Lösungen Exponentialgleichungen IV

Lösungen: Exponentialgleichungen mit e-Funktionen

1a)Lösen Sie die Gleichung   Ausführliche Lösung

01a_l

Die Gleichung wird zunächst so umgeformt, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann wird unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze logarithmiert.

1b)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung 

01b_l
Die Gleichung wird zunächst so umgeformt, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann wird unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze logarithmiert.

1c)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

01c_l

1d)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

01d_l

1e)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

01e_l

1f)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

01f_l

1g)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

01g_l

1h)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

01h_l

1i)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

01i_l

2a)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

02a_l: Lösung einer Exponentialgleichung durch logarithmieren

2b)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

02b_l
Tritt bei den Lösungsschritten ein Widerspruch auf, so hat die Gleichung keine Lösung.

2c)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

02c_l
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.



2d)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

02d_l
Nach dem Satz vom Nullprodukt muss x2 = 0 sein und damit auch x. Denn ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Da die e- Funktion für keinen x- Wert Null werden kann, muss also x2 Null sein.

2e)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

02e_l
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

2f)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

02f_l
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

3a)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

03a_l: Lösung einer Exponentialgleichung durch Substitution

3b)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

03b_l
Die Multiplikation der Gleichung mit ex vereinfacht den Term. Für u2 gibt es keine Lösung, da u2 negativ und für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

3c)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

03c_l

3d)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

03d_l
Lösungsweg:
Das Quadrat des Klammerausdrucks wird als Produkt dargestellt. Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da beide Klammern identisch sind, ist das Ergebnis als doppelte Nullstelle zu werten.

3e)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

03e_l
Lösungsweg:
Zur Lösung der Aufgabe wird der Satz vom Nullprodukt angewendet. Nur der Klammerausdruck kann Null werden.

3f)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

03f_l
Die Gleichung hat keine Lösung. Der Wert der e- Funktion vor der Klammer ist für alle x größer Null. Der Klammerausdruck ist negativ, so dass auch das Produkt auf der linken Seite negativ ist. Das steht im Widerspruch zu dem Wert der rechten Seite, der positiv ist.

4a)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

04a_l

4b)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

04b_l

4c)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

04c_l

4d)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

04d_l
Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis von 1 ist immer Null.

4e)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

04e_l

4f)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

04f_l



5a)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

05a_l

5b)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

05b_l
Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis von 1 ist immer Null.

5c)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

05c_l

5d)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

05d_l
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet.

5e)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

05e_l
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Jede der beiden Klammern wird Null gesetzt. Es gibt zwei unterschiedliche Lösungen.

5f)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

05f_l

6a)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

06a_l
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da die e- Funktion für keinen x- Wert Null werden kann, muss also der Klammerausdruck Null sein.

6b)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

06b_l

6c)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

06c_l

6d)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

06d_l
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

6e)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

06e_l

6f)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

06f_l

6g)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

06g_l

6h)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

06h_l
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da entsprechend der Vorgabe k ungleich Null ist, kann nur der Klammerausdruck Null werden.

6i)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

06i_l

7a)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

07a_l

7b)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

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7c)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

07c_l

7d)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

07d_l
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

7e)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

07e_l
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

7f)Lösen Sie die Gleichung    Ausführliche Lösung

07f_l

Eine große Hilfe bieten die Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen

Aufgaben hierzu

Theorie: Exponentialgleichungen

und Exponentialfunktionen und die e-Funktion

Weitere Aufgaben: Exponentialgleichungen I einfache Exponentialgleichungen

und Aufgaben Exponentialgleichungen II mit e-hoch-x

und Aufgaben Exponentialgleichungen III mit gebrochenem Exponenten

und Aufgaben Exponentialgleichungen V mit e-Funktionen und Brüchen

und Aufgaben: Exponentialgleichungen VI mit Parametern

und Aufgaben Exponentialgleichungen VII mit Sachaufgaben



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