Lösungen zu Differentationsregeln und Integrationsregeln mit komplettem Lösungsweg Teil 1 1.Ausführliche Lösung: 2.Ausführliche Lösung: 3.Ausführliche Lösung: 4.Ausführliche Lösung: 5.Ausführliche Lösung: 6.Ausführliche Lösung: 7.Ausführliche Lösung: 8.Ausführliche Lösung: 9.Ausführliche Lösung: 10.Ausführliche Lösung: Teil 2 1.Ausführliche Lösung: Die Ableitung erfolgt mit Hilfe der Kettenregel. 2.Ausführliche Lösung: 3.Ausführliche Lösung: 4.Ausführliche Lösung: 5.Ausführliche Lösung: 6.Ausführliche Lösung: 7.Ausführliche Lösung: […]
Kategorie: Differentialrechnung
Anwendungen der Exponentialfunktion Nachdem wir im letzten Beitrag die Exponentialfunktionen und die e-Funktion kennengelernt haben, stelle ich hier einige praktische Anwendungsbereiche vor. Zuerst erkläre ich, wie man die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellt. Dazu stelle ich eine Übungsaufgabe mit Lösung zur Verfügung. Danach definiere ich die Exponentialfunktion. Anschließend stelle ich spezielle Beispiele zur e-Funktion vor: Exponentielles […]
Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. In der modernen Mathematik spielen jedoch noch weitere Funktionen und Funktionsklassen eine große Rolle. Weil ich auf dieser Webseite nicht alle Funktionsklassen behandele, gebe ich in diesem Beitrag einen Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen mit vielen Beispielen. Außerdem stelle ich Trainingsaufgaben zu […]
Kostenrechnung als Anwendung der Differentialrechnung Nachdem wir uns intensiv mit der Kurvendiskussion beschäftigt haben, können wir nun sehen, wie es in der Kostenrechnung eingesetzt wird. Zuerst erkläre ich einige Begriffe, danach stelle ich ein konkretes Beispiel vor. Begriffe der Kostenrechnung Gesamtkosten (Ertragliche Kostenfunktion) sind die in einem Betrieb bei der Produktion eines Produktes entstehenden Kosten. […]
Kurvendiskussion Beispiel 5 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrien 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 unten 6.Wertetabelle und […]
Kurvendiskussion Beispiel 4 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG […]
Kurvendiskussion Beispiel 3 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und […]
Kurvendiskussion Beispiel 2 mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 6.Wertetabelle und Graph: Lösungen mit dem […]
Kurvendiskussion Beispiel 1 mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades In diesem Beitrag zeige ich ein ausführliches Beispiel zu einer Kurvendiskussion, die Lösung mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 finden Sie weiter unten. 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 jeweils unten 4.Wendepunkte: 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem […]
Einführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen In diesem Beitrag erkläre ich zuerst allgemein, was eine Kurvendiskussion ist und das man dabei beachten sollte. Danach gebe ich eine Anleitung für die Kurvendiskussion, die sich bewährt hat. Anschließend werde ich dies anhand eines Beispiels erklären und dabei auch die Berechnung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 […]
Exponentialfunktionen und die e-Funktion In diesem Beitrag geht es um die Zahl e als Basis der e-Funktion, deren graphische Darstellung, Spiegelung, Verschiebung, Steckung und die wesentlichen Eigenschaften dieser Funktion. Zuerst erkläre ich, was eine Exponentialfunktion ist, stelle Beispiele für ihre Formel und Graphen vor. Die Zahl e wird auch Eulersche Zahl genannt. Danach zeige ich, […]
Extrempunkte berechnen in der Differentialrechnung Bevor ich erkläre, wie man Extrempunkte in der Differentialrechnung berechnet, muss ich einige Begriffe definieren: Hochpunkt, relatives (lokales) Maximum , Tiefpunkt und relatives (lokales) Minimum. Danach zeige ich, wie man die Extrempunkte des Graphen einer Funktion findet. Dann zeige ich den Nachweis für Extrempunkte über Vorzeichenwechsel von f'(x) und mit […]
Trainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Hier finden Sie die Lösungen und hier die Theorie: Extrempunkte berechnen Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung, darin auch Links zu weiteren Aufgaben. Gefällt dir die Seite? Dann […]
Lösungen der Trainingsaufgaben: Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades mit komplettem Lösungsweg Untersuchen Sie jeweils die ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Zeichnen Sie die Graphen der Funktion und deren beider Ableitungen in ein Koordinatensystem. Aufgabe Berechnung: Die Graphen: 2. Aufgabe Berechnung: Die Graphen: 3. Aufgabe Berechnung: Die Graphen: 4. Aufgabe Berechnung: […]
Lösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX mit komplettem Lösungsweg 1a) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1b) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1c) Die Ableitung f'(x) hat an der Stelle x1/2 = […]
Aufgaben zur Differentialrechnung IX Berechnen Sie die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) b) c) Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x). Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. Bestimmen Sie a so, dass die Funktion f(x)in x = 2 eine Extremstelle hat. Um […]
Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente berechnen Im letzten Beitrag hatten wir uns mit Extrempunkten in der Differentialrechnung beschäftigt. Diese brauchen wir um Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente zu berechnen. Zuerst erkläre ich anhand von Beispielen aus der Praxis diese Begriffe. Damit es leicht verständlich ist, stelle ich zuerst Wendepunkte beim Radfahren vor, danach Wendepunkte in der Mathematik. […]
Lösungen der Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen mit komplettem Lösungsweg Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie gegebenenfalls die Wendepunkte. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Die Graphen: 4. Die Graphen: 5. Die Graphen: 6. Die Graphen: 7. Die Graphen: 8. Die Graphen: 9. Die Graphen: 10. Die Graphen: Hier […]
Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie ggf. die Wendepunkte. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Hier finden Sie die Lösungen und hier eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung. Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like […]
Monotonieeigenschaften in der Differentialrechnung In diesem Beitrag werde ich zuerst erklären, was wir in der Differentialrechnung unter Monotonie verstehen. Danach stelle ich den Monotoniesatz vor und zeige anhand von anschaulichen Beispielen, wie man den Monotoniebereich bestimmt. Monotonie, Monotoniesatz In beiden Fällen spricht man von einer monotonen Funktion, und zwar von einer monoton wachsenden Funktion, […]
Lösungen zur Differentialrechnung aus der Praxis 1a) Der Graph der Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel. Im Scheitelpunkt dieser sind die Grenzkosten am geringsten. 1b) 1c) 1d) 1e) Die Graphen: 2a) Von 0 bis 1 s : Bewegung mit gleichbleibender Geschwindigkeit v = 2 m/s Von 1 bis 2 s: Stillstand v = 0 […]
Aufgaben zur Differentialrechnung VIII aus der Praxis 1. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 ME beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. a) Bestimmen Sie die Ableitung der Kostenfunktion (Differentialkostenfunktion oder Grenzkostenfunktion) und zeichnen Sie den Graphen. Beschreiben Sie den Graphen. b) Berechnen Sie die minimalen Differentialkosten. […]
Differentialrechnung in der Praxis Nachdem wir die Theorie der Differentialrechnung in mehreren Beiträgen kennengelernt haben, stelle ich hier anhand von Beispielen die Anwendungen in der Praxis vor. Zuerst die Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung. Dazu muss ich die Begriffe Kostenfunktion, Differentialkosten und Grenzkosten erläutern. Danach stelle ich die Naturwissenschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung vor. Betriebswirtschaftliche Anwendungen der […]
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg 1a) 1b) 1c) Eine waagerechte Tangente an f(x) liegt in den Punkten vor, wo die Steigung Null ist. 1d) 1e) 1f) Die Gerade, die f(x) in N ( 3 | 0) schneidet, ist die Normale in diesem Punkt. Die Graphen: 2a) Charakteristische Punkte sind Nullstellen, die […]
Aufgaben zur Differentialrechnung VI 1. a) An welchen Stellen hat f(x) die Steigung 2? b) Geben Sie ohne Rechnung eine weitere Stelle mit der gleichen Steigung an. Begründen Sie Ihre Vermutung. c) In welchen Punkten hat f(x) eine waagerechte Tangente? Geben Sie die Gleichung an. d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f(x) im […]
Kategorien
Tangente und Normale
Tangente, Normale berechnen Tangentensteigung Wie wir bereits in dem Beitrag Steigung und Tangente gesehen haben, ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x0 | f (x0) ) gleichbedeutend mit der Tangentensteigung in diesem Punkt. Deshalb werde ich in diesem Beitrag zeigen, wie man Tangente und Normale berechnet, mit anderen Worten: Wie man […]
