Beispiel 5 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrien 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio …
WeiterlesenKategorie: Differentialrechnung
Kurvendiskussion Beispiel 4
Beispiel 4 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 3
Beispiel 3 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 2
Beispiel 2 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 1
Kurvendiskussion Beispiel 1 Beispiel 1 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 jeweils unten 4.Wendepunkte: 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 jeweils unten 6.Wertetabelle …
WeiterlesenKurvendiskussion mit Beispielen
Einführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, muss man einiges über markante Punkte des Graphen und über seinen Verlauf im Definitionsbereich wissen. Eine Funktionen so auf …
WeiterlesenExponentialfunktionen und die e-Funktion
Exponentialfunktionen Bei den bisher betrachteten Funktionen traten Exponenten nur als Zahlen auf. Es gibt jedoch auch Funktionen mit positiver Basis, bei denen die unabhängige Variable x als Exponent auftritt. Diese nennt man Exponentialfunktionen. Hier einige …
WeiterlesenExtrempunkte berechnen
Extrempunkte berechnen in der Differentialrechnung Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen Beim Zeichnen eines Funktionsgraphen war es bislang unbefriedigend, den Hochpunkt und den Tiefpunkt nicht zu kennen. Mit Hilfe der Differentialrechnung wollen wir nun versuchen, dieses Problem zu …
WeiterlesenTrainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades
Trainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Hier finden Sie die Lösungen und hier die Theorie: Extrempunkte berechnen Gefällt dir die …
WeiterlesenLösungen der Trainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades
Lösungen der Trainingsaufgaben: Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades Untersuchen Sie jeweils die ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Zeichnen Sie die Graphen der Funktion und deren beider Ableitungen in ein Koordinatensystem. …
WeiterlesenLösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX
1a) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1b) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung IX
Aufgaben zur Differentialrechnung IX Berechnen Sie die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) b) c) Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x). …
WeiterlesenWendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente
Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente berechnen Im letzten Beitrag hatten wir uns mit Extrempunkten in der Differentialrechnung beschäftigt. Diese brauchen wir um Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente zu berechnen. Als erstes werde ich anhand von Beispielen aus …
WeiterlesenLösungen der Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen
Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie gegebenenfalls die Wendepunkte. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Die Graphen: 4. Die Graphen: 5. Die Graphen: 6. Die Graphen: 7. Die Graphen: …
WeiterlesenTrainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen
Training: Wendepunkte ganzrationaler Funktionen Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie ggf. die Wendepunkte. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Lösungen Gefällt dir die Seite? Dann freuen …
WeiterlesenMonotonieeigenschaften
Monotonieeigenschaften in der Differentialrechnung Monotonie, Monotoniesatz In beiden Fällen spricht man von einer monotonen Funktion, und zwar von einer monoton wachsenden Funktion, wenn a1 > 0 ist, und von einer monoton fallenden Funktion, wenn …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VIII
Lösungen zur Differentialrechnung aus der Praxis 1a) Der Graph der Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel. Im Scheitelpunkt dieser sind die Grenzkosten am geringsten. 1b) 1c) 1d) 1e) Die Graphen: 2a) Von 0 bis …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung VIII
Aufgaben zur Differentialrechnung aus der Praxis 1. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 ME beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. a) Bestimmen Sie die Ableitung der …
WeiterlesenDifferentialrechnung Anwendungen aus Betriebswirtschaft und Naturwissenschaften
Nachdem wir die Theorie der Differentialrechnung in mehreren Beiträgen kennengelernt haben, stelle ich hier anhand von Beispielen die Anwendungen in der Praxis vor. Differentialrechnung in der Praxis Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung Definition: Die Ableitung der …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI 1a) 1b) 1c) Eine waagerechte Tangente an f(x) liegt in den Punkten vor, wo die Steigung Null ist. 1d) 1e) 1f) Die Gerade, die f(x) in N ( 3 …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung VI
