Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente berechnen

Im letzten Beitrag hatten wir uns mit Extrempunkten in der Differentialrechnung beschäftigt. Diese brauchen wir um Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente zu berechnen. Zuerst erkläre ich anhand von Beispielen aus der Praxis diese Begriffe. Damit es leicht verständlich ist, stelle ich zuerst Wendepunkte beim Radfahren vor, danach Wendepunkte in der Mathematik. Danach zeige ich die Berechnung eines Wendepunkts anhand eines Beispiels mit Kommentar. Dann zeige ich die Berechnung des Sattelpunkts und die Ermittlung der Wendetangente. Schließlich stelle ich ein Beispiel aus der Kostenrechnung vor.

Beispiele 1 Wendepunkt beim Radfahren:

Du startest mit dem Fahrrad bei A, durchfährst eine S-Kurve und fährst dann weiter bis B.
Betrachte dazu bitte mal die jeweilige Lenkerstellung auf der Fahrstrecke.
Nachdem du durch die Linkskurve (Lenkerstellung nach links) fährst, fährst du durch die Rechtskurve (Lenkerstellung nach rechts).

des_063

Irgendwo zwischen der Linkskurve und der Rechtskurve muss der Lenker einmal gerade gestanden haben.
Mit anderen Worten: Wir hatten einen Wendepunkt.

Beispiel 2 beim Radfahren auf einem Berg:

Du fährst mit dem Fahrrad durch hügeliges Gelände.
Nachdem du die Talsohle durchfahren hast, beginnt die Straße anzusteigen.
Zuerst sanft, dann immer stärker.
Dann nimmt die Steigung wieder ab, um oben auf dem Berg den Wert Null zu erreichen.
Irgendwo auf der Strecke war der Anstieg am größten.
Mit anderen Worten: Dort befindet sich der Wendepunkt.

des_064

Beispiel 3 Radfahren, Steigung nimmt zu:

Eine andere Situation des Radfahrers ist Grafik unten zu entnehmen:
Bei einer Bergfahrt nimmt die Steigung zunächst ab, um dann erneut wieder anzusteigen.
Dazwischen befindet sich ein Gebiet mit geringer Steigung (Plateau).
Im Bereich des Plateaus ist der Anstieg der Strecke am geringsten.
Dort befindet sich der Wendepunkt.

des_065

Wendepunkte in der Mathematik

Wir wissen, das die erste Ableitung einer Funktion die Steigungsfunktion ist, aus deren Graphen man die Steigung ablesen kann.
Da der Wendepunkt der Punkt mit der größten oder auch kleinsten Steigung sein soll, findet man ihn, indem man die Extremwerte der Ableitungsfunktion bestimmt. Dieses Verfahren ist das gleiche, wie bei der Bestimmung der Ursprungsfunktion f(x), bezieht sich aber jetzt auf die Ableitungsfunktion f'(x).

Fassen wir die Bedingungen für Wendepunkte zusammen:

f_0579


 

Berechnung der Wendepunkte Beispiel mit Kommentar:

f_0580

 

des_066

Merke:
f_0581

Hier findest du Aufgaben hierzu


Berechnung des Sattelpunkts

Eine besondere Form des Wendepunktes ist der Sattelpunkt.
Das ist ein Wendepunkt mit der Steigung Null.
Nähert man sich von links, so glaubt man es käme ein relatives Maximum.
Nähert man sich von rechts, so glaubt man es käme ein relatives Minimum.
Es gibt jedoch keine Extremwerte. Wir untersuchen diesen Fall nun mathematisch:

f_0582

mc_107

f_0583


 

Ermittlung der Wendetangente

Die Tangente an den Funktionsgraphen im Wendepunkt heißt Wendetangente.
Die Gleichung der Wendetangente wird ebenso bestimmt wie die Tangentengleichung in einem beliebigen Punkt des Graphen.

Beispiel:

f_0584

mc_108

f_0585


Beispiel aus der Kostenrechnung

Für welche Ausbringungsmenge x wird bei gegebener Kostenfunktion der Kostenzuwachs am geringsten?

f_0586

f_0587mc_109f_0588


Hier findest du Aufgaben zur Differentialrechnung IX

Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung.