Differentialrechnung

Hier findest du alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung. Von einfachen Erklärungen, über Aufgaben bis hin zu ausführlichen Lösungen findest du hier alles, was du zum differenzieren brauchst.

Integrationsregeln und Differentationsregeln

Hier findet ihr eine Übersicht über Differentationsregeln und Integrationsregeln. Ableitung und Aufleitung elementarer Funktionen Gegenüberstellung von Differentationsregeln und Integrationsregeln Weitere Regeln für die Differentialrechnung Aufgaben zu Integrationsregeln Weitere Regeln für die Integralrechnung Aufgaben: Ableiten und integrieren mit e-Funktionen Links zu weiteren Aufgaben Ableitung und Aufleitung elementarer Funktionen Funktion Ableitung Stammfunktion f(x) f'(x) F(x) f(x) = […]

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Lösungen zu Differentationsregeln und Integrationsregeln mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben mit Differentationsregeln und Integrationsregeln mit komplettem Lösungsweg. Teil 1 1. Ausführliche Lösung: 2. Ausführliche Lösung: 3. Ausführliche Lösung: 4. Ausführliche Lösung: 5. Ausführliche Lösung: 6. Ausführliche Lösung: 7. Ausführliche Lösung: 8. Ausführliche Lösung: 9. Ausführliche Lösung: 10. Ausführliche Lösung:   Teil 2 1. Ausführliche Lösung: Die Ableitung erfolgt

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Uneigentliche Integrale

Wie wir in vorherigen Beiträgen gesehen haben, wird die Integralrechnung meist eingesetzt, um Flächen zwischen Graphen bzw. der x-Achse zu berechnen. Es gibt jedoch auch Integrale, die nicht zur Flächenberechnung benutzt werden können, denn sie sind in einer Richtung unendlich. Mit anderen Worten: Ihre Grenzen sind nicht definiert, sie haben einen unbeschränkten Integrationsbereich. Deshalb nennt

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Lösungen zu Integration der e-Funktion mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben Integration der e-Funktion mit komplettem Lösungsweg. 1. Ausführliche Lösung: 2. Ausführliche Lösung: 3. Ausführliche Lösung:   4. Ausführliche Lösung: 5. Ausführliche Lösung: 6. Ausführliche Lösung: 7. Ausführliche Lösung: 8. Ausführliche Lösung: 9. Ausführliche Lösung: 10. Ausführliche Lösung: Hier findest du die Theorie und Aufgaben hierzu. Außerdem hier

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Integration e-Funktion

In diesem Beitrag beschäftige ich mich mit der Integration der e-Funktion. Dazu zeige ich den Zusammen zwischen Stammfunktion und Integrandenfunktion. Dann stelle ich das allgemeine und das bestimmte Integral mit Substitution vor. Am Schluss stelle ich Aufgaben zur Verfügung. Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Integrandenfunktion Beispiel Allgemeines Integral mit Substitution Bestimmtes Integral mit Substitution Trainingsaufgaben zum Integrieren

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Anwendungen der Exponentialfunktion

Nachdem wir im letzten Beitrag die Exponentialfunktionen und die e-Funktion kennengelernt haben, stelle ich hier einige Anwendungsbereiche aus dem Alltag vor. Zuerst zeige ich, wie man die Funktionsgleichung aufstellt. Danach stelle ich Beispiele vor: exponentielles Wachstum von Bakterien, exponentielle Abnahme beim radioaktiven Verfall. Außerdem erkläre ich wie die Zahl e, der natürliche Logarithmus und die

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Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen

Zuerst wiederhole ich hier die wichtigsten Eigenschaften einer Funktion. Danach biete ich einen Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen mit vielen Beispielen. Darunter sind Umkehrfunktionen, transzendente Funktionen etc. Außerdem gibt es Aufgaben zu Graphen von e-Funktionen und Logarithmusfunktionen. Die wesentliche Eigenschaft einer Funktion: Rationale Funktionsklasse Gebrochenrationale Funktionsklasse n-ten Grades Transzendente Funktionsklasse Exponentialfunktionsklasse Die e-Funktion als besondere

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Kostenrechnung als Anwendung der Differentialrechnung