Aufgaben zur Differentialrechnung VI 1. a) An welchen Stellen hat f(x) die Steigung 2? b) Geben Sie ohne Rechnung eine weitere Stelle mit der gleichen Steigung an. Begründen Sie Ihre Vermutung. c) In welchen Punkten …
WeiterlesenTangente und Normale
Tangentensteigung Wie wir bereits in dem Beitrag Steigung und Tangente gesehen haben, ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x0 | f (x0) ) gleichbedeutend mit der Steigung der Tangente in diesem …
WeiterlesenLösungen der Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale
Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P0( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. …
WeiterlesenTrainingsaufgaben zu Tangente und Normale
Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. Bemerkungen zur Tangente: Die Steigung eines Graphen …
WeiterlesenLösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI
Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) Die Anwendung der Produktregel wäre hier zu aufwendig. 2e) 2f) …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung VI
Aufgaben zur Differentialrechnung VI Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 4a) 4b) 4c) 4d) …
WeiterlesenAbleitungen höherer Ordnung
Ableitungen höherer Ordnung Im letzten Beitrag hatte ich die Differentionsregeln erklärt. Mit deren Hilfe konnten Sie einfach Funktionen ableiten. Außer der ersten Ableitung einer Funktion kennt man jedoch auch Ableitungen höherer Ordnung, die durch weiteres …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V 1. Leiten Sie ab! 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2. Bilden Sie die Ableitung. Verwenden Sie die Ihnen bekannten Ableitungsregeln. Notieren Sie die …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung V
Aufgaben zur Differentialrechnung V 1. Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2. Bilden Sie die Ableitungen folgender Funktionen. Verwenden Sie die Ihnen bekannten Ableitungsregeln. Notieren Sie die …
WeiterlesenDifferentiationsregeln
Nachdem ich in den letzten Beiträgen mit anschaulichen Beispielen aus der Praxis in die Differentialrechnung eingeführt habe, erkläre ich hier die Differentiationsregeln. Vorher wiederhole ich einige Regeln aus den Grundlagen der Mathematik. Denn diese werden …
WeiterlesenSekantensteigung, Tangentensteigung und Steigungsfunktion
Nachdem wir uns in den letzten beiden Beiträgen mit Steigung, Tangente. Differentialquotient und Ableitung beschäftigt haben, will ich die die Differentialrechnung noch einmal von einer anderen Seite erklären. Diesmal mit dem Schwerpunkt auf Sekantensteigung, Tangentensteigung …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV 1.Leiten Sie jeweils ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2.Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 3.Leiten Sie …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung IV
Aufgaben zur Differentialrechnung IV Leiten Sie jeweils ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 3g) …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung III
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung III Leiten Sie ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung II
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung II 1a) Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle gibt die Steigung des …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung II
Aufgaben zur Differentialrechnung II 1. Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. a) b) c) d) 2. Leiten Sie ab. a) …
WeiterlesenDifferentialquotient und Ableitung
Von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung Im letzten Beitrag hatte ich anhand praktischer Beispiele gezeigt, was Steigung und Tangente sind und damit in die Differentialrechnung eingeführt. Hier werde ich nun anhand von Beispilen aus der Praxis erklären, …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung I
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung I Steigung und Tangente 1a) b) Die Wasserstoffproduktion pro Zeiteinheit wird immer geringer c) 2. 3a) 3b) Die Gleichung der Sekante s(x) durch die Punkte P und Q ist genauso …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung I
Aufgaben zur Differentialrechnung I Steigung und Tangente 1. Chemische Reaktionen können mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ablaufen. Bringt man z.B. Zink in Salzsäure, so entsteht Wasserstoff. Die folgende Tabelle gibt die Menge des Wasserstoffs in Abhängigkeit von …
WeiterlesenEinführung in die Differentialrechnung
Einführung in die Differentialrechnung Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt Nachdem wir uns intensiv mit ganzrationalen Funktionen beschäftigt haben, nähern wir uns nun der Differentialrechnung. Mathematikleher werden oft von ihren Schülern gefragt: Wofür brauchen wir …
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