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Mathematik Wahrscheinlichkeitsrechnung

Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit

Relative Häufigkeit in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Als Erstes berechne ich in einem Beispiel die absolute und relative Häufigkeit eines Ereignisses. Danach gehe ich auf die Häufigkeit des Gegenereignisses ein. Anschließend definiere ich die Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines idealen Würfels. Die Wahrscheinlichkeit das Werfen von Heftzwecken zu berechnen ist dagegen schwerer. Dies zeige ich anhand von Versuchen. Dazu stelle ich Übungen zur Verfügung. Zum Schluss definiere ich das Laplace-Experiment.

Beispiel zur absoluten Häufigkeit

Wir fragen beispielsweise 120 Schüler, ob sie ein Handy besitzen. Im Jahr 2010 besaßen von 120 Schülern 99 ein Handy.
Das Ereignis E ist also: Schüler besitzt ein Handy.
Die absolute Häufigkeit H des Ereignisses E beträgt dementsprechend 99. Denn das ist die Anzahl der Fälle, in denen E eintritt.
Der Stichprobenumfang n beträgt hier 120.

Das sind einerseits die absoluten Zahlen. Die relative Häufigkeit dagegen beschreibt das Ergebnis unabhängig von der Grüße der Stichprobe. Dies berechnet man so:

Berechnung der relativen Häufigkeit:

Berechnung-relative-Häufigkeit

Allgemein gilt:

Formel-relative-Häufigkeit

1. Übung zur relativen Häufigkeit:

Bestimme-relative-Häufigkeit-Ereignis-Gegenereignis

Die Lösung dazu ist unten.

Häufigkeit von Ereignis und Gegenereignis

Ereignis+Gegenereignis=1




Definition der Wahrscheinlichkeit

Bei der Definition der Wahrscheinlichkeit unterscheidet man zwischen der klassischen Definition und der statistischen Definition.

Klassische Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines idealen Würfels

Bei einem idealen Würfel hat jede Zahl zwischen 1 und 6 die gleiche Chance. Weil sich jeder die 6 wünscht, definieren wir das Ereignis E: Die gewürfelte Zahl ist eine 6.
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten dieser Zahl wird folglich definiert:

Formel-klassische-Wahrscheinlichkeit

Für den Würfel bedeutet das also, zu E gehört nur ein Ergebnis, nämlich die Zahl 6.
Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse sind die Zahlen von 1 bis 6, deshalb gibt es 6 mögliche Ergebnisse.
Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln:

Berechnung-6-würfeln

2. Übung zur relativen Häufigkeit:

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer geraden Zahl größer als 2 bei einmaligem würfeln.
Die Lösung dazu ist unten.

Statistische Wahrscheinlichkeit am Beispiel von Heftzweckenwürfen:

Wenn man eine Heftzwecke wirft, kann sie auf den Rücken fallen oder seitlich liegen bleiben.
des_088
Man kann jedoch nicht davon ausgehen, dass hier die Chancen gleich sind. Denn es kann sein, das der Rücken sehr massiv oder weniger massiv gefertigt ist. Um hier eine Wahrscheinlichkeitsaussage zu treffen, müssen wir experimentiert.

Experiment:
Wir werden eine Heftzwecke 100 mal geworfen. Danach berechnen wir die relativen Häufigkeiten.

Ergebnis:

Ereignis des_089 des_090 Summe n
absolute Häufigkeit ni 44 56 100
f_1091 f_1092 f_1093 f_1094
relative Häufigkeit in % 44% 56% 100%

Je öfter wir werfen, desto näher kommt der Wert der relativen Häufigkeit einem Endwert. Mit anderen Worten: er pendelt sich ein.
Diesen Endwert nennt man statistische Wahrscheinlichkeit.
Um für unser Experiment eine vernünftige Wahrscheinlichkeitsaussage zu treffen, müssten wir diesen Versuch also sehr oft wiederholen.

Wenn man die Anzahl der Versuche wie z.B. beim Würfeln immer höher gewählt, streut die relative Häufigkeit für das Auftreten einer bestimmten Augenzahl immer enger um einen bestimmten Wert. Beim Würfeln also um den Wert 1/6. Die statistische Wahrscheinlichkeit wird daher als Grenzwert definiert. Die Anzahl der Versuche soll gegen unendlich streben:

Formel-statistische-Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit:

Die Wahrscheinlichkeit ist die beste Vorhersage für die zu erwartende relative Häufigkeit des bestimmten Ereignisses bei einem Zufallsversuch.

Versuch zum Einpendeln der relativen Häufigkeit:

Wirf 10 Heftzwecken gleichzeitig. Notiere danach die Anzahl des Ereignisses.
E: Die Heftzwecke liegt auf dem Rücken.
Führe diesen Versuch insgesamt 10 mal durch.
Dies ist das gleiche, also wenn man eine Heftzwecke 100 mal wirft. Es geht allerdings schneller.
Trage die kumulierte absolute Häufigkeit in die Tabelle ein. Berechne danach die relativen Häufigkeiten.

Tabelle-Heftzweckversuch

Man kann diesen Versuch auch mit mehreren unter gleichen Bedingungen durchführen. Das ist gleichbedeutend mit einer höheren Anzahl der Versuche.

Wenn man z. B. die Ergebnisse von 10 Versuchspersonen addiert, ist es gleichbedeutend mit 1000 Versuchen. Ihr könnt das also in der Klasse gemeinsam durchführen.
Berechne auch hier die relativen Häufigkeiten.

Tabelle-Heftzwecken-mehrere-Personen

Trage die relativen Häufigkeiten anschließend in ein Diagramm ein! Dadurch wird die Entwicklung der relativen Häufigkeiten sichtbar.
Gib ein Intervall an, auf welches sich die relativen Häufigkeiten einzupendeln scheinen.
Kommentiere den Ausgang des Experimentes.

Graph-Heftzweckeversuch

f_1098

Wir sehen also, dass bei einer geringen Anzahl von Versuchen die relative Häufigkeit stark um einen bestimmten Wert pendelt.
Je größer die Anzahl der Versuche wird, desto mehr nähert sich der Wert der relativen Häufigkeit einem bestimmten Wert.
Dieser Wert kann folglich als statistische Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Ereignisses E gedeutet werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Heftzwecke auf dem Rücken liegt ist z. B. zwischen den Werten 0,45 und 0,46 zu finden.
Für das Gegenereignis (Heftzwecke liegt auf der Seite) liegt die Wahrscheinlichkeit dagegen zwischen den Werten 0,54 und 0,55.
De verwendete Heftzwecke hat für das Auftreten beider Ereignisse folglich ungleiche Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel relative Häufigkeit mit ungleicher Verteilung:

Das untenstehende Glücksrad hat sechs Sektoren, teils unterschiedlicher Größe.

Ergebnismenge

Glücksrad

Wenn das Glücksrad auf einem der Sektoren 2, 4 oder 6 stehen bleibt, tritt Ereignis A ein.
Bleibt der Zeiger auf Sektor 1, 3 oder 5 stehen, tritt dagegen Ereignis B ein. Zuerst betrachten wir die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse.

relative-Wahrscheinlichkeit-Glücksrad

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A berechnet man also so:

relative-Wahrscheinlichkeit-Glücksrad-A

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B berechnet man entsprechend:

relative-Wahrscheinlichkeit-Glücksrad-B

3. Übung zur relativen Wahrscheinlichkeit:

Ermittele die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis von A!
Die Lösung ist unten.

relative-Wahrscheinlichkeit-Übung3

Wahrscheinlichkeit-insgesamt-immer-1
Das leuchtet sofort ein, denn ein Elementarergebnis tritt immer auf. Z. B. bei einem Würfel erscheint immer eine Zahl.



Zusammenfassung elementarer Eigenschaften der relativen Wahrscheinlichkeit:

f_1106

4. Übung zur relativen Wahrscheinlichkeit:

Ein Würfel wird einmal geworfen. Dann legen wir diese Ereignisse fest:
A: Die Augenzahl ist kleiner als 4.
B: Die Augenzahl ist eine ungerade Zahl.
C: [ 4 ; 5 ]

a)
f_1107

b)
f_1108

c)
f_1109

d)
f_1110

Die Lösung ist unten.


Laplace-Experimente

Wir haben bisher zwei verschiedene Arten von Zufallsversuchen kennen gelernt.
1. mit gleicher Wahrscheinlichkeitsverteilung.
2. außerdem mit ungleicher Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Zur ersten Gruppe gehörten:
– Werfen eines Würfels
– Werfen einer Münze
– Drehen eines Glücksrades mit gleich großen Segmenten.

Zur zweiten Gruppe gehörten dagegen:
– Werfen einer Heftzwecke
– Drehen eines Glücksrades mit ungleich großen Segmenten.

Definition Laplace-Experiment

Wenn alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuches die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, nennt man dies Laplace-Experiment.

f_1115

5. Übung zur relativen Wahrscheinlichkeit:

f_1116
Die Lösung ist unten.

6. Übung zur relativen Wahrscheinlichkeit:

In einer Urne befinden sich 2 schwarze und 3 rote Kugeln. Dann wird einmal gezogen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gezogene Kugel schwarz?
b) Wie viele schwarze Kugeln müssen mindestens in der Urne liegen, so dass die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, größer als 0,7 ist?
Die Lösung ist unten.


Lösungen der Übungen:

1. Übung

f_1085

Lösung:

f_1086

2. Übung:

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer geraden Zahl größer als 2 bei einmaligem würfeln.

Lösung:

f_1090

3. Übung:

Ermittele die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis von A Lösung: Die Ergebnismenge S besteht aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Zum Ereignis A dagegen gehören die geraden Zahlen 2, 4 und 6. Das Gegenereignis zu A findet man über die Differenzmengenbildung.

f_1103

4. Übung:

Ein Würfel wird einmal geworfen. Dann legen wir fest:
A: Die Augenzahl ist kleiner als 4.
B: Die Augenzahl ist eine ungerade Zahl.
C: [ 4 ; 5 ]

a)
f_1107

b)
f_1108

c)
f_1109

d)
f_1110

Lösung:

a)
f_1111

b)
f_1112
c)
f_1113
d)
f_1114

5. Übung:

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Lösung:
 f_1117

6. Übung:

In einer Urne befinden sich 2 schwarze und 3 rote Kugeln. Dann wird einmal gezogen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gezogene Kugel schwarz?
b) Wie viele schwarze Kugeln müssen mindestens in der Urne liegen, damit die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, größer als 0,7 ist?

Lösung:

a)des_092

Lösung mittels Baumdiagramm.
Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen ist 2/5. Die eine rote zu ziehen dagegen ist 3/5. Die Wahrscheinlichkeiten stehen an dem jeweiligen Pfade.

b) In der Urne seien x schwarze und 3 rote Kugeln.
Insgesamt befinden sich in der Urne also x + 3 Kugeln.
E: die gezogene Kugel ist schwarz.

f_1118

Es müssen also mindestens 8 schwarze Kugeln in der Urne liegen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit eine solche zu ziehen mindestens 0,7.

Hier findet ihr Aufgaben zur Relativen Häufigkeit I.

Außerdem hier Relative Häufigkeit II.

Hier findet ihr eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung. Darin auch Links zu Aufgaben.