Nachdem wir uns intensiv mit der Kurvendiskussion beschäftigt haben, können wir nun sehen, wie es in der Kostenrechnung eingesetzt wird. Zuerst erkläre ich einige Begriffe, danach stelle ich ein konkretes Beispiel vor. Dazu gibt es ein Video. Begriffe der Kostenrechnung Beispiel zur Kostenrechnung mit Video Begriffe der Kostenrechnung Gesamtkosten (Ertragliche Kostenfunktion) sind die in einem

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Kurvendiskussion Beispiel 5 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

Hier findest du ein weiteres Beispiel für eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, auch mit den  graphikfähiger Taschenrechner Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten 1. Definitionsbereich: 2. Symmetrien: Keine Symmetrien 3. Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 unten 4. Wendepunkte: Lösungen mit

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Kurvendiskussion Beispiel 4 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

Hier findest du ein weiteres Beispiel für die Lösung einer Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, auch mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50, Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten. 1. Definitionsbereich: 2. Symmetrien: 3. Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten. 4. Wendepunkte:

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Kurvendiskussion Beispiel 3 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

Hier findest du die Lösung einer Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50. Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten 1. Definitionsbereich: 2. Symmetrien: Keine Symmetrie 3. Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4. Wendepunkte: Lösungen mit dem

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Kurvendiskussion Beispiel 2 mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Hier findest du die Lösung der Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50. 1. Definitionsbereich: 2. Symmetrien: Keine Symmetrie 3. Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4. Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5. Achsenschnittpunkte:

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Kurvendiskussion Beispiel 1 mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

In diesem Beitrag zeige ich die Lösung zu einer Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 findest du weiter unten. 1. Definitionsbereich: 2. Symmetrien: 3. Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 jeweils unten 4. Wendepunkte: 5.  Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG

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Einführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen

In diesem Beitrag erkläre ich zuerst, was eine Kurvendiskussion ist und was man dabei beachten sollte. Danach gebe ich eine bewährte Anleitung für die Kurvendiskussion. Anschließend erkläre ich dies anhand eines Beispiels. Dabei zeige ich auch die Berechnung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50. Schließlich stelle ich Aufgaben zur Verfügung. Was ist eine Kurvendiskussion?

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Die e-Funktion und Exponentialfunktionen

Ich erkläre was Exponentialfunktionen, die Zahl e und e-Funktionen sind. Dazu erkläre ich  wie man e-Funktionen spiegeln, verschieben, strecken und stauchen kann. Außerdem ihre Eigenschaften und die graphische Darstellung. Definition Exponentialfunktion Beispiele Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen Die Zahl e mit Hilfe der Zinseszinsrechnung entwickeln Der Wert von e Spiegelung, Verschiebung und Streckung der

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Extrempunkte berechnen in der Differentialrechnung

Bevor ich erkläre, wie man Extrempunkte in der Differentialrechnung berechnen kann, muss ich einige Begriffe definieren: Hochpunkt, relatives (lokales) Maximum , Tiefpunkt und relatives (lokales) Minimum. Danach zeige ich, wie man die Extrempunkte des Graphen einer Funktion findet. Dann zeige ich den Nachweis für Extrempunkte über Vorzeichenwechsel von f'(x) und mit Hilfe der zweiten Ableitung

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Aufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades

Hier findest du Aufgaben zu Extrempunkten bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades. Untersuche die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimme gegebenenfalls die Extrempunkte. Dazu kannst dir diese beiden Videos ansehen: 📽️ Video Extrempunkte in der Differentialrechnung und 📽️ Video Extrempunkte hinreichende Bedingung.   Dazu findest du hier die Lösungen. Und hier die Theorie: Extrempunkte berechnen Hier

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Lösungen der Aufgaben: Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Extrempunkten bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades. Untersuche jeweils die ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimme gegebenenfalls die Extrempunkte. Zeichne die Graphen der Funktion und deren beider Ableitungen in ein Koordinatensystem. Dazu kannst dir diese beiden Videos ansehen: 📽️ Video Extrempunkte in der Differentialrechnung und 📽️ Video Extrempunkte hinreichende

