Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. In der modernen Mathematik spielen jedoch noch weitere Funktionen und Funktionsklassen eine große Rolle. Weil ich auf dieser Webseite nicht alle Funktionsklassen …
WeiterlesenKategorie: Differentialrechnung
Kostenrechnung als Anwendung der Differentialrechnung
Kostenrechnung als Anwendung der Differentialrechnung Nachdem wir uns intensiv mit der Kurvendiskussion beschäftigt haben, können wir nun sehen, wie es in der Kostenrechnung eingesetzt wird. Zuerst erkläre ich einige Begriffe, danach stelle ich ein konkretes …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 5
Beispiel 5 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrien 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 4
Beispiel 4 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 3
Beispiel 3 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 2
Beispiel 2 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 1
Kurvendiskussion Beispiel 1 Beispiel 1 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 jeweils unten 4.Wendepunkte: 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 jeweils unten 6.Wertetabelle …
WeiterlesenKurvendiskussion mit Beispielen
Einführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, muss man einiges über markante Punkte des Graphen und über seinen Verlauf im Definitionsbereich wissen. Eine Funktionen so auf …
WeiterlesenExponentialfunktionen und die e-Funktion
Exponentialfunktionen und die e-Funktion In diesem Beitrag erkläre ich zuerst, was eine Exponentialfunktion ist, stelle Beispiele für ihre Formel und Graphen vor. Die Zahl e wird auch Eulersche Zahl genannt. Danach zeige ich, wie man …
WeiterlesenExtrempunkte berechnen
Extrempunkte berechnen in der Differentialrechnung Bevor ich erkläre, wie man Extrempunkte in der Differentialrechnung berechnet, muss ich einige Begriffe definieren: Hochpunkt, relatives (lokales) Maximum , Tiefpunkt und relatives (lokales) Minimum. Danach zeige ich, wie man …
WeiterlesenTrainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades
Trainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Hier finden Sie die Lösungen und hier die Theorie: Extrempunkte berechnen Hier finden Sie …
WeiterlesenLösungen der Trainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades
Lösungen der Trainingsaufgaben: Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades Untersuchen Sie jeweils die ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Zeichnen Sie die Graphen der Funktion und deren beider Ableitungen in ein Koordinatensystem. …
WeiterlesenLösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX
Lösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX 1a) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1b) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung IX
Aufgaben zur Differentialrechnung IX Berechnen Sie die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) b) c) Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x). …
WeiterlesenWendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente
Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente berechnen Im letzten Beitrag hatten wir uns mit Extrempunkten in der Differentialrechnung beschäftigt. Diese brauchen wir um Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente zu berechnen. Als erstes werde ich anhand von Beispielen aus …
WeiterlesenLösungen der Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen
Lösungen der Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie gegebenenfalls die Wendepunkte. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Die Graphen: 4. Die Graphen: 5. Die …
WeiterlesenTrainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen
Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie ggf. die Wendepunkte. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Hier finden Sie die Lösungen und …
WeiterlesenMonotonieeigenschaften
Monotonieeigenschaften in der Differentialrechnung In diesem Beitrag werde ich als erstes erklären, was wir in der Differentialrechnung unter Monotonie verstehen. Danach stelle ich den Monotoniesatz vor und zeige anhand von anschaulichen Beispielen, wie man den …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VIII
Lösungen zur Differentialrechnung aus der Praxis 1a) Der Graph der Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel. Im Scheitelpunkt dieser sind die Grenzkosten am geringsten. 1b) 1c) 1d) 1e) Die Graphen: 2a) Von 0 bis …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung VIII
Aufgaben zur Differentialrechnung aus der Praxis 1. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 ME beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. a) Bestimmen Sie die Ableitung der …
WeiterlesenDifferentialrechnung Anwendungen aus Betriebswirtschaft und Naturwissenschaften
Differentialrechnung in der Praxis Nachdem wir die Theorie der Differentialrechnung in mehreren Beiträgen kennengelernt haben, stelle ich hier anhand von Beispielen die Anwendungen in der Praxis vor. Zuerst die Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung. Dazu muss …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI 1a) 1b) 1c) Eine waagerechte Tangente an f(x) liegt in den Punkten vor, wo die Steigung Null ist. 1d) 1e) 1f) Die Gerade, die f(x) in N ( 3 …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung VI
Aufgaben zur Differentialrechnung VI 1. a) An welchen Stellen hat f(x) die Steigung 2? b) Geben Sie ohne Rechnung eine weitere Stelle mit der gleichen Steigung an. Begründen Sie Ihre Vermutung. c) In welchen Punkten …
WeiterlesenTangente und Normale
Tangente, Normale berechnen Tangentensteigung Wie wir bereits in dem Beitrag Steigung und Tangente gesehen haben, ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x0 | f (x0) ) gleichbedeutend mit der Tangentensteigung in …
WeiterlesenLösungen der Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale
Lösungen der Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P0( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. …
WeiterlesenTrainingsaufgaben zu Tangente und Normale
Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. Bemerkungen zur …
WeiterlesenLösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI
Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) Die Anwendung der Produktregel wäre hier zu aufwendig. 2e) 2f) …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung VI
Aufgaben zur Differentialrechnung VI Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 4a) 4b) 4c) 4d) …
WeiterlesenAbleitungen höherer Ordnung
Ableitungen höherer Ordnung Im letzten Beitrag hatte ich die Differentionsregeln erklärt. Mit deren Hilfe konnten Sie einfach Funktionen ableiten. Außer der ersten Ableitung einer Funktion kennt man jedoch auch Ableitungen höherer Ordnung, die durch weiteres …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V 1. Leiten Sie ab! 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2. Bilden Sie die Ableitung. Verwenden Sie die Ihnen bekannten Ableitungsregeln. Notieren Sie die …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung V
Aufgaben zur Differentialrechnung V 1. Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2. Bilden Sie die Ableitungen folgender Funktionen. Verwenden Sie die Ihnen bekannten Ableitungsregeln. Notieren Sie die …
WeiterlesenDifferentiationsregeln
Differentiationsregeln Nachdem ich in den letzten Beiträgen mit anschaulichen Beispielen aus der Praxis in die Differentialrechnung eingeführt habe, erkläre ich hier die Differentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel. Vorher wiederhole ich einige Regeln aus den Grundlagen der …
WeiterlesenSekantensteigung, Tangentensteigung und Steigungsfunktion
Nachdem wir uns in den letzten beiden Beiträgen mit Steigung, Tangente. Differentialquotient und Ableitung beschäftigt haben, will ich die die Differentialrechnung noch einmal von einer anderen Seite erklären. Diesmal mit dem Schwerpunkt auf Sekantensteigung, Tangentensteigung …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV 1.Leiten Sie jeweils ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2.Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 3.Leiten Sie …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung IV
Aufgaben zur Differentialrechnung IV Leiten Sie jeweils ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 3g) …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung III
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung III Leiten Sie ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung II
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung II 1a) Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle gibt die Steigung des …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung II
Aufgaben zur Differentialrechnung II 1. Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. a) b) c) d) 2. Leiten Sie ab. a) …
WeiterlesenDifferentialquotient und Ableitung
Von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung Im letzten Beitrag hatte ich anhand praktischer Beispiele gezeigt, was Steigung und Tangente sind und damit in die Differentialrechnung eingeführt. Hier werde ich anhand von Beispielen aus der Praxis zuerst erklären, …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung I
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung I Steigung und Tangente 1a) b) Die Wasserstoffproduktion pro Zeiteinheit wird immer geringer c) 2. 3a) 3b) Die Gleichung der Sekante s(x) durch die Punkte P und Q ist genauso …
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