Verknüpfung von Ereignissen Wahrscheinlichkeit • 123mathe

In diesem Beitrag erkläre ich, wie man Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verknüpft. Dazu stelle ich anschauliche Beispiele und Übungen aus der Mengenlehre vor. Zuletzt definiere ich unvereinbare Ereignisse: deren Und-Verknüpfung ist leer. Dazu kannst du dir das 📽️Video Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechung ansehen.

Beispiel für eine Verknüpfung von Ereignissen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Wenn wir einen Würfel einmal werfen, können wir Ereignisse festlegen:

A: Die Augenzahl ist größer als 3.
B: Die Augenzahl ist eine gerade Zahl.

Wir können ein neues Ereignis aber auch so festlegen:
C: Die Augenzahl ist größer als 3 und die Augenzahl ist eine gerade Zahl.
Das Ereignis C ist also eine und-Verknüpfung aus A und B.
Schauen wir uns dazu die Ereignismenge C an:

Lösung:

A={4; 5; 6} B={2; 4; 6} ⇒ C={4; 6}
In der Mengenschreibweise sieht das dann so aus:
Die Schnittmenge von A und B, also die und-Verknüpfung: C = A ∩ B.

Erläuterungen zu Schnittmenge findest du unter Verknüpfung von Mengen und in der Übersicht über Aussagen und Mengen.

Übung zur Verknüpfung von Ereignissen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Zuerst legen wir ein neues Ereignis wie folgt fest:
D: Die Augenzahl ist größer als 3 oder die Augenzahl ist dabei eine gerade Zahl.
Das Ereignis D ist eine oder-Verknüpfung aus A und B.
Wie lautet die Ereignismenge D hierzu?
Die Lösung hierzu ist unten.

Beispiele zu verknüpften Ereignissen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wieder werfen wir den Würfel. Dabei legen wir folgende Ereignisse fest:
A: Die Augenzahl ist kleiner als 4.
B: Die Augenzahl ist dabei eine ungerade Zahl.
C: { 4 ; 5 }

Bilde A ∩ B und beschreibe die Menge danach in Worten!
Lösung: A={1; 2; 3} B = {1; 3; 5} ⇒ A ∩ B = {1; 3}.
A ∩ B bedeutet: Dabei ist die Augenzahl kleiner als 4 und eine ungerade Zahl.

Bilde A ∪ B und beschreibe die Menge anschließend in Worten!
Lösung: A={1; 2; 3} B = {1; 3; 5} ⇒ A ∪ B = {1; 2; 3; 5}.
A ∪ B bedeutet: Diesmal ist die Augenzahl kleiner als 4 oder eine ungerade Zahl.

Bilde A ∩ B und beschreibe die Menge danach in Worten!
Lösung: A={1; 2; 3} B = {1; 3; 5} ⇒ A ∩ B = {1; 3}.
A ∩ B bedeutet: Dabei ist die Augenzahl kleiner als 4 und eine ungerade Zahl.

Bilde $\bar A$ ∩ B und beschreibe die Menge danach in Worten!
Lösung: Zuerst erstellen wir $\bar A$ = {4; 5; 6} Die Augenzahl ist also größer als 3.
Mit B = {1; 3; 5} ⇒ $\bar A$ ∩ B = {5}.
$\bar A$ ∩ B bedeutet also: Die Augenzahl größer als 3 und eine ungerade Zahl.

Bilde A ∩ C und beschreibe die Menge danach in Worten!
Lösung: A={1; 2; 3} C: { 4 ; 5 } ⇒ A ∩ C = {} =∅.
A ∩ C bedeutet: Dabei ist die Augenzahl kleiner als 4 und 4 oder 5.
Dieses Ereignis ist also unvereinbar.

Dazu kannst du dir das 📽️Video Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechung ansehen.

Unvereinbare Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mengenoperationen:

Wenn wir die Mengen verknüpfen, ergibt sich folgendes:

$E \quad \cup \quad \overline E = S$
$E \quad \cap \quad \overline E = \emptyset \\ E \quad \cup \quad S = S \\ E \quad \cap \quad S = E$ .

Lösung der Übung:

Wir legen ein neues Ereignis wie folgt fest:
D: Die Augenzahl ist größer als 3 oder die Augenzahl ist eine gerade Zahl.
Das Ereignis D ist eine oder-Verknüpfung aus A und B.
Wie lautet die Ereignismenge D hierzu?
Lösung: