Relative Häufigkeit in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Als Erstes berechne ich in einem Beispiel die relative Häufigkeit eines Ereignisses. Danach gehe ich auf die Häufigkeit des Gegenereignisses ein. Anschließend definiere ich die Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines idealen Würfels. Die Wahrscheinlichkeit Heftzwecken zu berechnen ist dagegen schwerer. Dies zeige ich anhand von Übungen und Versuchen. Zum Schluss definiere ich das Laplace-Experiment.
Im letzten Beitrag haben wir gesehen, wie Ereignissen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verknüpft werden. Hier betätigen wir uns nun mit der relativen Häufigkeit von Ereignissen.
Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy. (Das Beispiel stammt aus dem Jahre 2010!)
Ereignis E: Schüler besitzt ein Handy.
Die absolute Häufigkeit H des Ereignisses E beträgt in diesem Fall 99.
Das ist die Anzahl der Fälle, in denen E eintritt.
Der Stichprobenumfang n beträgt in diesem Fall 120.
Berechnung der relativen Häufigkeit:
Allgemein gilt:
Übung:
Lösung unten
Häufigkeit von Ereignis + Gegenereignis
Definition der Wahrscheinlichkeit
Bei der Definition der Wahrscheinlichkeit unterscheidet man zwischen der klassischen Definition und der statistischen Definition.
Klassische Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines idealen Würfels
Bei einem idealen Würfel geht man davon aus, das jede Zahl zwischen 1 und 6 die gleiche Chance zum Auftreten hat.
Wir definieren das Ereignis E: Die gewürfelte Zahl ist eine 6.
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten dieser Zahl wird wie folgt definiert:
Für den Würfel bedeutet das, zu E gehört nur ein Ergebnis, nämlich die Zahl 6.
Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse sind die Zahlen von 1 bis 6, also gibt es 6 mögliche Ergebnisse.
Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln:
Übung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer geraden Zahl größer als 2 bei einmaligem würfeln.
Lösung unten
Statistische Wahrscheinlichkeit am Beispiel von Heftzweckenwürfen:
Wirft man eine Heftzwecke, so kann sie entweder auf den Rücken fallen oder seitlich liegen bleiben.
Man kann nicht davon ausgehen, dass hier die Chancen gleich sind. Die Ursache liegt in der Herstellung der Heftzwecke. Es kann sein, das der Rücken sehr massiv oder weniger massiv gefertigt ist. Um hier eine Wahrscheinlichkeitsaussage zu treffen, muss experimentiert werden.Experiment:
Eine Heftzwecke wird 100 mal geworfen, die relativen Häufigkeiten werden berechnet.
Ergebnis:
| Ereignis |  |
 |
Summe n |
| absolute Häufigkeit ni | 44 | 56 | 100 |
 |
 |
 |
 |
| relative Häufigkeit in % | 44% | 56% | 100% |
Die Erfahrung zeigt, dass mit steigender Versuchszahl der Wert der relativen Häufigkeit immer mehr einem Endwert näher kommt, er pendelt sich ein.
Diesen Endwert nennt man statistische Wahrscheinlichkeit.
Um für unser Experiment eine vernünftige Wahrscheinlichkeitsaussage zu treffen, müssten wir diesen Versuch sehr oft wiederholen.
Wird die Anzahl der Versuche wie z.B. beim Würfeln immer höher gewählt, streut die relative Häufigkeit für das Auftreten einer bestimmten Augenzahl immer enger um einen bestimmten Wert, beim Würfeln um den Wert 1/6. Die statistische Wahrscheinlichkeit wird daher als Grenzwert definiert, die Anzahl der Versuche soll gegen unendlich streben:
Merke:
Die Wahrscheinlichkeit ist die beste Vorhersage für die zu erwartende relative Häufigkeit des bestimmten Ereignisses bei einem Zufallsversuch.
Ein Versuch soll verdeutlichen, dass sich die relative Häufigkeit von Ereignissen auf einen bestimmten Wert einpendelt, wenn die Anzahl der Versuche nur groß genug ist.
Versuch:
Werfen Sie 10 Heftzwecken gleichzeitig und merken Sie sich die Anzahl des Ereignisses.
E: Die Hertzwecke liegt auf dem Rücken.
Führen Sie diesen Versuch insgesamt 10 mal durch.
Die Versuchsdurchführung soll als gleichwertig mit dem Versuch eine Heftzwecke 100 mal zu werfen angesehen werden.
Tragen Sie die kumulierte absolute Häufigkeit in die Tabelle ein und berechnen Sie die relativen Häufigkeiten.
Wird dieser Versuch von mehreren Personen unter gleichen Bedingungen durchgeführt, so kann das als gleichbedeutend mit einer Erhöhung der Anzahl der Versuche gewertet werden.
Eine Aufsummierung der Ergebnisse von z. B. 10 Versuchspersonen ist gleichbedeutend mit einer Vergrößerung der Anzahl der Versuche auf 1000.
