Im letzten Beitrag habe ich die Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen erklärt. Hier zeige ich, wie man die Nullstellen ganzrationaler Funktionen berechnet. Mit anderen Worten: Wir berechnen die Achsenschnittpunkte. Zuerst zeige ich Funktionen und deren Graphen mit einer, mehreren und keiner Nullstelle. Danach erkläre ich eine Regel für Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Dann stelle ich einen interaktiven Rechner und einen Nullstellenfinder zur Verfügung. Anschließend stelle ich die Berechnungsverfahren vor: Faktorisierungsverfahren, Substitutionsverfahren, Polynomdivision, Horner- Schema.
Zuerst schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel:
Die y-Koordinate von Py ist immer identisch mit dem Koeffizienten a0. Deshalb lässt sie sich aus der Funktionsgleichung ablesen.
Von den quadratischen Funktionen (ganzrationale Funktionen 2. Grades) ist bekannt, dass sie zwei, eine oder keine Nullstelle haben können. Wie ist das jedoch bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades?
Beispiele für Achsenschnittpunkte:
Regel für Nullstellen ganzrationaler Funktionen:
Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Wenn der Grad n ungerade ist, sie mindestens eine Nullstelle.
Rechner für ganzrationale Funktionen 4. Grades Interaktiv: Gib die Koeffizienten obiger Funktionen ein und verändere diese geringfügig. Beobachte dabei die Veränderungen am Graphen!
Rechner Nullstellenfinder Interaktiv:
Nachdem du einen Term eingegeben hast, errechnet das JavaScript die Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades und zeichnet den Graphen.
Bevor man Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen behandelt, sollte man sich mit Polynomgleichungen zu beschäftigen, siehe auch hier. Man unterscheidet dabei mehrere Varianten von Polynomgleichungen, für die es unterschiedliche Lösungsverfahren gibt.
Varianten von Polynomgleichungen
Variante 1
In der Gleichung kommt nur eine einzige Potenz der Variablen x vor.
Falls n ungerade ist, darf der Radikand auch negativ sein.
Dann gibt es genau eine Lösung der Wurzel.
Falls n gerade ist, darf der Radikand nur positiv sein.
Dann gibt es zwei Lösungen.
Variante 2
Die Polynomgleichung stellt eine quadratische Gleichung dar.
Diese lässt sich mithilfe der p-q-Formel berechnen, siehe auch hier.
Variante 3:
Die Polynomgleichung stellt eine biquadratische Gleichung dar.
Die Substitutionsvariable z kann man mithilfe der p-q-Formel berechnen. Anschließend muss man zurücksubstituiert und die Wurzel ziehen.
Variante 4:
In der Polynomgleichung kommt kein absolutes Glied vor.
Die Variable x lässt sich ausklammern.
Dann berechnet man die Lösungen nach dem Satz vom Nullprodukt. Mit anderen Worten: Faktorisierungsverfahren.
Variante 5:
Die Polynomgleichung entspricht nicht einer der Varianten 1 bis 4.
In vielen Fällen lässt sich die Lösung durch die Polynomdivision finden. Dazu muss aber eine Lösung bekannt sein.
Beispiele zu allen Varianten: Polynomgleichungen
Berechnungsverfahren für Nullstellen
Beispiel für das Faktorisierungsverfahren:
Beispiel für das Substitutionsverfahren:
Polynomdivision:
Ist eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion (Polynom) bekannt, dann kann der Grad des Polynoms durch Polynomdivision um eins verringert werden. Wenn das auf eine quadratische Gleichung führt, ist es ein leichtes, die weiteren Nullstellen zu finden. Folgendes Beispiel verdeutlicht das Verfahren der Polynomdivision:
Beispiel:
Horner-Schema:
Statt über die Polynomdivision kann der Grad einer ganzrationalen Funktion auch durch Anwendung des Horner- Schemas verringert werden.
Wir betrachten wieder die Funktion:
Für die Berechnung weiterer Nullstellen von f (x) sind die Nullstellen des Restpolynoms zu bestimmen. Das geschieht durch Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung. Ergebnis siehe Beispiel mit Polynomdivision.
Beispiel:
Beispiel:
Wie die Beispiele zeigen, ist die Bestimmung des Restpolynoms mit dem Horner- Schema einfacher als mit der Polynomdivision.
Alle oben gezeigten Verfahren führen auf die Lösung einer quadratischen Gleichung. Falls dieses nicht gelingt, so werden numerische Verfahren benötigt, die an dieser Stelle nicht behandelt werden.
Hier findest du 20 Aufgaben zur Polynomdivision und zum Bestimmen der Nullstellen, Schnittpunkte und Linearfaktoren. Dazu gibt es praktische Tipps und Beispielen.
Und hier Aufgaben Achsenschnittpunkte und Graphen ganzrationaler Funktionen I
Außerdem findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen, darin auch Link zu weiteren Aufgaben.
