Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen

Funktionsklassen

Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der rationalen Funktionen. In der modernen Mathematik spielen noch weitere Funktionen und Funktionsklassen eine große Rolle. Im nachfolgenden werde ich die wichtigsten Funktionen kurz vorstellen und der Verlauf deren Graphen prinzipiell darstellen. Für den Bereich der Sozialpädagogik haben e-Funktionen und Logarithmusfunktionen eine gewisse Bedeutung. Auf diese Funktionsklasse werde ich in der Differential- und Integralrechnung näher eingehen.
Was wir bisher über Funktionen gelernt haben, kann zum Teil auf alle Funktionen übertragen werden.
Vor allem die wesentliche Eigenschaft einer Funktion ist:
Jedem Wert der unabhängigen Variablen (x) wird genau ein Funktionswert f(x) zugeordnet.
Die Definitionsmenge (D) einer Funktion ist die Menge aller unabhängigen Variablen, für die die Funktionsgleichung definiert ist.
Die Wertemenge (W) ist die Menge aller Funktionswerte, sie hängt auch von der Definitionsmenge ab.


Rationale Funktionen

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Ganzrationale Funktionen entstehen durch Zusammensetzen von Potenzfunktionen.
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. Die Definitionsmenge ist normalerweise die Menge der reellen Zahlen. Eine ganzrationale Funktion n – ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Hier der Verlauf des Graphen ganzrationaler Funktionen:

mc_140mc_141

Gebrochenrationale Funktionen n-ten Grades:

f_0761
Die Definitionsmenge gebrochenrationaler Funktionen ist eingeschränkt. Überall dort, wo der Nenner Null wird, ist die Funktion nicht definiert.
Hier der Verlauf des Graphen gebrochenrationaler Funktionen:

mc_142
Hyperbel punktsymmetrisch
mc_143
Hyperbel achsensymmetrischBeide Funktionen sind an der Stelle x = 0 nicht definiert.


Transzendente Funktionen

Exponentialfunktionen

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f_0763
Alle Graphen nebenstehender Exponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt ( 0 | 1 ).
Je größer die Basis a ist, desto steiler ist der Kurvenverlauf.
mc_144f_0764
Alle Graphen nebenstehender Exponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt ( 0 | 1 ).
Je kleiner die Basis a ist, desto steiler ist der Kurvenverlauf
mc_145

Die e-Funktion als besondere Exponentialfunktion:

Die Graphen verlaufen von II nach I
Ist der Exponent positiv, so ist der Graph monoton steigend.
Ist der Exponent negativ, so ist der Graph monoton fallend.
Es gibt keine Nullstellen.
Für große x – Beträge nähert sich der Graph immer mehr der x – Achse.
Alle Graphen verlaufen durch den Punkt
P ( 0 | 1 ).

f_0765

mc_146



Trainingsaufgaben: Graphen von e-Funktionen

Berechnen Sie Verschiebungen, Spiegelung und Formänderung der Grundfunktion ex.
Zeichnen Sie jeden Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem und berechnen Sie den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Lesen Sie an dem Graphen ab:
Grenzwerte und falls vorhanden Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.
Bemerkung: Berücksichtigen Sie nur die Funktionswerte, die im Intervall [ -10 ; 10 ] liegen.

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6.06

7.07

8.08

9.09

10.10

Hier finden Sie die Lösungen

Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen sind nur für positive x – Werte definiert.
Alle Graphen verlaufen durch den Punkt P ( 1 | 0 )
Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen

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Trainingsaufgaben: Graphen von Logarithmusfunktionen.

Zeichnen Sie die Graphen folgender Logarithmusfunktionen und lesen Sie daraus ab:
Verschiebungen und Formänderung der Grundfunktion ln (x) , Achsenschnittpunkte, Grenzwerte und Extremwerte.
(Nur die Funktionswerte sind zu berechnen, die im Bereich [ -10 ; 10 ] liegen)

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3.03

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Hier finden Sie die Lösungen




Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen sind nur für positive x – Werte definiert.
Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen

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Trigonometrische Funktionen

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mc_150


Die Betragsfunktion

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Für alle x – Werte ist sie positiv. An der Stelle x = 0 ist sie unstetig.

mc_151


Zusammengesetzte Funktionen

Aus allen bisher bekannten Funktionen lassen sich weitere Funktionen zusammensetzen. Dazu ein paar Beispiele:

mc_152mc_153


Umkehrfunktionen

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f_0770mc_155

In beiden Fällen ist der Graph der Umkehrfunktion eine Spiegelung der Graphen der Ursprungsfunktion an der Geraden g(x) = x.
Das gilt für alle Funktionen und deren Umkehrfunktionen.


Die gaußsche Glockenkurve

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mc_175

Eigenschaften:
Die Funktion ist achsensymmetrisch.
Die Funktion erreicht in der Mitte bei x = 0 den höchsten Wert.
Nach rechts und links fallen die Werte sehr schnell ab.
Nennenswerte Funktionswerte liegen nur im Bereich von -3 bis +3
Die Ergebnisse von Klassenarbeiten oder psychologischer Tests verteilen sich oft in dieser Form.
Betrachtet man die Fläche unter der Kurve, so beträgt der Anteil, der im Bereich von -1 bis + 1 liegt etwa 68%, das ist etwa 2/3 der Gesamtfläche.
Bei IQ – Messungen haben die meisten Testpersonen einen IQ zwischen 70 und 130.
Nur wenige liegen darunter oder darüber. So dass der Mittelwert bei etwa 100 liegt.
Um diesen Sachzusammenhang mit der gaußschen Glockenkurve zu veranschaulichen, muss die Mitte zu dem Wert 100 verschoben werden. Auch die Streuung um den Mittelwert wird berücksichtigt.

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Die Transformation der x – Achse erfolgte hier linear mit der Transformationsformel

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Vorerst gehen wir hier nicht weiter auf die Parameter ein, das geschieht im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung.



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