Trainingsaufgaben zu Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung

Trainingsaufgaben zu Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung

Teil I Führen Sie für folgende Terme die Polynomdivision durch

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Zu dieser Aufgabe ein paar Tipps:

Der erste Summand des zu teilenden Polynoms ( x3 ) wird durch den ersten Summanden des Teilers ( x ) dividiert. Das Ergebnis ( x2 ) wird mit dem Teiler ( x + 1 ) multipliziert und von dem zu teilenden Polynom subtrahiert. Mit dem Ergebnis der Subtraktion ( x2 – 5x – 6 ) verfährt man in gleicher Weise. Man führt dieses Verfahren so lange durch, bis das Subtraktionsergebnis Null ist. Danach macht man die Probe durch ausmultiplizieren.

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Auch zu dieser Aufgabe eine Starthilfe:

Da der Dividend keinen Summanden mit x2 enthält, wird an entsprechender Stelle eine Lücke gelassen. Das macht die Rechnung übersichtlicher. Der erste Summand des zu teilenden Polynoms (2x3 ) wird durch den ersten Summanden des Teilers ( x ) dividiert. Das Ergebnis ( 2x2 ) wird mit dem Teiler ( x – 3 ) multipliziert und von dem zu teilenden Polynom subtrahiert. Mit dem Ergebnis der Subtraktion ( 6x2 – 14x – 12 ) verfährt man in gleicher Weise. Man führt dieses Verfahren so lange durch, bis das Subtraktionsergebnis Null ist. Danach macht man die Probe durch ausmultiplizieren.

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Teil II

Berechnen Sie mit einem Ihnen geeignetem Verfahren die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen mit der x – Achse und stellen Sie die Funktionsgleichung als Produkt aus Linearfaktoren dar.

Als Hilfestellung gebe ich vorab ein paar Tipps und stelle die Verfahren anhand ausführliche Beispiel vor:

Nullstellenbestimmung mittels unterschiedlicher Verfahren

Die hier behandelten ganzrationalen Funktionen sind so beschaffen, dass folgende Lösungsverfahren angewendet werden können. 1.Durch ausklammern von x und anwenden des Satzes vom Nullprodukt ist eine quadratische Gleichung zu lösen. 2.Eine biquadratische Gleichung lässt sich durch Substitution in eine quadratische Gleichung verwandeln. 3.Eine Nullstelle ist durch probieren zu finden. Danach kann durch Polynomdivision der Grad der Gleichung reduziert werden, so dass eine quadratische Gleichung entsteht (Restpolynom). Vorteilhaft bei diesem Verfahren ist die Anwendung des Horner- Schemas um durch probieren die erste Nullstelle zu finden. Das Restpolynom kann dann auch ohne Polynomdivision gefunden werden. Ergebnisse der Polynomdivision bzw. der quadratischen Gleichungen werden nachfolgend ohne ausführlichen Lösungsweg dargestellt.

Ausführliches Beispiel:

Faktorisierungsverfahren

b1_e
Das Faktorisierungsverfahren lässt sich immer dann anwenden, wenn die Variable x oder eine Potenz davon aus dem Funktionsterm ausgeklammert werden kann.

Substitutionsverfahren

b2_e

Ist der Funktionsterm eine biquadratische Gleichung, dann lässt sich das Substitutionsverfahren anwenden.

Reduzierung des Grades durch Polynomdivision

b3_e

Reduzierung des Grades mittels Horner- Schema

b4_e
Die Lösung des Restpolynoms führt zur gleichen Lösung wie bei der Polynomdivision.




Hier nun die Aufgaben:

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Die Lösungen finden Sie hier.

und hier die Theorie dazu: Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung

Hier finden Sie weitere Aufgaben Achsenschnittpunkte und Graphen ganzrationaler Funktionen I

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Und hier eine Übersicht über weitere ganzrationale Funktionen.



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