Monotonieeigenschaften

Monotonieeigenschaften in der Differentialrechnung

Monotonie, Monotoniesatz

f_0554

des_052

f_0555

 

des_053

f_0556

In beiden Fällen spricht man von einer monotonen Funktion, und zwar von einer monoton wachsenden Funktion, wenn a1 > 0 ist,
und von einer monoton fallenden Funktion, wenn a1 < 0 ist.

Der Begriff Monotonie lässt sich auch auf Funktionen übertragen, deren Kurvenverlauf gekrümmt ist, wenn man bedenkt, dass man im Allgemeinen in jedem Kurvenpunkt eine Tangente an den Graphen legen kann.

des_054

f_0557

Der Anstieg des Graphen ist jetzt zwar nicht mehr konstant, wie dies bei der Geraden der Fall war, sondern er ändert sich von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt. Aber der Zusammenhang:

Wenn der Anstieg der Tangente > 0, dann ist die Kurve monoton wachsend
Wenn der Anstieg der Tangente < 0, dann ist die Kurve monoton fallend

bleibt erhalten.

Bekanntlich liefert die erste Ableitung der Funktion f(x) die Steigungsfunktion f'(x). Damit lässt sich der Monotoniesatz wie folgt formulieren:

Monotoniesatz:

f_0559




Bestimmung der Monotoniebereiche

Beispiel:

Aus dem Funktionsgraphen lassen sich häufig die Monotoniebereiche mehr oder weniger genau ablesen.

f_0560

des_055

Beispiel:

Folgende Monotoniebereiche lassen sich aus dem Graphen ablesen:

f_0562

f_0561

des_056

f_0563


Mit der Monotonie werden wir uns bei der Kurvendiskussion befassen. Dort gibt es dann auch Aufgaben dazu.



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