Lösungen zu Differentationsregeln und Integrationsregeln mit komplettem Lösungsweg Teil 1 1.Ausführliche Lösung: 2.Ausführliche Lösung: 3.Ausführliche Lösung: 4.Ausführliche Lösung: 5.Ausführliche Lösung: 6.Ausführliche Lösung: 7.Ausführliche Lösung: 8.Ausführliche Lösung: 9.Ausführliche Lösung: 10.Ausführliche Lösung: Teil 2 1.Ausführliche Lösung: Die …
WeiterlesenKategorie: Differentialrechnung
Anwendungen der Exponentialfunktion
Anwendungen der Exponentialfunktion Nachdem wir im letzten Beitrag die Exponentialfunktionen und die e-Funktion kennengelernt haben, stelle ich hier einige praktische Anwendungsbereiche vor. Zuerst erkläre ich, wie man die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellt. Dazu stelle ich …
WeiterlesenÜberblick über die wichtigsten Funktionsklassen
Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. In der modernen Mathematik spielen jedoch noch weitere Funktionen und Funktionsklassen eine große Rolle. Weil ich auf dieser Webseite nicht alle Funktionsklassen …
WeiterlesenKostenrechnung als Anwendung der Differentialrechnung
Kostenrechnung als Anwendung der Differentialrechnung Nachdem wir uns intensiv mit der Kurvendiskussion beschäftigt haben, können wir nun sehen, wie es in der Kostenrechnung eingesetzt wird. Zuerst erkläre ich einige Begriffe, danach stelle ich ein konkretes …
WeiterlesenKurvendiskussion 5 Beispiel 4. Grades Casio fx-CG50
Kurvendiskussion Beispiel 5 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrien 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen …
WeiterlesenKurvendiskussion 4 Beispiel 4. Grades Casio fx-CG50
Kurvendiskussion Beispiel 4 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen …
WeiterlesenKurvendiskussion 3 Beispiel 4. Grades Casio fx-CG50
Kurvendiskussion Beispiel 3 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten …
WeiterlesenKurvendiskussion 2 Beispiel 3. Grades Casio fx-CG50
Kurvendiskussion Beispiel 2 mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG …
WeiterlesenKurvendiskussion 1 Beispiel 3. Grades Casio fx-CG50
Kurvendiskussion Beispiel 1 mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades In diesem Beitrag zeige ich ein ausführliches Beispiel zu einer Kurvendiskussion, die Lösung mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 finden Sie weiter unten. …
WeiterlesenEinführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen
Einführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen In diesem Beitrag erkläre ich zuerst allgemein, was eine Kurvendiskussion ist und das man dabei beachten sollte. Danach gebe ich eine Anleitung für die Kurvendiskussion, die sich bewährt hat. …
WeiterlesenExponentialfunktionen und die e-Funktion
Exponentialfunktionen und die e-Funktion In diesem Beitrag geht es um die Zahl e als Basis der e- Funktion, deren graphische Darstellung, Spiegelung, Verschiebung, Steckung und die wesentlichen Eigenschaften dieser Funktion. Zuerst erkläre ich, was eine …
WeiterlesenExtrempunkte berechnen Differentialrechnung
Extrempunkte berechnen in der Differentialrechnung Bevor ich erkläre, wie man Extrempunkte in der Differentialrechnung berechnet, muss ich einige Begriffe definieren: Hochpunkt, relatives (lokales) Maximum , Tiefpunkt und relatives (lokales) Minimum. Danach zeige ich, wie man …
WeiterlesenAufgaben Extrempunkte ganzr Funktion dritten Grades
Trainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Hier finden Sie die Lösungen und hier die Theorie: Extrempunkte berechnen Hier finden …
WeiterlesenLösungen Aufgaben Extrempunkte g F dritten Grades
Lösungen der Trainingsaufgaben: Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades mit komplettem Lösungsweg Untersuchen Sie jeweils die ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Zeichnen Sie die Graphen der Funktion und deren beider Ableitungen …
WeiterlesenLösungen Aufgabe zur Differentialrechnung IX
Lösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX mit komplettem Lösungsweg 1a) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1b) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung IX
Aufgaben zur Differentialrechnung IX Berechnen Sie die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) b) c) Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x). Zeichnen Sie den …
WeiterlesenWendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente
Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente berechnen Im letzten Beitrag hatten wir uns mit Extrempunkten in der Differentialrechnung beschäftigt. Diese brauchen wir um Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente zu berechnen. Zuerst erkläre ich anhand von Beispielen aus der …
WeiterlesenLösungen Trainingsaufgaben Wendepunkt ganzr Funkt
Lösungen der Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen mit komplettem Lösungsweg Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie gegebenenfalls die Wendepunkte. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Die Graphen: 4. Die …
WeiterlesenTrainingsaufgaben Wendepunkt berechnen
Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie ggf. die Wendepunkte. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Hier finden Sie die Lösungen und …
WeiterlesenMonotonieeigenschaften in der Differentialrechnung
