Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung

Achsenschnittpunkte ganzrationaler Funktionen

Im letzten Beitrag habe ich die Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen erklärt. Hier zeige ich, wie man die Nullstellen ganzrationaler Funktionen berechnet. Mit anderen Worten: Wir berechnen die Achsenschnittpunkte. Zuerst zeige ich Funktionen und deren Graphen mit einer, mehreren und keiner Nullstelle. Danach erkläre ich eine Regel für Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Dann stelle ich einen interaktiven Rechner und einen Nullstellenfinder zur Verfügung. Anschließend stelle ich die Berechnungsverfahren vor: Faktorisierungsverfahren, Substitutionsverfahren, Polynomdivision, Horner- Schema.

f_0353

Als erstes schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

Beispiel:

f_0354

Die y – Koordinate von Py ist immer identisch mit dem Koeffizienten a0.
Sie lässt sich deshalb aus der Funktionsgleichung ablesen.

f_0355

Von den quadratischen Funktionen (ganzrationale Funktionen 2. Grades) ist bekannt, dass sie zwei, eine oder keine Nullstelle haben können. Wie ist das jedoch bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades?

 Beispiele:
mc_061

f_0356

mc_062
f_0357

mc_063
f_0358

mc_064
f_0359

Regel für Nullstellen ganzrationaler Funktionen:

Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.

Rechner für ganzrationale Funktionen 4. Grades Interaktiv: Geben Sie die Koeffizienten obiger Funktionen ein und verändern Sie diese geringfügig. Beobachten Sie dabei die Veränderungen am Graphen.

Rechner Nullstellenfinder   Interaktiv:
Nachdem Sie einen Term eingegeben haben, errechnet das JavaScript die Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades und zeichnet den Graphen.

Bevor man Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen behandelt, sollte man sich mit Polynomgleichungen zu beschäftigen, siehe auch hier. Man unterscheidet mehrere Varianten von Polynomgleichungen, für die es unterschiedliche Lösungsverfahren gibt.




Varianten von Polynomgleichungen

Variante 1

In der Gleichung kommt nur eine einzige Potenz der Variablen x vor.

f_1922
Falls n ungerade ist, darf der Radikand auch negativ sein.
Es gibt genau eine Lösung der Wurzel.
Falls n gerade ist, darf der Radikand nur positiv sein.
Es gibt zwei Lösungen.

Variante 2

Die Polynomgleichung stellt eine quadratische Gleichung dar.

f_1923 p-q-Formel
Diese lässt sich mithilfe der p-q-Formel berechnen, siehe auch hier.

Variante 3:

Die Polynomgleichung stellt eine biquadratische Gleichung dar.

f_1924 Lösung einer biquadratischen Gleichung

Die Substitutionsvariable z kann man mithilfe der p-q-Formel berechnen.
Anschließend muss man zurücksubstituiert und die Wurzel ziehen.

Variante 4:

In der Polynomgleichung kommt kein absolutes Glied vor.

f_1925 Faktorisierungsverfahren
Die Variable x lässt sich ausklammern.
Lösungen werden nach dem Satz vom Nullprodukt berechnet (Faktorisierungsverfahren).

Variante 5:

Die Polynomgleichung entspricht nicht einer der Varianten 1 bis 4.

f_1926

In vielen Fällen lässt sich die Lösung durch die Polynomdivision finden.
Dazu muss aber eine Lösung bekannt sein.

Beispiele zu allen Varianten: Polynomgleichungen




Berechnungsverfahren für Nullstellen

Beispiel für das Faktorisierungsverfahren:

f_0360

Beispiel für das Substitutionsverfahren:

f_0361

Polynomdivision:

Ist eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion (Polynom) bekannt, dann kann der Grad des Polynoms durch Polynomdivision um eins verringert werden. Wenn das auf eine quadratische Gleichung führt, ist es ein leichtes, die weiteren Nullstellen zu finden. Folgendes Beispiel soll das Verfahren der Polynomdivision verdeutlichen:

Beispiel:

f_0362

f_0940

Horner- Schema:

Statt über die Polynomdivision kann der Grad einer ganzrationalen Funktion auch durch Anwendung des Horner- Schemas verringert werden.
Wir betrachten wieder die Funktion:

f_1406
Für die Berechnung weiterer Nullstellen von f (x) sind die Nullstellen des Restpolynoms zu bestimmen. Das geschieht durch Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung. Ergebnis siehe Beispiel mit Polynomdivision.

Beispiel:
f_1407

Beispiel:

f_1408

Wie die Beispiele zeigen, ist die Bestimmung des Restpolynoms mit dem Horner- Schema einfacher als mit der Polynomdivision.

Alle oben gezeigten Verfahren führen auf die Lösung einer quadratischen Gleichung. Falls dieses nicht gelingt, so werden numerische Verfahren benötigt, die an dieser Stelle nicht behandelt werden.




Hier finden Sie 20 Aufgaben zur Polynomdivision und zum Bestimmen der Nullstellen, Schnittpunkte und Linearfaktoren
mit praktischen Tipps und Beispielen zu den in Frage kommenden Verfahren.

Und hier Aufgaben Achsenschnittpunkte und Graphen ganzrationaler Funktionen I

Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen, darin auch Link zu weiteren Aufgaben.

Diese und weitere Materialien sind in den Dateien enthalten, die Sie in unserem Shop erwerben können. Dort gibt es Pakete mit vielen PDF-Dateien für Schüler ab 1 Euro. Für Lehrer gibt es WORD-Dateien, die Sie beliebig ändern können.

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