Berechnen Sie auch hier die relativen Häufigkeiten.
Tragen Sie die relativen Häufigkeiten in ein Diagramm ein und betrachten Sie die Entwicklung der Relativen Häufigkeiten.
Geben Sie ein Intervall an, auf welches sich die relativen Häufigkeiten einzupendeln scheinen.
Kommentieren Sie den Ausgang des Experimentes.
Das Experiment verdeutlicht, das bei einer geringen Anzahl von Versuchen die relative Häufigkeit stark um einen bestimmten Wert pendelt.
Je größer die Anzahl der Versuche wird, desto mehr nähert sich der Wert der relativen Häufigkeit einem bestimmten Wert.
Dieser Wert kann als statistische Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Ereignisses E gedeutet werden.
Für unser Beispiel bedeutet das, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Heftzwecke auf dem Rücken liegt zwischen den Werten 0,45 und 0,46 zu finden ist.
Für das Gegenereignis (Heftzwecke liegt auf der Seite) liegt die Wahrscheinlichkeit zwischen den Werten 0,54 und 0,55.
Das bedeutet, die verwendete Heftzwecke hat für das Auftreten beider Ereignisse (Rücken oder Seite) ungleiche Wahrscheinlichkeiten.
Beispiel:
Das untenstehende Glücksrad hat sechs Sektoren, teils unterschiedlicher Größe.
Wenn das Glücksrad auf einem der Sektoren 2, 4 oder 6 stehen bleibt, sagt man, dass das Ereignis A eingetreten ist.
Bleibt der Zeiger auf Sektor 1, 3 oder 5 stehen, tritt Ereignis B ein.Zuerst betrachten wir die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A kann wie folgt berechnet werden:
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B kann wie folgt berechnet werden:
Übung:
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis von A
Lösung unten
Das leuchtet auch sofort ein, denn ein Elementarergebnis tritt immer auf, z. B. bei einem Würfel erscheint immer eine Zahl.
Zusammenfassung elementarer Eigenschaften:
Übung:
Ein Würfel wird einmal geworfen. Folgende Ereignisse werden festgelegt.
A: Die Augenzahl ist kleiner als 4.
B: Die Augenzahl ist eine ungerade Zahl.
C: [ 4 ; 5 ]
a)
b)
c)
d)
Lösung unten
Laplace- Experimente
Wir haben bisher zwei verschiedene Arten von Zufallsversuchen kennen gelernt.
1. solche, mit gleicher Wahrscheinlichkeitsverteilung.
2. solche mit ungleicher Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Zur ersten Gruppe gehörten:
– Werfen eines Würfels
– Werfen einer Münze
– Drehen eines Glücksrades mit gleich großen Segmenten
Zur zweiten Gruppe gehörten:
– Werfen einer Heftzwecke
– Drehen eines Glücksrades mit ungleich großen Segmenten
Definition Laplace-Experiment
Haben alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuches (erste Gruppe) die gleiche Wahrscheinlichkeit, dann spricht man von einem Laplace- Experiment .
Übung:
Lösung unten
Übung:
In einer Urne befinden sich 2 schwarze und 3 rote Kugeln. Es wird einmal gezogen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gezogene Kugel schwarz?
b) Wie viele schwarze Kugeln müssen mindestens in der Urne liegen, so dass die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, größer als 0,7 ist?
Lösung unten
Lösungen der Übungen:
Übung
Lösung:
Übung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer geraden Zahl größer als 2 bei einmaligem würfeln.
Lösung:
Übung:
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis von A Lösung: Die Ergebnismenge S besteht aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Zum Ereignis A gehören die geraden Zahlen 2, 4 und 6. Das Gegenereignis zu A findet man über die Differenzmengenbildung.
Übung:
Ein Würfel wird einmal geworfen. Folgende Ereignisse werden festgelegt.
A: Die Augenzahl ist kleiner als 4.
B: Die Augenzahl ist eine ungerade Zahl.
C: [ 4 ; 5 ]
a)
b)
c)
d)
Lösung:
a)
b)
c)
d)
Übung:
Lösung:
Übung:
In einer Urne befinden sich 2 schwarze und 3 rote Kugeln. Es wird einmal gezogen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gezogene Kugel schwarz?
b) Wie viele schwarze Kugeln müssen mindestens in der Urne liegen, so dass die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, größer als 0,7 ist?
Lösung:
a)
Lösung mittels Baumdiagramm.
Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen ist 2/5, die eine rote zu ziehen ist 3/5.Die Wahrscheinlichkeiten werden an die jeweiligen Pfade geschrieben.b)In der Urne seien x schwarze und 3 rote Kugeln.
Insgesamt befinden sich in der Urne also x + 3 Kugeln.
E: die gezogene Kugel ist schwarz
Es müssen also mindestens 8 schwarze Kugeln in der Urne liegen, damit eine solche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,7 gezogen wird.
Aufgaben zur Relativen Häufigkeit I
und Relative Häufigkeit II
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