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Lösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX, dabei geht es unter anderem darum, Kurvenpunkte zu berechnen. 1. a) Dazu kannst du die das 📽️ Video Extrempunkte in der Differentialrechnug ansehen. Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1. b) Die Ableitung f'(x)

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Aufgaben zur Differentialrechnung IX

Hier findest du Aufgabe zur Differentialrechnung. Dabei geht es unter anderem darum, Kurvenpunkte zu berechnen. 1. Berechne die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Dazu kannst du die das 📽️ Video Extrempunkte in der Differentialrechnug ansehen. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründe deine Entscheidung. a) b) c) 2. Berechne die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x)! Dazu

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Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente berechnen

Im letzten Beitrag hatten wir uns mit Extrempunkten in der Differentialrechnung beschäftigt. Diese brauchen wir um Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente zu berechnen. Zuerst erkläre ich anhand von Beispielen aus der Praxis diese Begriffe. Damit es leicht verständlich ist, stelle ich zuerst Wendepunkte beim Radfahren vor, danach Wendepunkte in der Mathematik. Danach zeige ich die Berechnung

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Lösungen der Aufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen mit komplettem Lösungsweg

Bei diesen Lösungen der Aufgaben geht es darum ganzrationale Funktionen auf Wendestellen zu untersuchen und  gegebenenfalls die Wendepunkte zu bestimmen. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Die Graphen:   4. Die Graphen: 5. Die Graphen: 6. Die Graphen: 7. Die Graphen: 8. Die Graphen:   9. Die Graphen: 10. Die Graphen: Hier findest du

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Aufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen

Bei diesen Aufgaben geht es darum, ganzrationale Funktionen auf Wendestellen zu untersuchen und  gegebenenfalls die Wendepunkte zu bestimmen. Die Lösungen findest du weiter unten. Aufgaben: Untersuche auf Wendestellen und bestimme gegebenenfalls die Wendepunkte Dazu kannst du dir das 📽️Video Wendepunkte ansehen. 1. Lösung 2. Lösung 3. Lösung 4. Lösung 5. Lösung 6. Lösung 7. Lösung

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Monotoniesatz in der Differentialrechnung

In diesem Beitrag werde ich zuerst erklären, was wir in der Differentialrechnung unter Monotonie verstehen. Danach stelle ich den Monotoniesatz vor und zeige anhand von anschaulichen Beispielen, wie man den Monotoniebereich bestimmt. Monotonie, Monotoniesatz Die lineare Funktion f(x) = a1x + a0 ist die einfachste Funktion, deren Graph keinerlei Krümmung aufweist. Verantwortlich dafür ist der

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Lösungen zur Differentialrechnung VII aus der Praxis

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VII aus der Praxis, insbesondere Kostenrechnung. Dazu kannst du dir das 📽️ Video Kostenfunktion aufstellen ansehen. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 Mengeneinheiten (ME) beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. K(x) = x3 – 12 x2 +

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Aufgaben zur Differentialrechnung VIII aus der Praxis

Hier findest du Aufgaben zur Differentialrechnung VIII aus der Praxis. Darin geht es insbesondere um die Kostenrechnung. Dazu kannst du dir das 📽️ Video Kostenfunktion aufstellen ansehen. 1. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 Mengeneinheiten (ME) beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. K(x) = x3 –

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Differentialrechnung in Betriebswirtschaft und Naturwisschenschaft

Nachdem wir die Theorie der Differentialrechnung in mehreren Beiträgen kennengelernt haben, stelle ich hier anhand von Beispielen die Anwendungen in Betriebswirtschaft und Naturwisschenschaft. Zuerst die Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung. Dazu muss ich die Begriffe Kostenfunktion, Differentialkosten und Grenzkosten erläutern. Danach stelle ich die Naturwissenschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung vor. Anwenungen der Differentialrechnung in der Betriebswirtschaft Anwenungen

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Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg, dabei sollst du unter anderem die Tangente berechnen. 1.a) 1. b) 1. c) Eine waagerechte Tangente an f(x) liegt in den Punkten vor, wo die Steigung Null ist. 1. d) 1. e) 1. f) Die Gerade, die f(x) in N ( 3

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Lösungen der Aufgaben zu Tangente und Normale mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zur Tangente und zur Normalen. Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P0( x0 | f(x0) ). Ermittele die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Berechnung: Die Graphen:   4. Berechnung: Die Graphen: 5.

