Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu mehrstufigen Zufallsversuchen I. Unter anderem geht es um ein Baumdiagramm für das Werfen von Münzen. Bei den Aufgaben habe ich Tipps zum Lösen von Aufgaben von mehrstufigen Zufallsversuchen gegeben.
1. Aufgabe
Eine Münze wird zweimal geworfen. Zeichne das Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) A: Genau einmal Wappen.
b) B: Mindestens einmal Wappen.
c) C: Höchstens einmal Wappen.
1. Ausführliche Lösungen
a) A: Genau einmal Wappen.
b) B: Mindestens einmal Wappen.
c) C: Höchstens einmal Wappen.
2. Aufgabe
Eine Münze wird dreimal geworfen. Zeichne das Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) A: Mehr als zweimal Wappen.
b) B: Höchstens zweimal Wappen.
c) C: Mindestens einmal Zahl.
d) D: Genau einmal Wappen.
2. Ausführliche Lösungen
a) A: Mehr als zweimal Wappen.
b) B: Höchstens zweimal Wappen. Höchstens zweimal Wappen bedeutet keinmal, einmal oder zweimal Wappen. Das Gegenereignis von B lautet: Dreimal Wappen.
c) C: Mindestens einmal Zahl. Mindestens einmal Zahl bedeutet einmal, zweimal oder dreimal Zahl. Das Gegenereignis von C lautet: Keinmal Zahl, das ist aber dreimal Wappen.
d) D: Genau einmal Wappen.
3. Aufgabe
Eine Urne enthält 2 rote, 3 schwarze und 5 gelbe Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln mit Zurücklegen genommen. Zeichne das Baumdiagramm, bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) A: Beide Kugeln sind gleichfarbig.
b) B: Die erste Kugel ist rot und die zweite ist schwarz.
c) C: Die zweite Kugel ist rot oder schwarz.
d) Wie lautet das Gegenereignis von C und mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt es auf?
3. Ausführliche Lösungen
a) A: Beide Kugeln sind gleichfarbig.
b) B: Die erste Kugel ist rot, und die zweite ist schwarz.
c) C: Die zweite Kugel ist rot oder schwarz.
d) Wie lautet das Gegenereignis von C und mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt es auf?
4. Aufgabe
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus vier Fragen. Zu jeder der vier Fragen gibt es drei Antworten, darunter ist nur eine Antwort richtig. Jemand geht völlig unvorbereitet in den Test und kreuzt auf Glück an.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er den Test besteht, wenn mindestens drei Fragen richtig angekreuzt sein müssen.
4. Ausführliche Lösungen
Entsprechend den Tipps zum Lösen von Aufgaben von mehrstufigen Zufallsversuchen:
- Weil es vier Fragen sind, handelt sich um einen vierstufigen Zufallsversuch. Mit Zurücklegen, denn bei jeder Antwort kann man Fehler machen.
- Bei jeder Frage gibt es drei Antwortmöglichkeiten, dabei eine richtige und zwei falsche. Also stellen wir uns eine Urne mit einer roten r und zwei farblosen vor. Dann ziehen wir viermal.
- Die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort ist deshalb 1/3 , die für eine falsche 2/3.
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, drei Antworten richtig anzukreuzen?
- Bei viermal Ziehen trifft dies bei den Kombinationen rrrr, rrrf, rrfr, rfrr und frrr zu.
- Hierzu die Rechnung:
5. Aufgabe
Fünf Freunde unternehmen eine Kaffeefahrt nach Helgoland und müssen nach der Rückfahrt durch die Zollkontrolle. Obwohl alle angeben, nur die erlaubte Menge Zigaretten und Alkohol eingekauft zu haben, haben Sven und Tim zu viel Zigaretten mitgenommen. Der Zollbeamte wählt zwei von den fünfen aus, um sie zu durchsuchen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt der Zollbeamte keinen Schmuggler?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt der Zollbeamte mindestens einen der beiden Schmuggler?
5. Ausführliche Lösungen
Entsprechend den Tipps zum Lösen von mehrstufigen Zufallsversuchen:
Weil der Zollbeamte zwei Personen durchsucht, ist es ein zweistufiger Zufallsversuch. Ohne Zurücklegen, deshalb verändern sich die Wahrscheinlichkeiten bei der zweiten Person! Deshalb ist es sinnvoll, hier ein Baumdiagramm zu erstellen.
In einer Urne befinden sich 3 grüne Kugeln (keine Schmuggler N) und 2 rote Kugeln (Schmuggler S). Dann wird zweimal eine Kugel gezogen ohne zurücklegen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt der Zollbeamte keinen Schmuggler?
P (NN) = 0,3.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt der Zollbeamte mindestens einen der beiden Schmuggler?
P(mind. einen S) = P(SS) + P(SN) + P(NS) = 0,1 + 0,3 + 0,3 = 0,7.
6. Aufgabe
Die Jahrgangsstufe 13 einer gymnasialen Oberstufe besteht aus zwei gleich großen Klassen mit insgesamt 40 Schülern. Jeder Schüler erhält für eine Theatervorstellung eine Freikarte. Im Theater werden den Schülern nach dem Zufallsprinzip die Plätze 1 bis 40 zugeordnet.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sitzen auf den ersten 6 Plätzen nur Schüler einer Klasse? Hinweis: Verwende ein geeignetes Urnenmodell.
6. Ausführliche Lösung
Entsprechend den Tipps zum Lösen mehrstufigen Zufallsversuchen:
Wir betrachten nur das Auslosen der ersten sechs Plätze. Also sechsmal Ziehen ohne Zurücklegen. Deshalb wählen wir dieses Urnenmodell:
20 rote Kugeln (Klasse 1) und 20 grüne Kugeln (Klasse 2).
Beim ersten Zug besteht demnach die Wahrscheinlichkeit, dass g gezogen wird 20/40. Beim zweiten Zug 19/39 etc. Weil es egal ist, aus welcher Klasse die Schüler kommen, müssen wir beide Wahrscheinlichkeiten addieren.
Hierzu die Rechnung:
7. Aufgabe
Ein Glücksrad mit 4 gleichen Segmenten der Farben grün, rot, weiß und blau wird in Drehung versetzt. Ein Spiel ist beendet, wenn das Rad still steht. Eine der vier Farben wird durch einen Zeiger angezeigt. Eine Spielfolge besteht aus 3 Spielen.
Wie viele Spielfolgen muss man mindestens durchführen, um mit mehr als 60% Wahrscheinlichkeit wenigstens eine Spielfolge mit dreimal grün zu erhalten?
7. Ausführliche Lösung
A: Wenigstens eine Spielfolge mit dreimal grün bei n Spielfolgen.
Es muss mindestens 59 mal gespielt werden um wenigstens eine Spielfolge mit dreimal grün zu erhalten.
Hier findest du die Aufgabe hierzu.
Außerdem hier die Theorie hierzu.
Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung. Darin auch Links zu Aufgaben.