Monotonieeigenschaften in der Differentialrechnung In diesem Beitrag werde ich zuerst erklären, was wir in der Differentialrechnung unter Monotonie verstehen. Danach stelle ich den Monotoniesatz vor und zeige anhand von anschaulichen Beispielen, wie man den Monotoniebereich …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VIII
Lösungen zur Differentialrechnung aus der Praxis 1a) Der Graph der Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel. Im Scheitelpunkt dieser sind die Grenzkosten am geringsten. 1b) 1c) 1d) 1e) Die Graphen: 2a) Von 0 bis …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung aus der Praxis
Aufgaben zur Differentialrechnung VIII aus der Praxis 1. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 ME beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. a) Bestimmen Sie die Ableitung …
WeiterlesenDifferentialrechnung Anwendungen aus Betriebswirtschaft und Naturwissenschaften
Differentialrechnung in der Praxis Nachdem wir die Theorie der Differentialrechnung in mehreren Beiträgen kennengelernt haben, stelle ich hier anhand von Beispielen die Anwendungen in der Praxis vor. Zuerst die Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung. Dazu muss …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg 1a) 1b) 1c) Eine waagerechte Tangente an f(x) liegt in den Punkten vor, wo die Steigung Null ist. 1d) 1e) 1f) Die Gerade, die f(x) in …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung Tangente
Aufgaben zur Differentialrechnung VI 1. a) An welchen Stellen hat f(x) die Steigung 2? b) Geben Sie ohne Rechnung eine weitere Stelle mit der gleichen Steigung an. Begründen Sie Ihre Vermutung. c) In welchen Punkten …
WeiterlesenTangente und Normale
Tangente, Normale berechnen Tangentensteigung Wie wir bereits in dem Beitrag Steigung und Tangente gesehen haben, ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x0 | f (x0) ) gleichbedeutend mit der Tangentensteigung in …
WeiterlesenLösungen der Trainingsaufgaben Tangente, Normale
Lösungen der Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale mit komplettem Lösungsweg Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P0( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente …
WeiterlesenTrainingsaufgaben zu Tangente und Normale
Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. Bemerkungen zur …
WeiterlesenLösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI
Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) Die Anwendung der Produktregel wäre hier zu aufwendig. …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung VI
Aufgaben zur Differentialrechnung VI Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 4a) 4b) 4c) 4d) …
WeiterlesenAbleitungen höherer Ordnung
Ableitungen höherer Ordnung In diesem Beitrag stelle ich die Funktionsgraphen einiger Funktionen mit ihren dazugehörigen Ableitungsfunktionen vor. Im letzten Beitrag hatte ich die Differentionsregeln erklärt. Mit deren Hilfe konnten Sie einfach Funktionen ableiten. Außer der …
WeiterlesenLösungen Aufgaben Differentiationsregeln
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V Differentiationsregeln mit komplettem Lösungsweg 1. Leiten Sie ab! 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2. Bilden Sie die Ableitung. Verwenden Sie die Ihnen bekannten …
WeiterlesenAufgaben zu Differentiationsregeln
Aufgaben zur Differentialrechnung V Differentiationsregeln 1. Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2. Bilden Sie die Ableitungen folgender Funktionen. Verwenden Sie die Ihnen bekannten Ableitungsregeln. Notieren Sie …
WeiterlesenDifferentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel
Differentiationsregeln Nachdem ich in den letzten Beiträgen mit anschaulichen Beispielen aus der Praxis in die Differentialrechnung eingeführt habe, erkläre ich hier die Differentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel. Zuerst wiederhole ich einige Regeln aus den Grundlagen der …
WeiterlesenSekantensteigung, Tangentensteigung
Nachdem wir uns in den letzten beiden Beiträgen mit Steigung, Tangente. Differentialquotient und Ableitung beschäftigt haben, will ich die die Differentialrechnung noch einmal von einer anderen Seite erklären. Diesmal mit dem Schwerpunkt auf Sekantensteigung, Tangentensteigung …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV 1.Leiten Sie jeweils ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2.Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 3.Leiten Sie …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung IV
Aufgaben zur Differentialrechnung IV Leiten Sie jeweils ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 3g) …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung III
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung III mit komplettem Lösungsweg Leiten Sie ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) …
WeiterlesenLösungen Aufgaben Differentialrechnung II Steigung
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung II mit komplettem Lösungsweg 1a) Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle gibt …
WeiterlesenAufgaben Differentialrechnung II Steigung berechnen
Aufgaben zur Differentialrechnung II, ableiten, Steigung berechnen 1. Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. a) b) c) d) 2. Leiten Sie ab. a) b) c) …
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