Hier findest du Aufgabe zur Differentialrechnung. Dabei geht es unter anderem darum, Kurvenpunkte zu berechnen.
1. Berechne die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente.
Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründe deine Entscheidung.
a) f(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{4}x
b) f(x) = \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4
c) f(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 - 2
2. Berechne die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x)!
Zeichne den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem!
f(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x
3. Bestimme a so, dass die Funktion f(x)in x = 2 eine Extremstelle hat.
Um welche Art von Extremstelle handelt es sich dabei?
f(x) = -\frac{1}{12}x^3 + ax^2 + 4 \quad mit \quad x \in \mathbb{R} \
4. Gegeben ist eine Funktion f(x).
Bestimme a so, dass der Extrempunkt des Graphen von f(x) auf der x-Achse liegt.
Ist der Extrempunkt ein Hoch – oder ein Tiefpunkt?
f(x) = \frac{1}{8} x^4 - x^3 + a
5. Die Funktion f(x) soll keine Extremstellen besitzen.
Welche Bedingungen müssen für diesen Fall die Koeffizienten erfüllen und wie viele Nullstellen hat dann f(x)? Begründe deine Antwort.
f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d
6. Berechne den Inhalt der Dreiecksfläche
Gegeben ist die Funktion f_a(x) = ax(x + 3)^2 mit x ∈ ℝ und a > 0.
Die Verbindungsgerade von Hoch und Tiefpunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Berechne den Inhalt der Dreiecksfläche in Abhängigkeit von a. Fertige zuvor eine Skizze an.
7. Untersuche auf Extrempunkte:
a)
b)
8. Berechne Extrem- und Wendepunkte der Graphen folgender Funktionen:
Berechne außerdem von Aufgabe 1, 4, 5, 6, und 7 die Achsenschnittpunkteund zeichne den Graphen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
