Logarithmen und Logarithmengesetze

Logarithmen und Logarithmengesetze

In diesem Beispiel werde ich zuerst Beispiele für Logartihmen vorstellen. Danach definiere ich Logarithmen. Dann stelle ich Logarithmen zu gebräuchlichen Basen vor. Anschließend stelle ich die Logarithmengesetze vor: Logarithmus eines Produktes, eines Quotienten und einer Potenz. Danach zeige ich, wie man zwischen Logarithmensystemen umrechnet. Schließlich zeige ich die logarithmische Skalierungen.

Beim Lösen von linearen Gleichungen mit Potenzen haben wir nach dem Potenzwert und der Basis gesucht. Wie aber können wir vorgehen, wenn wir nach dem Exponenten suchen?

Logarithmus Beispiel:

f_0391
Auf der linken Seite steht eine Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 3.
Auf der rechten Seite der zugehörige Potenzwert 125.
Ersetzt man Basis, Exponent oder Potenzwert durch die Variable x, dann erhält man folgende Problemstellungen.

f_0392     f_0393

f_0394       f_0395

f_0396     Lösung ?

Das ist die Bestimmung des Exponenten in einer Gleichung, mit anderen Worten Logarithmieren.
Anders ausgedrückt: X ist gleich Logarithmus 125 zur Basis 5 und schreibt kurz:

f_0397

Logarithmus Definition:

f_0398
Der Logarithmus ist der Exponent (x), mit dem die Basis (a) potenziert wird, um den Potenzwert (b) zu erhalten.
Anders ausgedrückt: x ist der Logarithmus von b zur Basis a.

Beispiele:
f_0399
f_0400

Logarithmen zu gebräuchlichen Basen

Mit dem Taschenrechner lassen sich Logarithmen zur Basis 10 und solche zur Basis e (Natürlicher Logarithmus) berechnen. Natürliche Wachstumsvorgänge werden oft durch mathematische Terme, in denen Potenzen der Zahl e enthalten sind, beschrieben. Der natürliche Logarithmus (Logarithmus Naturalis) wird in Naturwissenschaft und Technik häufig verwendet. Deshalb hat man für solche Logarithmen besondere Schreibweisen eingeführt.

f_1426

Sonderfälle

f_1427

Logarithmus im Exponenten

Vielfach sind für Termumformungen folgende Beziehungen nützlich:

f_1428




Die Logarithmengesetze

Logarithmus eines Produktes

Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.

f_0401

Beispiel:

f_0402

Logarithmus eines Quotienten

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Dividend (Zähler) und Divisor (Nenner).

f_0403

Beispiel:

f_0404

Logarithmus einer Potenz

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Logarithmus der Basis multipliziert mit dem Exponenten.

f_0405

Beispiel:

f_0406

Merke:
f_0407

Beispiel:
f_1429


Umrechnung zwischen Logarithmensystemen

Da mit dem Taschenrechner nur dekadische und natürliche Logarithmen berechenbar sind, ist es von Fall zu Fall notwendig Logarithmen umzurechnen.

f_0408

Beispiel:
f_0409

Beweis:

f_1430




Anwendungsbeispiele

Der Bruchterm soll zur Basis 10 logarithmiert werden.

f_0410

Die Logarithmenterme sollen zu einem Logarithmenterm zusammengefasst werden.

f_0411

Umformungen mit Logarithmus im Exponenten.

f_1431

Logarithmische Skalierungen

Beispiel:

f_0412
mc_071

Ein Nachteil dieser Darstellung ist, dass Funktionswerte für kleine x-Werte nicht mehr abgelesen werden können.
des_039

Bei einer logarithmischen Skalierung der y – Achse werden die Graphen zu Geraden. Auf der y – Achse werden die Logarithmen der Funktionswerte abgetragen.

f_1432

f_0413

Beispiel Logarithmische Skalierungen:

f_0414

Graphisch lässt sich dieser Vorgang wie folgt darstellen:

mc_072
Lineare Skalenteilung

mc_073
Logarithmische Skalenteilung

f_0415

Bemerkung:

Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich ein exponentiell mit der Zeit abnehmender Wert halbiert hat.


Die wichtigsten Logarithmengesetze:

1. Logarithmus zur Basis a

Logarithmus zur Basis a

2. Logarithmus zur Basis 10 (Zehner- oder dekadischer Logarithmus) [LOG]-Taste

Logarithmus zur Basis 10

3. Logarithmus zur Basis e (Natürlicher Logarithmus oder Logarithmus Naturalis)

Logarithmus zur Basis e

4. Umrechnung von einem Logarithmensystem in ein anderes.
Logarithmenumrechnung





Hier finden Sie Aufgaben zu Logarithmen I berechnen und logarithmieren

und hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu Mathematischen Grundlagen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

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