Kategorien
Mathematik Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

In diesem Beitrag definiere ich die Begriffe Ereignis und Gegenereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung anhand anschaulicher Beispiele und Übungen. Außerdem gebe ich Tipps zum Vorgehen bei der Suche nach einem Gegenereignis.

Wir betrachten hierzu das einmalige Würfeln. Dabei besteht die Ergebnismenge aus 6 möglichen Ergebnissen: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Die Erklärung der Menschenschreibweise hierzu findest du unter Einführung in die Mengenlehre.

Als Ereignis definieren wir anschließend A: Die geworfene Zahl ist gerade. Die Ergebnismenge besteht dabei aus 3 möglichen Ergebnissen: A = {2; 4; 6}. Sie ist eine Teilmenge der Ergnismenge. Deshalb schreibt man: A ⊂ S.

Im vorherigen Beitrag haben wir die Begriffe Ereignis und Ereignissmenge definiert. Hier nun eine andere

Definition Ereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Jede Teilmenge A, B, C, … der Ergebnismenge S eines Zufallsexperiments nennt man ebenfalls Ereignis. Deshalb schreibt man: A ⊂ S; B ⊂ S; C ⊂ S etc.

Beispiel zum Ereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Wir werfen eine Münze dreimal nacheinander.
Über das Baumdiagramm findet man dann die Ergebnismenge S:

Ereignisse-Wahrscheinlichkeitsrechnung-dreimal-würfeln
A sei das Ereignis, das bei den drei Würfen mindestens 2 mal die Zahl geworfen wird. Wie lautet deshalb die Menge A?

Ereignisse-Wahrscheinlichkeitsrechnung-Ergebnis-Mengenschreibweise

Übung 1 zum Ereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

B sei das Ereignis, dass keine Zahl erscheint. Wie lautet die Menge B?
Die Lösung hierzu ist unten.

Übung 2 zum Ereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

C sei das Ereignis, dass höchstens einmal die Zahl erscheint. Wie lautet die Menge C?
Die Lösung hierzu ist unten.




Ereignisarten in der Wahrscheinlichkeitsrechnung erklärt an einem Glücksrad mit 8 Segmenten

f_1043

f_1044

Das Ereignis A tritt bei jeder Durchführung des Zufallsexperiments ein. Es wird deshalb sicheres Ereignis genannt. A = S.

f_1045

Das Ereignis B enthält nur ein Element. Man nennt es daher Elementarereignis.

f_1046

Definition Gegenereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Das Gegenereignis ist sowie das Gegenteil des Ereignisses. Mit anderen Worten, es trifft ein, wenn das Ereignis nicht eintritt.

f_1047


Beispiele zum Gegenereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ereignis Gegenereignis
A: Höchstens 4 Autos sind defekt f_1048
B: Mindestens 2 Handys wurden gestohlen f_1049
C: Kein Auto ist blau f_1050
D: Genau ein Apfel von drei Äpfeln ist faul f_1051

Das Gegenteil von ‚höchstens‘ und ‚kein‘ ist also ‚mindestens‘. Das Gegenteil von ‚genau 1‘ ist also ‚keins oder mehr als 1‘.

Vorgehen bei der Suche nach einem Gegenereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

  1. Ergebnismenge S bestimmen.
  2. Ereignismenge bestimmen.
  3. Über die Restmengenbildung die Gegenereignismenge bilden.

Weil viele Probleme damit haben, hier ausführliche Beispiele:

Lösungsmöglichkeit für „Höchstens 4 Autos sind defekt“:

Der Einfachheit halber gehen wir von maximal 6 Autos aus. Alle Möglichkeiten der Kombinationen von heile (H) und defekt (D) bilden also die Ergebnismenge S.
Ereignisse-Wahrscheinlichkeitsrechnung-Lösung-4-defekt

Lösungsmöglichkeit für „Mindestens 2 Handys wurden gestohlen“.

Der Einfachheit halber gehen wir von maximal 4 Handys aus. Alle Möglichkeiten der Kombinationen von gestohlen (G) und nicht gestohlen (N) bilden folglich die Ergebnismenge S.
Ereignisse-Wahrscheinlichkeitsrechnung-Lösung-2-gestohlen

Lösungsmöglichkeit für „Kein Auto ist blau“.

Der Einfachheit halber gehen wir von maximal 4 Autos aus. Alle Möglichkeiten der Kombinationen von blau (B) und nicht blau (N) bilden dann die Ergebnismenge S.
Ereignisse-Wahrscheinlichkeitsrechnung-Lösung-keines-blau

Lösungsmöglichkeit für „Genau ein Apfel von drei Äpfeln ist faul“.

Wir müssen von 3 Äpfeln ausgehen. Alle Möglichkeiten der Kombinationen von faul (F) und nicht faul (N) bilden deshalb die Ergebnismenge S.
Ereignisse-Wahrscheinlichkeitsrechnung-Lösung-genau-einer-faul


Lösung zu Übung 1

B sei das Ereignis, dass keine Zahl erscheint. Wie lautet die Menge B?
Lösung: f_1041
Bemerkung: Da die Menge B nur ein Element enthält, spricht man in diesem Fall von einem Elementarereignis.

Lösung zu Übung 2

C sei das Ereignis, dass höchstens einmal die Zahl erscheint. Wie lautet die Menge C?

Lösung: f_1042

Aufgaben hierzu I.

Und Aufgaben zu Ereignissen und Verknüpfungen von Ereignissen II



Außerdem findest du hier eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.