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Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI. Du sollst Funktionen dreimal ableiten, bei der 5. Aufgabe sollst du Tangente und Normale berechnen. Dazu kannst du dir das 📽️Video Differentiationsregeln: Potenzregel, Konstantenregel, Summenregel ansehen. 1. a) Leite folgende Funktionen dreimal ab! 1. b) 1. c) 1. d) 1. e) 1. f)   2.

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Aufgaben zur Differentialrechnung VI

Diese Aufgaben zur Differentialrechnung VI sollst du dreimal ableiten, bei der 5. Aufgabe sollst du Tangente und Normale berechnen. Dazu kannst du dir das 📽️Video Differentiationsregeln: Potenzregel, Konstantenregel, Summenregel ansehen. 1. Leite folgende Funktionen dreimal ab! 1. a) 1. b) 1. c) 1. d) 1. e) 1. f) 2. Leite folgende Funktionen dreimal ab! 2.

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Ableitungen höherer Ordnung

In diesem Beitrag stelle ich die Funktionsgraphen einiger Funktionen höherer Ordnung mit ihren dazugehörigen Ableitungsfunktionen vor. Im letzten Beitrag hatte ich die Differentionsregeln erklärt. Mit deren Hilfe kannst du einfache Funktionen ableiten. Außer der ersten Ableitung einer Funktion kennt man jedoch auch Ableitungen höherer Ordnung, die durch weiteres Differenzieren entstehen. Durch nochmaliges Differenzieren von f'(x)

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Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V: Differentiationsregeln mit komplettem Lösungsweg

Hier findet ihr die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V, diesmal sollt ihr beim Ableiten der Funktionen die bekannten Ableitungsregeln, auch Differentiationsregeln genannt, befolgen. Notiert euch dabei die Regel, die ihr jeweils benutzt! Dazu kannst du dir das 📽️Video Differentiationsregeln: Potenzregel, Konstantenregel, Summenregel ansehen. 1. Leite jweils ab! 1. a) 1. b) 1. c) 1.

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Aufgaben zu Differentiationsregeln V: Differentiationsregeln

Hier findest du Aufgaben zur Differentialrechnung V, diesmal sollt ihr beim Ableiten der Funktionen die bekannten Ableitungsregeln, auch Differentiationsregeln genannt, befolgen. Notiert euch dabei die Regel, die ihr jeweils benutzten! Dazu kannst du dir das 📽️Video Differentiationsregeln: Potenzregel, Konstantenregel, Summenregel ansehen. 1. Leite ab! a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)  

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Differentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel

Nachdem ich in den letzten Beiträgen mit anschaulichen Beispielen aus der Praxis in die Differentialrechnung eingeführt habe, erkläre ich hier die Differentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel. Zuerst wiederhole ich einige Regeln aus den Grundlagen der Mathematik: Potenzregel, Konstantenregel, Summenregel. Anschließend fasse ich die wichtigsten Formeln zusammen. Bisher bekannte Regeln Potenzregel 1.) Alten Exponenten als Faktor vor

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Sekantensteigung, Tangentensteigung und Steigungsfunktion

Nachdem wir uns in den letzten beiden Beiträgen mit Steigung, Tangente. Differentialquotient und Ableitung beschäftigt haben, will ich die die Differentialrechnung noch einmal von einer anderen Seite erklären. Diesmal mit dem Schwerpunkt auf die Sekantensteigung. Zuerst zeige ich anhand eines Beispiels, dass die Steigung einer Geraden sich also auch mit dem Differenzenquotienten bestimmen lässt. Danach

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Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV

Hier findet ihr die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV. Ähnlich wie in den Aufgaben zur Differentialrechnung I, II und III müsst ihr hier Funktionen ableiten. Dazu kannst du dir das 📽️Video Differentiationsregeln: Potenzregel, Konstantenregel, Summenregel ansehen. 1. Leite jeweils ab! a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2. Leite ab! a)

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