Aufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen

Bei diesen Aufgaben geht es darum, ganzrationale Funktionen auf Wendestellen zu untersuchen und  gegebenenfalls die Wendepunkte zu bestimmen.

Die Lösungen findest du weiter unten.

Aufgaben: Untersuche auf Wendestellen und bestimme gegebenenfalls die Wendepunkte

Dazu kannst du dir das 📽️Video Wendepunkte ansehen.

1.

f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + 5 Lösung

2.

f(x) = \dfrac{1}{2}x^3 - 4x^2 + 8x Lösung

3.

f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + 3x - 1 Lösung

4.

f(x) = -\dfrac{1}{4}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + 1 Lösung

5.

f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x - 1 Lösung

6.

f(x) = \dfrac{1}{2}x^4 - 3x^2 +\dfrac{3}{2} Lösung

7.

f(x) = -\dfrac{1}{2}x^4 + 3x^2 - 1 Lösung

8.

f(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 - x + \dfrac{1}{2} Lösung

9.

f(x) = -\dfrac{1}{4}x^4 + x^3 + 1 Lösung

10.

f(x) = \dfrac{1}{12}x^4 - \dfrac{3}{2}x^2 - 1 Lösung

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Lösungen

1. 1. Funktionslgeichung mit Ableitungen:

f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + 5 \quad f'(x) = \dfrac{3}{4}x^2 - 3x  \quad f''(x) = \dfrac{3}{2}x - 3 \quad f'''(x) =  \dfrac{3}{2}

2. Notwendige Bedingung für eine Wendestelle:

f''(x) 0 = \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 2  ist eine mögliche Wendestelle.

3. Nachweis über die dritte Ableitung ob eine Wendestelle vorliegt:

f'''(x) =  f'''(2) =   \dfrac{3}{2} \neq \Rightarrow x = x_w = 2  ist eine Wendestelle.

4. Bestimmen des Wendepunktes durch Einsetzen der Wendestelle in f(x):

f(x_x) = f(2) = \dfrac{1}{4} \cdot 2^3 - \dfrac{3}{2} \cdot 2^2 + 5  = \dfrac{8}{4} - \dfrac{12}{2} + 5 = 2 - 6 + 5 = 1 \Rightarrow \underline{ \underline{ P_w(2 | 1)}}

Die Graphen:

f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + 5 \quad f'(x) = \dfrac{3}{4}x^2 - 3x  \quad f''(x) = \dfrac{3}{2}x - 3 \quad f'''(x) =  \dfrac{3}{2}

2.

Die Graphen:

3.

Die Graphen:

4.

Die Graphen:

5.

Die Graphen:

6.

Die Graphen:

7.

Die Graphen:

8.

Die Graphen:

 

9.

Die Graphen:

10.
Die 

Graphen:

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Dazu findest du hier die Theorie: Wendepunkt Sattelpunkt und Wendetangente.
Und hier eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung.