Dreisatz

Proportionale und antiproportionale Zuordnungen zweier Größen lassen sich mit dem Lösungsschema Dreisatzrechnung bestimmen. Bei mehr als zwei Größen handelt es sich um einen verschachtelten Dreisatz.

Einfacher Dreisatz proportional

Proportionale Zuordnung:
Wenn zwei Größen im gleichen Verhältnis zu- oder abnehmen, spricht man von einer proportionalen Zuordnung.
– Je mehr km ein Auto fährt, desto mehr Benzin benötigt es.
– Je weniger am Tag gearbeitet wird, desto weniger Lohn erhält man.
Anders ausgedrückt:
– Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen Größe.
– Zur Hälfte der einen Größe gehört die Hälfte der anderen Größe.

Beispiel einer proportionalen Zuordnung.
Ein Gartenbauer verlegt in 8 Stunden 200 m2 Rollrasen. Wieviel Rollrasen würde er bei gleicher Leistung in 13 Stunden verlegen?
Überlegung: Die gesuchte Größe ist m2 Rollrasen.

beispiel_1: Beispiel einer proportionalen Zuordnung

Beim Dreisatz geht man stets in drei Schritten (Sätzen) vor:
1. Satz: Bekanntes Verhältnis: In 8 Stunden 200 m2
2. Satz: Schluss auf die Einheit: In 1 Stunde den 8. Teil
3. Satz: Schluss auf die gesuchte Mehrheit: In 13 Stunden 13 mal soviel.

Daraus entsteht zur Rechnung ein Bruch, bei dem der Ausgangswert (hier 200 m2) im Zähler steht. Teil steht im Nenner (hier 8), mal steht im Zähler (hier 13).
Zuvor sollte man sich immer überlegen, welche Größe gesucht wird und ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist.

Antwort: In 13 Stunden würde der Gartenabeiter 325 m2 Rollrasen verlegen.


Ein Pkw verbraucht auf 100 km 9,6 Liter Benzin. Mit einer Tankfüllung kommt er 540 km weit.
Wie viel Liter fasst der Tank? Das Ergebnis ist auf ganze Liter aufzurunden

f_490: Einfacher Dreisatz proportional

Es handelt sich um einen proportionalen Zusammenhang.
Je mehr Kilometer das Auto fährt, desto mehr Liter Benzin benötigt es.
In Kurzform: je mehr km, desto mehr Liter ⇒ proportional

Antwort: Der Tank fasst 52 Liter.

Bemerkung:  Zwischenergebnisse sind nicht nötig, die Zahl vor dem Wort „mal” steht in der Rechnung auf dem Bruchstrich, die Zahl vor dem Wort „Teil” steht im Nenner. Das gilt für alle Aufgaben.

 


Einfacher Dreisatz antiproportional.

Antiproportionale Zuordnung:
Wenn zwei Größen im umgekehrten Verhältnis zu- oder abnehmen, spricht man von einer antiproportionalen Zuordnung.
– Je mehr Arbeiter für eine bestimmte Arbeit zur Verfügung stehen, desto weniger Zeit ist erforderlich.
– Je langsamer ich fahre, desto mehr Zeit benötige ich für eine bestimmte Strecke.
Anders ausgedrückt:
– Zum Doppelten der einen Größe gehört die Hälfte der anderen Größe.
– Zur Hälfte der einen Größe gehört das Doppelte der anderen Größe.

Beispiel einer antiproportionalen Zuordnung.
Nach einer großen Gartenparty brauchen 4 Helfer 3 Stunden für die Aufräumarbeiten. Wie lange dauert das Aufräumen mit 6 Helfern?
Überlegung: Die gesuchte Größe ist die Aufräumzeit in Stunden.

beispiel_2: Beispiel einer antiproportionalen Zuordnung

1. Satz: Bekanntes Verhältnis: 4 Helfer brauchen 3 h2
2. Satz: Schluss auf die Einheit: 1 Helfer braucht 4 mal solange
3. Satz: Schluss auf die gesuchte Mehrheit: 6 Helfer brauchen 6 mal soviel

Antwort: Mit 6 Helfern dauert das Aufräumen 2 Stunden.


Drei Pflasterer benötigen für eine Hofeinfahrt 11,5 Stunden.
Wie lange brauchen 5 Pflasterer?

Dies ist ein Beispiel für einen antiproportionalen Zusammenhang. Je mehr Pflasterer arbeiten, desto schneller sind sie fertig, also desto weniger Stunden brauchen sie.

In Kurzform: je mehr Pflasterer, desto weniger Stunden ⇒ antiproportional

f_493: Einfacher Dreisatz antiproportional

Antwort: 5 Pflasterer brauchen 6,9 Stunden, also etwa 7 Stunden.

