Differentialrechnung

Hier findest du alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung. Von einfachen Erklärungen, über Aufgaben bis hin zu ausführlichen Lösungen findest du hier alles, was du zum differenzieren brauchst.

Anwendungen der Exponentialfunktion

Nachdem wir im letzten Beitrag die Exponentialfunktionen und die e-Funktion kennengelernt haben, stelle ich hier einige praktische Anwendungsbereiche vor. Vorher zeige ich, wie man die Funktionsgleichung aufstellt. Aufstellen der Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion Übungsaufgabe mit Lösung Definition Exponentialfunktion spezielle Beispiele zur e-Funktion Exponentielles Wachstum von Bakterien Exponentielle Abnahme beim radioaktiven Verfall. Die Zahl e, der natürliche …

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Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen

Zuerst wiederhole ich hier die wichtigsten Eigenschaften einer Funktion. Danach biete ich einen Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen mit vielen Beispielen. Darunter sind Umkehrfunktionen, transzendente Funktionen etc. Außerdem gibt es Aufgaben zu Graphen von e-Funktionen und Logarithmusfunktionen. Die wesentliche Eigenschaft einer Funktion: Rationale Funktionsklasse Gebrochenrationale Funktionsklasse n-ten Grades Transzendente Funktionsklasse Exponentialfunktionsklasse Die e-Funktion als besondere …

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Kostenrechnung als Anwendung der Differentialrechnung

Nachdem wir uns intensiv mit der Kurvendiskussion beschäftigt haben, können wir nun sehen, wie es in der Kostenrechnung eingesetzt wird. Zuerst erkläre ich einige Begriffe, danach stelle ich ein konkretes Beispiel vor. Begriffe der Kostenrechnung Gesamtkosten (Ertragliche Kostenfunktion) sind die in einem Betrieb bei der Produktion eines Produktes entstehenden Kosten. Stückkosten sind die Gesamtkosten pro …

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Kurvendiskussion Beispiel 5 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

Hier findest du ein weiteres Beispiel für eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, auch mit den  graphikfähiger Taschenrechner Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten 1. Definitionsbereich: 2. Symmetrien: Keine Symmetrien 3. Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 unten 4. Wendepunkte: Lösungen mit …

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Kurvendiskussion Beispiel 4 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

Hier findest du ein weiteres Beispiel für die Lösung einer Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, auch mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50, Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten. 1. Definitionsbereich: 2. Symmetrien: 3. Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten. 4. Wendepunkte: …

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Kurvendiskussion Beispiel 3 mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

Hier findest du die Lösung einer Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50. Lösung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 weiter unten 1. Definitionsbereich: 2. Symmetrien: Keine Symmetrie 3. Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4. Wendepunkte: Lösungen mit dem …

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Kurvendiskussion Beispiel 2 mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Hier findest du die Lösung der Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50. 1. Definitionsbereich: 2. Symmetrien: Keine Symmetrie 3. Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4. Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5. Achsenschnittpunkte: …

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Kurvendiskussion Beispiel 1 mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

In diesem Beitrag zeige ich die Lösung zu einer Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 findest du weiter unten. 1. Definitionsbereich: 2. Symmetrien: 3. Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 jeweils unten 4. Wendepunkte: 5.  Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG …

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Einführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen

In diesem Beitrag erkläre ich zuerst, was eine Kurvendiskussion ist und was man dabei beachten sollte. Danach gebe ich eine bewährte Anleitung für die Kurvendiskussion. Anschließend erkläre ich dies anhand eines Beispiels. Dabei zeige ich auch die Berechnung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50. Schließlich stelle ich Aufgaben zur Verfügung. Was ist eine Kurvendiskussion? …

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Die e-Funktion und Exponentialfunktionen

In diesem Beitrag geht es um Exponentialfunktionen, außerdem um die Zahl e als Basis der e-Funktion. Dazu erkläre ich  wie man sie spiegeln, verschieben, strecken und stauchen kann. Außerdem ihre Eigenschaften und die graphische Darstellung. Definition Exponentialfunktion Beispiele Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen Die Zahl e mit Hilfe der Zinseszinsrechnung entwickeln Der Wert von …

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Extrempunkte berechnen in der Differentialrechnung

Bevor ich erkläre, wie man Extrempunkte in der Differentialrechnung berechnet, muss ich einige Begriffe definieren: Hochpunkt, relatives (lokales) Maximum , Tiefpunkt und relatives (lokales) Minimum. Danach zeige ich, wie man die Extrempunkte des Graphen einer Funktion findet. Dann zeige ich den Nachweis für Extrempunkte über Vorzeichenwechsel von f'(x) und mit Hilfe der zweiten Ableitung von …

