Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben mit Exponentialgleichungen und e-Funktionen.

1.

a)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

01a_l

Die Gleichung wird zunächst so umgeformt, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann wird unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze logarithmiert.

1. b) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

01b_l
Die Gleichung wird zunächst so umgeformt, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann wird unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze logarithmiert.

1. c) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

01c_l

1. d) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

01d_l

1. e) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

 2,5^{kx} = 12 \, \, \, \, k \not=0 

 2,5^{kx} = 12 \, \, \, \, \vert : 2,5 

 \Leftrightarrow e^{kx} = 4,8 \, \, \, \, \vert \ln() 

 \Leftrightarrow kx = \ln(4,8) \, \, \, \, \vert :k 

 \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x = \frac{1}{k} \ln(4,8)}}} 

1. f) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

01f_l

1. g) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

01g_l

1. h) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

01h_l

1. i)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

01i_l

2.

a) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

 2 \cdot e^{3x} - 6 \cdot e^{x} = 0 \, \, \, \, \vert +6 \cdot e^{x} 

 \Leftrightarrow 2 \cdot e^{3x} = 6 \cdot e^{x} \, \, \, \, \vert :2 

 \Leftrightarrow e^{3x} = 3 \cdot e^{x} \, \, \, \, \vert \ln() 

 \Leftrightarrow 3x = \ln(3) + x \, \, \, \, \vert -x 

 \Leftrightarrow 2x = \ln(3) \, \, \, \, \vert :2 

 \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x = \frac{1}{2} \cdot \ln(3)}}} 

2. b)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

02b_l
Tritt bei den Lösungsschritten ein Widerspruch auf, so hat die Gleichung keine Lösung.

2. c) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

02c_l
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

2. d) 

Lösee die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

02d_l
Nach dem Satz vom Nullprodukt muss x2 = 0 sein und damit auch x. Denn ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Da die e-Funktion für keinen x-Wert Null werden kann, muss also x2 Null sein.

2. e) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

02e_l
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

2. f) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

02f_l
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

3.

a) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

 e^{2x} - \frac{17}{2}e^{x} + 16 = 0 

Substitution:

 e^{x} = u \Leftrightarrow e^{2x} = u^{2} 

 \Leftrightarrow u^{2} - \frac{17}{2}u + 16 = 0 

quadratische Gleichung

 \Rightarrow p = - \frac{17}{4} ; \, q=16  

 D = (\frac{p}{2})^{2}-q = (- \frac{17}{2})^{2} - 16 = \frac{289}{4} - \frac{64}{4} = \frac{225}{4} 

 \Rightarrow \sqrt{D} = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2} 

 u_{1/2}= - \frac{p}{2} \pm \sqrt{D}

 u_1 = \frac{17}{2} + \frac{15}{2} = \frac{32}{2} = 16 

 u_2 = \frac{17}{2} - \frac{15}{2} = \frac{2}{2} = 1 

 u_1 = 16 \Leftrightarrow e^{x} = 16 \, \, \, \, \vert \ln() \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_1=\ln(16)}}}

 u_2 = 1 \Leftrightarrow e^{x}= 1 \, \, \, \, \vert \ln() \Leftrightarrow x_2 = \ln(1) \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_2 = 0}}} 

3. b) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

03b_l
Die Multiplikation der Gleichung mit ex vereinfacht den Term. Für u2 gibt es keine Lösung, da u2 negativ und für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

3. c)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

e^{-2x} - 10e^{-x} + 9 = 0 \, \, \, \, \vert \cdot e^{2x} \\ \Leftrightarrow 1 - 10e^{x} + 9e^{2x} = 0 \\ \Leftrightarrow 9e^{2x} - 10e^{x} + 1 = 0 \, \, \, \, \vert :9 \\ \Leftrightarrow e^{2x} - \frac{10}{9}e^{x} + \frac{1}{9} = 0
Substitution: e^{x} = u \\ \Leftrightarrow e^{2x} = u^{2} \\ \Leftrightarrow u^{2} - \frac{10}{9}u + \frac{1}{9} =0
Quadratische Gleichung: \Rightarrow p_0 -\frac{10}{9} ; \, q=\frac{1}{9} \\ D = (\frac{p}{2})^{2} - q = (-\frac{5}{9})^{2} - \frac{1}{9} = \frac{25}{81} - \frac{9}{81} = \frac{16}{81} \\ \Rightarrow \sqrt{D} = \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{4}{9} \\ u_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{D} \\ u_1 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1 \\ u_2 = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9} \\ u_1 = 1 \Leftrightarrow e^{x} = 1 \, \, \, \, \vert \ln() \\ \Leftrightarrow x = \ln(1) \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_1 = 0}}} u_2 = \frac{1}{9} \Leftrightarrow e^{x} = \frac{1}{9} \, \, \, \, \vert \ln() \\ \Leftrightarrow x = \ln(\frac{1}{9}) \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_2 = - \ln(9)}}}

3. d) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

03d_l
Lösungsweg:
Das Quadrat des Klammerausdrucks wird als Produkt dargestellt. Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da beide Klammern identisch sind, ist das Ergebnis als doppelte Nullstelle zu werten.

3. e) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

03e_l
Lösungsweg:
Zur Lösung der Aufgabe wenden wir den Satz vom Nullprodukt an. Nur der Klammerausdruck kann Null werden.

3. f) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

03f_l
Die Gleichung hat keine Lösung. Der Wert der e-Funktion vor der Klammer ist für alle x größer Null. Der Klammerausdruck ist negativ, so dass auch das Produkt auf der linken Seite negativ ist. Das steht im Widerspruch zu dem Wert der rechten Seite, der positiv ist.

4.

a) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

04a_l

4. b) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

04b_l

4. c) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

04c_l

4. d) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

04d_l
Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis von 1 ist immer Null.

4. e) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

04e_l

4. f) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

04f_l

5.

a) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

05a_l

5. b) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

05b_l
Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis von 1 ist immer Null.

5. c)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

05c_l

5. d)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

05d_l
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet.

5. e) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

05e_l
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Jede der beiden Klammern wird Null gesetzt. Es gibt zwei unterschiedliche Lösungen.

5. f)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

05f_l

6.

a) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

06a_l
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da die e-Funktion für keinen x-Wert Null werden kann, muss also der Klammerausdruck Null sein.

6. b) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

06b_l

6. c) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

06c_l

6. d) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

06d_l
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

6. e)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

06e_l

6. f)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

06f_l

6. g)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

06g_l

6. h) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

06h_l
Wir wenden den Satz vom Nullprodukt an. Da entsprechend der Vorgabe k ungleich Null ist, kann nur der Klammerausdruck Null werden.

6. i) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

06i_l

7.

a) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

07a_l

7. b)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:07b_l

7. c) 

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

07c_l

7. d)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:07d_l
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

7. e)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:07e_l
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

7. f)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:07f_l

Hier findest du die Aufgaben hierzu.

Und hier die Theorie: Exponentialgleichungen.

Eine große Hilfe bieten die Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen.

Hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu Gleichungen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.