Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung

Achsenschnittpunkte ganzrationaler Funktionen

Nachdem wir uns im letzten Beitrag mit Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen beschäftigt haben, will ich hier zeigen, wie man die Nullstellen ganzrationaler Funktionen berechnet.

f_0353

Als erstes schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

Beispiel:

f_0354

Die y – Koordinate von Py ist immer identisch mit dem Koeffizienten a0.
Sie lässt sich stets aus der Funktionsgleichung ablesen.

f_0355

Von den quadratischen Funktionen (ganzrationale Funktionen 2. Grades) ist bekannt, dass sie zwei, eine oder keine Nullstelle haben können. Wie ist das nun bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades?

 Beispiele:
mc_061

f_0356

mc_062
f_0357

mc_063
f_0358

mc_064
f_0359

Satz:

Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.

 

Plotter für ganzrationale Funktionen 4. Grades   Interaktiv: Geben Sie die Koeffizienten obiger Funktionen ein und verändern Sie diese geringfügig. Beobachten Sie dabei die Veränderungen am Graphen.

Bevor einige gängige Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen behandelt werden, ist es hilfreich, sich zunächst etwas mit Polynomgleichungen zu beschäftigen, siehe auch hier. Man unterscheidet mehrere Varianten von Polynomgleichungen, für die es unterschiedliche Lösungsverfahren gibt.




Varianten von Polynomgleichungen

Variante 1

In der Gleichung kommt nur eine einzige Potenz der Variablen x vor.

f_1922
Falls n ungerade ist, darf der Radikand auch negativ sein.
Es gibt genau eine Lösung der Wurzel.
Falls n gerade ist, darf der Radikand nur positiv sein.
Es gibt zwei Lösungen.

Variante 2

Die Polynomgleichung stellt eine quadratische Gleichung dar.

f_1923 p-q-Formel
Diese lässt sich mithilfe der p-q-Formel berechnen, siehe auch hier.

Variante 3:

Die Polynomgleichung stellt eine biquadratische Gleichung dar.

f_1924 Lösung einer biquadratischen Gleichung
Die Substitutionsvariable z lässt sich mithilfe der p-q-Formel berechnen.
Anschließend muss zurücksubstituiert und die Wurzel gezogen werden.

Variante 4:

In der Polynomgleichung kommt kein absolutes Glied vor.

f_1925 Faktorisierungsverfahren
Die Variable x lässt sich ausklammern.
Lösungen werden nach dem Satz vom Nullprodukt berechnet (Faktorisierungsverfahren).

Variante 5:

Die Polynomgleichung entspricht nicht einer der Varianten 1 bis 4.
f_1926
In vielen Fällen lässt sich die Lösung durch die Polynomdivision finden.
Dazu muss aber eine Lösung bekannt sein.

Beispiele zu allen Varianten: Polynomgleichungen




Berechnungsverfahren für Nullstellen

Beispiel für das Faktorisierungsverfahren:

f_0360

Beispiel für das Substitutionsverfahren:

f_0361

Polynomdivision:

Ist eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion (Polynom) bekannt, dann kann der Grad des Polynoms durch Polynomdivision um eins verringert werden. Wenn das auf eine quadratische Gleichung führt, ist es ein leichtes, die weiteren Nullstellen zu finden. Folgendes Beispiel soll das Verfahren der Polynomdivision verdeutlichen:

Beispiel:

f_0362

f_0940

Horner- Schema:

Statt über die Polynomdivision kann der Grad einer ganzrationalen Funktion auch durch Anwendung des Horner- Schemas verringert werden.
Wir betrachten wieder die Funktion:

f_1406
Für die Berechnung weiterer Nullstellen von f (x) sind die Nullstellen des Restpolynoms zu bestimmen. Das geschieht durch Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung. Ergebnis siehe Beispiel mit Polynomdivision.

Beispiel:
f_1407

Beispiel:

f_1408

Wie die Beispiele zeigen, ist die Bestimmung des Restpolynoms mit dem Horner- Schema einfacher als mit der Polynomdivision.

Alle oben gezeigten Verfahren führen auf die Lösung einer quadratischen Gleichung. Falls dieses nicht gelingt, so werden numerische Verfahren benötigt, die an dieser Stelle nicht behandelt werden.


Nullstellenfinder   Interaktiv:
Nachdem Sie einen Term eingegeben haben, errechnet das JavaScript die Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades und zeichnet den Graphen.

Hier finden Sie 20 Aufgaben zur Polynomdivision und zum Bestimmen der Nullstellen, Schnittpunkte und Linearfaktoren
mit praktischen Tipps und Beispielen zu den in Frage kommenden Verfahren.

Hier finden Sie Aufgaben Achsenschnittpunkte und Graphen ganzrationaler Funktionen I

Diese und weitere Aufgaben sind in den Materialien enthalten, die Sie in unserem Shop erwerben können. Pakete mit vielen PDF-Datei ab 1 Euro und für Lehrer als WORD-Dateien, die beliebig geändert werden können.

Und hier eine Übersicht über weitere ganzrationale Funktionen.



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