Im letzten Beitrag haben wir uns mit einstufigen Ereignissen beschäftigt, zum Beispiel wird nur ein Würfel geworfen. Jetzt geht es um mehrstufige Zufallsereignisse:
Zufallsversuche mehrstufig
Häufig müssen Zufallsversuche untersucht werden, die aus mehr als einem einzigen Experiment bestehen. Diese Versuche setzen sich aus mehreren hintereinander ausgeführten einstufigen Versuchen zusammen. Man nennt sie mehrstufige Zufallsereignisse.
Beispiel Münzwurf:
Zwei Münzen werden gleichzeitig geworfen.
Alle möglichen Ergebnisse werden in der Ergebnismenge zusammengefasst:
S = { ww ; wz ; zw ; zz }.
Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich einfach bestimmen (Laplace- Experiment).
P(ww) = P(wz) = P(zw) = P(zz) = 0,25
Nun wirft man eine Münze zweimal hintereinander und zeichnet dazu ein Baumdiagramm.
Die Wahrscheinlichkeiten werden an die jeweiligen Pfade geschrieben.
Die Ergebnismenge S = { ww ; wz ; zw ; zz } ist natürlich dieselbe wie im ersten Versuch.
Die Wahrscheinlichkeit für das einzelne Ergebnis erhält man durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades:
Mit Hilfe solcher Ergebnisbäume, auch Baumdiagramme genannt, kann man übersichtlich Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen berechnen. Dabei stellt jeder Pfad ein Ergebnis des Zufallsexperimentes dar.
Beispiel:
Der Schülerrat eines Berufskollegs besteht aus 3 Schülern und 2 Schülerinnen. Es wird ausgelost, wer in diesem Jahr Vorsitzender und Stellvertreter wird. Zuerst wird der Vorsitzende und dann der Stellvertreter ausgelost.
a)Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird je eine Schülerin Vorsitzende und eine Schülerin Stellvertreterin?
b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Schülerin Vorsitzende und ein Schüler Stellvertreter?
c)Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Schülerin Stellvertreterin?
Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment, das durch ein Urnenmodell simuliert werden kann. In der Urne befinden sich 5 Kugeln, 2 rote stehen für Schülerin und 3 schwarze stehen für Schüler. Nacheinander werden zwei Kugeln aus der Urne gezogen (Ziehen ohne zurücklegen). Ein Baumdiagramm veranschaulicht diesen Sachverhalt.
a)
b)
c)
Pfadregeln
Im Beispiel wurden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregel berechnet.
1. Pfadregel:
In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades.
2. Pfadregel
In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der für dieses Ereignis zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten.
Merke:
In einem Baumdiagramm führt jeder Pfad zu einem Ergebnis des Zufallsversuches. Die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ergebnisses ergibt sich durch Multiplizieren aller Zweigwahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades. Fasst man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade in einer Tabelle zusammen, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Sie lässt sich auch graphisch in einem Säulendiagramm darstellen.
Die Summe der Wahrscheinlichkeitenergibt immer 1
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 3 rote und 2 gelbe Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln mit zurücklegen gezogen.a)Erstellen Sie das Baumdiagramm und die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle und als Diagramm.b)Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
A: Die gezogenen Kugeln haben ungleiche Farben.c)Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
B: Mindestens eine gezogenen Kugel ist gelb.
a)
b)
c)
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 3 rote und 4 gelbe Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln ohne zurücklegen gezogen.
a) Erstellen Sie das Baumdiagramm und die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle und als Diagramm.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A: Die zweite gezogene Kugel ist rot.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B: Beide Kugeln haben die gleiche Farbe.
a)
b)
c)
Aufgaben hierzu
und Aufgaben zu Mehrstufige Zufallsversuche II
Mehrstufige Zufallsversuche werden oft mit dem Ziehen mehrerer andersfarbiger Kugeln aus einem Beutel erklärt. Darum geht es im nächsten Beitrag: Das Urnenmodell.
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