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Aufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades

Hier findest du Aufgaben zu Extrempunkten bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades. Untersuche die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimme gegebenenfalls die Extrempunkte.   Hier findest du die Lösungen und hier die Theorie: Extrempunkte berechnen Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

Lösungen der Aufgaben: Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Extrempunkten bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades. Untersuche jeweils die ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimme gegebenenfalls die Extrempunkte. Zeichne die Graphen der Funktion und deren beider Ableitungen in ein Koordinatensystem. 1. Aufgabe Berechnung: Die Graphen: 2. Aufgabe Berechnung: Die Graphen: 3. Aufgabe Berechnung: Die Graphen:   4. …

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Lösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX. Dabei geht es unter anderem darum, Kurvenpunkte zu berechnen. 1. a) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1b) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei …

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Aufgaben zur Differentialrechnung IX

Hier findest du Aufgabe zur Differentialrechnung. Dabei geht es unter anderem darum, Kurvenpunkte zu berechnen. 1. Berechne die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründe Ihre Entscheidung. a) b) c) 2. Berechne die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x)! Zeichne den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem! 3. Bestimme a so, dass die …

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Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente berechnen

Im letzten Beitrag hatten wir uns mit Extrempunkten in der Differentialrechnung beschäftigt. Diese brauchen wir um Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente zu berechnen. Zuerst erkläre ich anhand von Beispielen aus der Praxis diese Begriffe. Damit es leicht verständlich ist, stelle ich zuerst Wendepunkte beim Radfahren vor, danach Wendepunkte in der Mathematik. Danach zeige ich die Berechnung …

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Lösungen der Aufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen mit komplettem Lösungsweg

Bei diesen Lösungen der Aufgaben geht es darum ganzrationale Funktionen auf Wendestellen zu untersuchen und  gegebenenfalls die Wendepunkte zu bestimmen. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Die Graphen:   4. Die Graphen: 5. Die Graphen: 6. Die Graphen: 7. Die Graphen: 8. Die Graphen:   9. Die Graphen: 10. Die Graphen: Hier findest du …

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Monotoniesatz in der Differentialrechnung

In diesem Beitrag werde ich zuerst erklären, was wir in der Differentialrechnung unter Monotonie verstehen. Danach stelle ich den Monotoniesatz vor und zeige anhand von anschaulichen Beispielen, wie man den Monotoniebereich bestimmt. Monotonie, Monotoniesatz Die lineare Funktion f(x) = a1x + a0 ist die einfachste Funktion, deren Graph keinerlei Krümmung aufweist. Verantwortlich dafür ist der …

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Lösungen zur Differentialrechnung VII aus der Praxis

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VII aus der Praxis, insbesondere Kostenrechnung. 1.a) Der Graph der Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel. Im Scheitelpunkt dieser sind die Grenzkosten am geringsten. 1.b) 1c) 1d) 1e) Die Graphen: 2.a) Von 0 bis 1 s : Bewegung mit gleichbleibender Geschwindigkeit v = 2 m/s …

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Aufgaben zur Differentialrechnung VIII aus der Praxis

Hier findest du Aufgaben zur Differentialrechnung VIII aus der Praxis. Darin geht es insbesondere um die Kostenrechnung. 1. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 Mengeneinheiten (ME) beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. K(x) = x3 – 12 x2 + 50x + 40. a) Bestimme die Ableitung …

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Differentialrechnung im Alltag

Nachdem wir die Theorie der Differentialrechnung in mehreren Beiträgen kennengelernt haben, stelle ich hier anhand von Beispielen die Anwendungen im Alltag vor. Zuerst die Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung. Dazu muss ich die Begriffe Kostenfunktion, Differentialkosten und Grenzkosten erläutern. Danach stelle ich die Naturwissenschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung vor. Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung Definition: Die Ableitung der …

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Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg, dabei sollst du unter anderem die Tangente berechnen. 1.a) 1b) 1c) Eine waagerechte Tangente an f(x) liegt in den Punkten vor, wo die Steigung Null ist. 1d) 1e) 1f) Die Gerade, die f(x) in N ( 3 | 0) schneidet, ist die …

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Aufgaben zur Differentialrechnung Tangente