 


Zweifach verschachtelter Dreisatz proportional- proportional.

Ein 7 m2 großes Kupferblech, 5 mm dick und wiegt 313,6 kg.
Wie viel wiegt ein 6 mm dickes Kupferblech, das eine Fläche von 4 m2 hat?
Es ist auf ganze Kilogramm zu runden.

Zuerst wird über die Fläche, dann über die Dicke geschlossen.
f_496: Zweifach verschachtelter Dreisatz proportional- proportional

Hier beeinflussen zwei Faktoren das Gewicht:
Je dicker und größer das Blech ist, desto schwerer ist es. Deshalb sind hier mehrere Rechenschritte notwendig.

In Kurzform: je mehr mm, desto schwerer das Blech ⇒ proportional
je mehr m2, desto schwerer das Blech ⇒ proportional

Das Kupferblech wiegt etwa 215 kg.

 


 

Zweifach verschachtelter Dreisatz antiproportional- proportional

Um eine Fläche von 720 m2 zu pflastern, brauchen 7 Maurer 160 h.
Wie lange benötigen 5 Maurer für eine Fläche von 600 m2 ?
Die Zeit ist in Stunden und Minuten anzugeben.

Zuerst wird über die Maurer, dann über die Fläche geschlossen.
f_499: Zweifach verschachtelter Dreisatz antiproportional- proportional

Hier handelt es sich um eine Mischung aus einer proportionalen und einer antiproportionalen Beziehung:
Je mehr Maurer pflastern, desto schneller sind sie fertig.
Je größer die Fläche ist, desto länger brauchen sie.

In Kurzform: je mehr Maurer, desto weniger Stunden ⇒ antiproportional

 


 

Dreifach verschachtelter Dreisatz proportional- antiproportional- antiproportional

Zwölf Einschaler haben bei 9- stündiger Arbeitszeit in 7 Tagen 390 m2 Betonschalung hergestellt.
Wie viel Einschaler sind bei gleicher Leistung einzusetzen, wenn in insgesamt 21 Tagen 2340 m2 Betonschalung hergestellt werden müssen, und die tägliche Arbeitszeit statt der 9, nur noch 8 Stunden beträgt?

Zuerst wird über die Fläche, dann über die Tage und dann über die Zeit geschlossen.
f_502: Dreifach verschachtelter Dreisatz

Achtung: Hier wird nach der Anzahl der Einschaler gefragt, die benötigt werden!
Wir haben hier wieder eine Mischung aus proportionalen und antiproportionalen Zusammenhängen:
Je größer die einzuschalende Fläche ist, desto mehr Einschaler werden benötigt.
Je mehr Zeit zur Verfügung steht, desto weniger Einschaler braucht man.
Je geringer die Arbeitszeit pro Tag ist, desto mehr Einschaler braucht man.

In Kurzform: je mehr m2, desto mehr Einschaler ⇒ proportional
je mehr Tage, desto weniger Einschaler ⇒ antiproportional
je weniger Stunden, desto mehr Einschaler ⇒ antiproportional

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Grundsatz: Bei Dreisatzrechnungen sind die Zuordnungen entweder proportional oder antiproportional.

Merke

proportional:
Eine Zuordnung zwischen zwei Größen heißt proportional, wenn gilt:
Multipliziert man die eine Größe mit einer Zahl, so muss man auch die andere Größe mit derselben Zahl multiplizieren

Beispiel

f_799

des_052: Zusammenhang proportional

entsprechend gilt auch
f_800

Merke

antiproportional:
Eine Zuordnung zwischen zwei Größen heißt antiproportional oder auch umgekehrt proportional, wenn gilt:
Multipliziert man die eine Größe mit einer Zahl, so muss man die andere Größe durch derselbe Zahl dividieren

Beispiel

f_801

des_053: Zusammenhang antiproportional

entsprechend gilt auch
f_802

Der einfache Dreisatz kann auch in verkürzter Form tabellarisch durchgeführt werden.

Beispiele

5 kg Bananen kosten 9 €.
Wie teuer sind 7 kg Bananen derselben Sorte?

proportional

des_054: Dreisatz in Tabellenform

7 kg Bananen kosten 12,60 €.

Bei einer mittleren Geschwindigkeit von 60 km/h dauert die Fahrt von Duisburg nach Frankfurt 5 Stunden.
Wie lange dauert die Fahrt bei einer mittleren Geschwindigkeitvon 80 km/h?

antiproportional

des_055

Bei einer mittleren Geschwindigkeit von 80 km/h dauert die Fahrt 3,75 Stunden.

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