Exponenten enthält.
3. Extrempunkte:
siehe auch: Extrempunkte berechnen
Man bestimmt die relativen Extrema, man nennt sie auch Hoch- bzw. Tiefpunkte.
Das sind auch die Punkte mit waagerechter Tangente.
4. Wendepunkte:
Siehe auch: Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente
Man bestimmt die Wendepunkte bzw. die Sattelpunkte
Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
5. Achsenschnittpunkte:
Siehe auch: Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung
Wird der x- Wert Null ( x = 0 ) in die Funktionsgleichung von f(x) eingesetzt, erhält man den Schnittpunkt mit der y- Achse.
Die Schnittpunkt(e) mit der x- Achse erhält man durch Nullsetzen des Funktionsterms von f(x).
6. Den Graphen zeichnen:
Mit allen bisher gesammelten Informationen lässt sich in den meisten Fällen nun der Graph zeichnen.
Dazu wird zunächst eine Wertetabelle angelegt.
Dabei zeigt es sich, welche Werte noch zu berechnen sind.
Diese kann man entweder mit dem Taschenrechner bestimmen, oder für ganzzahlige x- Werte mit dem HORNER-Schema.
7. Krümmungsverhalten und Monotonie:
Siehe auch: Monotonieeigenschaften
Das heißt:
An den Wendestellen ändert sich das Krümmungsverhalten eines Graphen.
Das Monotonieverhalten ändert sich an den Extremstellen.
8. Randpunkte des Definitionsbereiches:
Untersuchung der Funktion in den Randpunkten des Definitionsbereichs.
Wenn der Definitionsbereich nicht beschränkt ist, dann muss man die beiden Grenzwerte
bestimmen.
Anders ausgedrückt:
Man betrachtet den Verlauf der Funktionswerte für große x-Werte in sowohl positiver als auch negativer Richtung und fragt sich, wohin die Funktionswerte gehen .
Beispiel einer ausführlichen Kurvendiskussion
1.Definitionsbereich:
Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert. Normalerweise gilt das immer für ganzrationale Funktionen. Es sei denn, man möchte die Definitionsmenge einschränken.
2.Symmetrien:
Da alle Exponenten gerade sind, liegt hier eine Achsensymmetrie vor,
Der Vorteil einer Achsensymmetrie besteht darin, dass Funktionswerte nur für positive x-Werte berechnet werden müssen. Für die entsprechend negativen x- Werte sind sie identisch.
3.Extrema:
Vorgehensweise zur Berechnung der Extrempunkte.
Man bildet die ersten beiden Ableitungen der Funktion f(x).
Nullsetzen der 1. Ableitung liefert die Stellen mit waagerechter Tangente.
Setzt man diese Werte in die 2. Ableitung ein, so erhält man eine Aussage über die Art des vorliegenden Extremums.
(Relatives Maximum oder relatives Minimum, bzw. kein Extrempunkt).
Die Werte der Extremstellen xi eingesetzt in die Funktionsgleichung ergeben die Extremwerte und damit sind die Koordinaten der Extrempunkte bekannt.
Die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 habe ich unten erklärt.
4.Wendepunkte:
Vorgehensweise zur Berechnung der Wendepunkte:
Zusätzlich zu den ersten beiden Ableitungen von f(x) bildet man noch die dritte.
Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind mögliche Wendestellen.
Zur Überprüfung ob ein Wendepunkt vorliegt, werden die errechneten Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung eingesetzt.
Ist das Ergebnis ungleich Null, so bezeichnet der entsprechende x- Wert eine Wendestelle. Den dazugehörigen Funktionswert erhält man durch Einsetzen der x- Werte in den Term der Funktionsgleichung f(x).
Die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 habe ich unten erklärt.
5.Achsenschnittpunkte:
Die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 habe ich unten erklärt.
6.Wertetabelle und Graph:
Die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 habe ich unten erklärt.
7.Krümmungsverhalten und Monotonie:
8.Randpunkte des Definitionsbereiches:
Berechnungen mit dem GTR Casio fx-CG20 und Casio fx-CG 50
1. Berechnen Sie die Extrempunkte von
x: [ -4 ; 4 ] und y: [ -7 ; 5 ] eingestellt.
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.
Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
Die Wendestellen liegen bei xw1 = -1,1547.. und xw2 = 1,1547..
Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
Pw1 ( -1,1547.. | -4,472..) ; Pw2 ( 1,1547.. | -4,472..)
Diese Werte sind ungenau, mit SolveN wird die Berechnung präziser.
Die Nullstellen von f“(x) = 3x2 – 4 liefern die Wendestellen.
Die Nullstellen von f“(x) also xw1 und xw2 berechnet mit SolveN und speichert sie in Liste 3 ab.
Eingabeprozedur:
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.Schnittpunkt mit der y-Achse:
Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
Weitere Beispiele zum grafikfähigen Taschenrechner finden Sie unter der Kategorie GTR, eine Einführung in den Casio fx-CG20 finden Sie hier.
Interaktiv: Kurvendiskussion: Geben Sie einen ganzrationalen Term ein, das Javascript erstellt dann die Kurvendiskussion.
Interaktiv: Nullstellenfinder: Geben Sie einen Term ein, das Javascript berechnet die Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades und zeichnet den Funktionsgraphen.
Hier finden Sie Aufgaben Differenzialrechnung XI
hier Aufgaben zur Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen
In den nächsten 5 Beiträgen stelle ich ausführliche Beispiele vor,
hier Kurvendiskussionen Beispiele 1
und Kurvendiskussion Beispiel 2
und Kurvendiskussion Beispiel 3
und Kurvendiskussion Beispiel 4
und Kurvendiskussion Beispiel 5
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