Anwendungen der Exponentialfunktion

Anwendungen der Exponentialfunktion

Nachdem wir im letzten Beitrag die Exponentialfunktionen und die e-Funktion kennengelern haben, werde ich hier einige praktische Anwendungsbereiche vorstellen. Anhand dieser Beispiele werde ich erklären, wie man dabei am besten vorgeht.

Aufstellen der Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion

Coli-Bakterien verrichten ihre Arbeit im menschlichen Darm.
Dabei vermehren sie sich durch Zellteilung.
Unter günstigen Bedingungen teilen sie sich alle 20 Minuten.
Für diesen Vorgang stellen wir eine Wertetabelle auf und zeichnen den Graphen.
Dabei steht die Variable x für die Zeit in Minuten.
Und die Variable y gibt die Anzahl der Bakterien an.

f_0824

Nun besteht die Aufgabe darin, den funktionalen Zusammenhang in Form einer Funktionsgleichung f(x) zu bestimmen.
Alle 20 Minuten verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wir müssen also die vorhandene Anzahl nach jeweils 20 Minuten mit 2 multiplizieren.

mc_165

f_0825

Dabei ist f(x) die Anzahl der Bakterien und x die Zahl der Minuten.
Bei dieser Funktionsgleichung würde sich die Bakterienzahl jede Minute verdoppeln.
Durch Überlegung gelangen wir dann zu folgender Funktionsgleichung, die den Sachverhalt richtig beschreibt:

f_0826

Wir sehen also: Vermehrungenwerden als exponentielles Wachstum bezeichnet. Eine Funktion, die solch einen Vorgang beschreibt, nennt man Exponentialfunktion.




Übungsaufgabe

Wie müsste die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion unter folgenden Bedingungen aussehen:
a)Alle 15 min verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien.
b)Alle 30 min verdreifacht sich die Anzahl der Bakterien.
c)Wir beginnen mit der Beobachtung, wenn schon n0 = 1000 000 000 Bakterien vorhanden sind und die Anzahl sich alle 45 min verfünffacht.
d)Bei Beobachtungsbeginn sind n0 = 100 000 Bakterien vorhanden und alle 45 min nimmt die Anzahl der Bakterien um den Faktor e = 2,718 zu.
e)Alle 10 min. halbiert sich die Anzahl n0.

Lösung:

a)f_0827

b)f_0828

c)f_0829

d)f_0830

e)f_0831

Merke:

Funktionen, die Wachstumsprozesse beschreiben, heißen Exponentialfunktionen. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

f_0832

Exponentielles Wachstum oder exponentielle Abnahme kann man in vielen Lebensbereichen beobachten:
Zum Beispiel in der Biologie (Zunahme und Abnahme von Bakterien)
oder in der Ökologie (Populationen von Tieren),
und in der Wirtschaftslehre (Kapitalzuwachs durch Zinseszinz),
auch bei physikalisch-technischen Problemen (Zerfall radioaktiver Substanzen),
und in der Medizin (Wirkung von Medikamenten).


Spezielle Beispiele zur e-Funktion

Exponentielles Wachstum von Bakterien

Der Bestand von Bakterien vermehrt sich nach einer e – Funktion.
f_0833
Auf welchen Wert wächst der Bestand von n0 = 2000 Bakterien in 4 Stunden?
Und nach wie viel Stunden sind es 10 000 Bakterien?
Wie sieht der Funktionsgraph aus?

f_0834

Zur Wiederholung empfehle ich diese Beiträge:

Logarithmengesetze und Exponentialgleichungen

f_0835mc_166

Exponentielle Abnahme

In einigen Bereichen messen wir jedoch kein exponentielles Wachstum, sondern eine exponentielle Abnahmen. Hier einige Beispiele dafür:

Radioaktive Stoffe zerfallen in gleichen Zeitspannen jeweils mit demselben Faktor. Ihre Halbwertszeit gibt dann an, nach welcher Zeit nur noch die Hälfte der ursprünglichen Aktivität vorhanden ist. Die Aktivität A(x) wird gemessen in Megabecquerel ( 1 MBq = 106 Zerfälle pro Sekunde).
Für medizinische Untersuchungen wird Jod 131 mit einer Halbwertszeit ( th ) von 8 Tagen verwendet. Dabei werden dem Patienten A0 = 4000 MBq verabreicht.
Daraus ergeben sich folgende Fragestellungen:
Nach wie viel Halbwertzeiten bzw. Tagen beträgt die Restaktivität im Körper höchstens noch 400 MBq?
Zeichnen Sie den Graphen, lesen Sie die ungefähre Zeit ab und berechnen Sie den genauen Wert.
f_0836

f_0837mc_167

Also beträgt nach etwa 27 Tagen, etwas mehr als nach 3 Halbwertszeiten, die Restaktivität im Körper noch etwa 400 MBq.




Die Zahl e, der natürliche Logarithmus und die e-Funktion

Im letzten Beitrag hatte ich ausführlich die Zahl e vorgestellt. Hier noch einmal das Wesentliche:

f_0838

Die Graphen verlaufen von II nach I
Ist der Exponent positiv, so ist der Graph monoton steigend.
Ist der Exponent negativ, so ist der Graph monoton fallend.
Es gibt keine Nullstellen.
Für große x – Beträge nähert sich der Graph immer mehr der x – Achse.
Alle Graphen verlaufen durch den Punkt P ( 0 | 1 ).

mc_168

Jede Exponentialfunktion kann durch die e-Funktion beschrieben werden.

f_0839

Aus diesem Grund wird in den folgenden Kapiteln als Exponentialfunktion nur noch die e-Funktion betrachtet.



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