Lösungen der Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale mit komplettem Lösungsweg Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P0( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Berechnung: Die Graphen: 4. Berechnung: Die Graphen: 5. Berechnung: Die […]
Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. Bemerkungen zur Tangente: Die Steigung eines Graphen in einem Punkt, entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Über die erste Ableitung, […]
Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) Die Anwendung der Produktregel wäre hier zu aufwendig. 2e) 2f) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 4a) 4b) Die Anwendung der Produktregel wäre hier zu aufwendig. […]
Aufgaben zur Differentialrechnung VI Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 4a) 4b) 4c) 4d) 4e) 4f) 4g) 4h) 5. 5a) 5b) In welchem Punkt hat f(x) eine Tangente mit der Steigung 3? 5c) […]
Ableitungen höherer Ordnung In diesem Beitrag stelle ich die Funktionsgraphen einiger Funktionen mit ihren dazugehörigen Ableitungsfunktionen vor. Im letzten Beitrag hatte ich die Differentionsregeln erklärt. Mit deren Hilfe konnten Sie einfach Funktionen ableiten. Außer der ersten Ableitung einer Funktion kennt man jedoch auch Ableitungen höherer Ordnung, die durch weiteres Differenzieren entstehen. Durch nochmaliges Differenzieren von […]
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V Differentiationsregeln mit komplettem Lösungsweg 1. Leiten Sie ab! 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2. Bilden Sie die Ableitung. Verwenden Sie die Ihnen bekannten Ableitungsregeln. Notieren Sie die Regel, die Sie benutzten. 2a) Konstantenregel 2b) Konstantenregel 2c) Konstantenregel 2d) Summenregel 2e) Summenregel, Konstantenregel 2f) […]
Aufgaben zur Differentialrechnung V Differentiationsregeln 1. Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2. Bilden Sie die Ableitungen folgender Funktionen. Verwenden Sie die Ihnen bekannten Ableitungsregeln. Notieren Sie die Regel, die Sie jeweils benutzten. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 3. Bilden Sie die […]
Differentiationsregeln Nachdem ich in den letzten Beiträgen mit anschaulichen Beispielen aus der Praxis in die Differentialrechnung eingeführt habe, erkläre ich hier die Differentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel. Zuerst wiederhole ich einige Regeln aus den Grundlagen der Mathematik: Potenzregel, Konstantenregel, Summenregel. Bisher bekannte Regeln Potenzregel 1.) Alten Exponenten als Faktor vor die Variable x setzen. 2.) Neuer […]
Nachdem wir uns in den letzten beiden Beiträgen mit Steigung, Tangente. Differentialquotient und Ableitung beschäftigt haben, will ich die die Differentialrechnung noch einmal von einer anderen Seite erklären. Diesmal mit dem Schwerpunkt auf Sekantensteigung, Tangentensteigung und Steigungsfunktion In diesem Beitrag zeige ich zuerst anhand eines Beispiels, dass die Steigung einer Geraden sich also auch mit […]
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV 1.Leiten Sie jeweils ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2.Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 3.Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 4.Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) […]
Aufgaben zur Differentialrechnung IV Leiten Sie jeweils ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 3g) 3h) 3i) 3j) 4a) 4b) 4c) 4d) 4e) 4f) 4g) 4h) 4i) 4j) Hier finden Sie die Lösungen und hier […]
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung III mit komplettem Lösungsweg Leiten Sie ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 3g) 3h) 3i) 3j) 4a) 4b) 4c) 4d) 4e) 4f) 4g) 4h) 4i) 4j) Hier finden Sie […]
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung II mit komplettem Lösungsweg 1a) Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle gibt die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle an. Statt Steigung sagt man auch momentane Änderungsrate. 1b) Berechnen Sie die Ableitung […]
Aufgaben zur Differentialrechnung II, ableiten, Steigung berechnen 1. Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. a) b) c) d) 2. Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) 3. Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) 4. Leiten Sie ab. a) b) c) […]
