Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen
mit komplettem Lösungsweg

1a) Lösen Sie die Gleichung   Ausführliche Lösung

Die Gleichung wird zunächst so umgeformt, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann wird unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze logarithmiert.

1b) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung 

Die Gleichung wird zunächst so umgeformt, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann wird unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze logarithmiert.

1c) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

1d) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

1e) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

 2,5^{kx} = 12 \, \, \, \, k \not=0 

 2,5^{kx} = 12 \, \, \, \, \vert : 2,5 

 \Leftrightarrow e^{kx} = 4,8 \, \, \, \, \vert \ln() 

 \Leftrightarrow kx = \ln(4,8) \, \, \, \, \vert :k 

 \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x = \frac{1}{k} \ln(4,8)}}} 

1f) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

1g) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

1h) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

1i) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

2a) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

 2 \cdot e^{3x} - 6 \cdot e^{x} = 0 \, \, \, \, \vert +6 \cdot e^{x} 

 \Leftrightarrow 2 \cdot e^{3x} = 6 \cdot e^{x} \, \, \, \, \vert :2 

 \Leftrightarrow e^{3x} = 3 \cdot e^{x} \, \, \, \, \vert \ln() 

 \Leftrightarrow 3x = \ln(3) + x \, \, \, \, \vert -x 

 \Leftrightarrow 2x = \ln(3) \, \, \, \, \vert :2 

 \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x = \frac{1}{2} \cdot \ln(3)}}} 

2b) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Tritt bei den Lösungsschritten ein Widerspruch auf, so hat die Gleichung keine Lösung.

2c) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

2d) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Nach dem Satz vom Nullprodukt muss x² = 0 sein und damit auch x. Denn ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Da die e-Funktion für keinen x- Wert Null werden kann, muss also x² Null sein.

2e) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

2f) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

3a) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

 e^{2x} - \frac{17}{2}e^{x} + 16 = 0 

Substitution:

 e^{x} = u \Leftrightarrow e^{2x} = u^{2} 

 \Leftrightarrow u^{2} - \frac{17}{2}u + 16 = 0 

quadratische Gleichung

 \Rightarrow p = - \frac{17}{4} ; \, q=16  

 D = (\frac{p}{2})^{2}-q = (- \frac{17}{2})^{2} - 16 = \frac{289}{4} - \frac{64}{4} = \frac{225}{4} 

 \Rightarrow \sqrt{D} = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2} 

 u_{1/2}= - \frac{p}{2} \pm \sqrt{D}

 u_1 = \frac{17}{2} + \frac{15}{2} = \frac{32}{2} = 16 

 u_2 = \frac{17}{2} - \frac{15}{2} = \frac{2}{2} = 1 

 u_1 = 16 \Leftrightarrow e^{x} = 16 \, \, \, \, \vert \ln() \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_1=\ln(16)}}}

 u_2 = 1 \Leftrightarrow e^{x}= 1 \, \, \, \, \vert \ln() \Leftrightarrow x_2 = \ln(1) \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_2 = 0}}} 

3b) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Die Multiplikation der Gleichung mit e^x vereinfacht den Term. Für u₂ gibt es keine Lösung, da u₂ negativ und für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

3c) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

 e^{-2x} - 10e^{-x} + 9 = 0 \, \, \, \, \vert \cdot e^{2x} 

 \Leftrightarrow 1 - 10e^{x} + 9e^{2x} = 0 

 \Leftrightarrow 9e^{2x} - 10e^{x} + 1 = 0 \, \, \, \, \vert :9 

 \Leftrightarrow e^{2x} - \frac{10}{9}e^{x} + \frac{1}{9} = 0 

Substitution:

 e^{x} = u \Leftrightarrow e^{2x} = u^{2} 

 \Leftrightarrow u^{2} - \frac{10}{9}u + \frac{1}{9} =0 

Quadratische Gleichung:

 \Rightarrow p_0 -\frac{10}{9} ; \, q=\frac{1}{9}

 D = (\frac{p}{2})^{2} - q = (-\frac{5}{9})^{2} - \frac{1}{9} = \frac{25}{81} - \frac{9}{81} = \frac{16}{81}

 \Rightarrow \sqrt{D} = \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{4}{9}

u_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{D}

 u_1 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1 

 u_2 = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9} 

 u_1 = 1 \Leftrightarrow e^{x} = 1 \, \, \, \, \vert \ln()

\Leftrightarrow x = \ln(1) \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_1 = 0}}}

u_2 = \frac{1}{9} \Leftrightarrow e^{x} = \frac{1}{9} \, \, \, \, \vert \ln()

\Leftrightarrow x = \ln(\frac{1}{9}) \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_2 = - \ln(9)}}}

3d) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Lösungsweg:
Das Quadrat des Klammerausdrucks wird als Produkt dargestellt. Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da beide Klammern identisch sind, ist das Ergebnis als doppelte Nullstelle zu werten.

3e) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Lösungsweg:
Zur Lösung der Aufgabe wird der Satz vom Nullprodukt angewendet. Nur der Klammerausdruck kann Null werden.

3f) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Die Gleichung hat keine Lösung. Der Wert der e-Funktion vor der Klammer ist für alle x größer Null. Der Klammerausdruck ist negativ, so dass auch das Produkt auf der linken Seite negativ ist. Das steht im Widerspruch zu dem Wert der rechten Seite, der positiv ist.

4a) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

4b) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

4c) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

4d) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis von 1 ist immer Null.

4e) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

4f) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

5a) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

5b) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis von 1 ist immer Null.

5c) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

5d) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet.

5e) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Jede der beiden Klammern wird Null gesetzt. Es gibt zwei unterschiedliche Lösungen.

5f) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

6a) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da die e-Funktion für keinen x- Wert Null werden kann, muss also der Klammerausdruck Null sein.

6b) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

6c) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

6d) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Für u₂ gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

6e) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

6f) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

6g) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

6h) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da entsprechend der Vorgabe k ungleich Null ist, kann nur der Klammerausdruck Null werden.

6i) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

7a) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

7b) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

7c) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

7d) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Für u₂ gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

7e) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Für u₂ gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

7f) Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

Hier finden Sie die Aufgaben hierzu.

Und hier die Theorie: Exponentialgleichungen.

Eine große Hilfe bieten die Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen.

Hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu Gleichungen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

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