Hier findest du Aufgaben zur Differentialrechnung, dabei sollst du unter anderem die Tangente berechnen. 1. a) An welchen Stellen hat f(x) die Steigung 2? b) Gib ohne Rechnung eine weitere Stelle mit der gleichen Steigung an. Begründen Sie Ihre Vermutung. c) In welchen Punkten hat f(x) eine waagerechte Tangente? Gib die Gleichung an. d) Bestimme …

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Lösungen der Aufgaben zu Tangente und Normale mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zur Tangente und zur Normalen. Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P0( x0 | f(x0) ). Ermittele die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Berechnung: Die Graphen:   4. Berechnung: Die Graphen: 5. …

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Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg

Hier findet ihr die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI. Dabei solltet ihr folgende Fragen beantworten: Funktionen dreimal ableiten. In welchem Punkt hat f(x) eine Tangente mit der Steigung Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f(x) im Punkt P ( 2 | f(2) ). Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen an f(x) im Punkt …

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Ableitungen höherer Ordnung

In diesem Beitrag stelle ich die Funktionsgraphen einiger Funktionen höherer Ordnung mit ihren dazugehörigen Ableitungsfunktionen vor. Im letzten Beitrag hatte ich die Differentionsregeln erklärt. Mit deren Hilfe kannst du einfache Funktionen ableiten. Außer der ersten Ableitung einer Funktion kennt man jedoch auch Ableitungen höherer Ordnung, die durch weiteres Differenzieren entstehen. Durch nochmaliges Differenzieren von f'(x) …

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Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V: Differentiationsregeln mit komplettem Lösungsweg

Hier findet ihr die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V.  Diesmal sollt ihr beim Ableiten der Funktionen die bekannten Ableitungsregeln, auch Differentiationsregeln genannt, befolgen. Notiert euch dabei die Regel, die ihr jeweils benutzt! 1. Leite ab! 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j)   2. Bilde die Ableitung. Verwende die dir bekannten …

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Aufgaben zu Differentiationsregeln V: Differentiationsregeln

Hier findest du Aufgaben zur Differentialrechnung V.  Diesmal sollt ihr beim Ableiten der Funktionen die bekannten Ableitungsregeln, auch Differentiationsregeln genannt, befolgen. Notiert euch dabei die Regel, die ihr jeweils benutzten! 1. Leite ab! a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)   2. Bilde die Ableitungen folgender Funktionen. Verwende die bekannten Ableitungsregeln! Notiere …

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Differentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel

Nachdem ich in den letzten Beiträgen mit anschaulichen Beispielen aus der Praxis in die Differentialrechnung eingeführt habe, erkläre ich hier die Differentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel. Zuerst wiederhole ich einige Regeln aus den Grundlagen der Mathematik: Potenzregel, Konstantenregel, Summenregel. Anschließend fasse ich die wichtigsten Formeln zusammen. Potenzregel, Konstantenregel und Summenregel Produktregel Differentation Quotientenregel Kettenregel Zusammenfassung der …

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Sekantensteigung, Tangentensteigung und Steigungsfunktion

Nachdem wir uns in den letzten beiden Beiträgen mit Steigung, Tangente. Differentialquotient und Ableitung beschäftigt haben, will ich die die Differentialrechnung noch einmal von einer anderen Seite erklären. Diesmal mit dem Schwerpunkt auf die Sekantensteigung. Zuerst zeige ich anhand eines Beispiels, dass die Steigung einer Geraden sich also auch mit dem Differenzenquotienten bestimmen lässt. Danach …

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Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung III mit komplettem Lösungsweg

Hier findet ihr die Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung III. Ähnlich wie in den Aufgaben zur Differentialrechnung I und II müsst ihr hier Funktionen ableiten. Leite jeweils ab! 1. a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2. a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3. a) 3b) 3c) …

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Lösungen Aufgaben Differentialrechnung II Steigung mit komplettem Lösungsweg

Hier findet ihr die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung II. Dabei müsst ihr Funktionen ableiten, Steigung berechnen und Schnittpunkte mit der x-Achse berechnen. 1a) Berechne die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u! Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle gibt die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle …

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Differentialquotient, Ableitung, Sekantensteigung

Von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung Im letzten Beitrag hatte ich anhand praktischer Beispiele gezeigt, was Steigung und Tangente sind und damit in die Differentialrechnung eingeführt. Diesmal erkläre ich, was Sekantensteigung und Tangentensteigung sind. Außerdem geht es um die des Ableitung des Differentialquotient. Wofür braucht man das? Beispiel: Steigung einer Funktion Die Steigung ungefähr ermitteln Definition Differenzenquotient …

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