Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

In diesem Beitrag definiere ich die Begriffe Ereignis und Gegenereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung anhand anschaulicher Beispiele und Übungen. Außerdem gebe ich Tipps zum Vorgehen bei der Suche nach einem Gegenereignis.

Wir betrachten hierzu das einmalige Würfeln.

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Die Erklärung der Menschenschreibweise hierzu finden Sie unter Einführung in die Mengenlehre.

Als Ereignis definieren wir dann A: Die geworfene Zahl ist gerade.

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Im vorherigen Beitrag haben wir die Begriffe Ereignis und Ereignissmenge definiert. Hier nun eine andere

Definition Ereignis:

Jede Teilmenge A, B, C, … der Ergebnismenge S eines Zufallsexperiments nennt man ebenfalls Ereignis.

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Beispiel:

Wir werfen eine Münze dreimal nacheinander.
Über das Baumdiagramm findet man die Ergebnismenge S:

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A sei das Ereignis, das bei den drei Würfen mindestens 2 mal die Zahl geworfen wird. Wie lautet deshalb die Menge A?

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Übung 1

B sei das Ereignis, dass keine Zahl erscheint. Wie lautet die Menge B?
Die Lösung hierzu finden Sie unten.

Übung 2

C sei das Ereignis, dass höchstens einmal die Zahl erscheint. Wie lautet die Menge C?
Die Lösung hierzu finden Sie unten.




Ereignisarten erklärt an einem Glücksrad mit 8 Segmenten

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Das Ereignis A tritt bei jeder Durchführung des Zufallsexperiments ein. Es wird sicheres Ereignis genannt. A = S.

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Das Ereignis B enthält nur ein Element. Man nennt es Elementarereignis.

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Definition Gegenereignis

Das Gegenereignis ist sogzusagen das Gegenteil des Ereignisses. Mit anderen Worten, es trift dann ein, wenn das Ereignis nicht eintritt.

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Beispiele zum Gegenereignis

Ereignis Gegenereignis
A: Höchstens 4 Autos sind defekt f_1048
B: Mindestens 2 Handys wurden gestohlen f_1049
C: Kein Auto ist blau f_1050
D: Genau ein Apfel von drei Äpfeln ist faul f_1051

Das Gegenteil von ‚höchstens‘ und ‚kein‘ ist also ‚mindestens‘. Das Gegenteil von ‚genau 1‘ ist also ‚keins oder mehr als 1‘.

Vorgehen bei der Suche nach einem Gegenereignis:

  1. Ergebnismenge S bestimmen.
  2. Ereignismenge bestimmen.
  3. Über die Restmengenbildung die Gegenereignismenge bilden.

Weil viele Probleme damit haben, hier ausführliche Beispiele:

Lösungsmöglichkeit für „Höchstens 4 Autos sind defekt“:

Der Einfachheit halber gehen wir von maximal 6 Autos aus. Alle Möglichkeiten der Kombinationen von heile (H) und defekt (D) bilden die Ergebnismenge S.
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Lösungsmöglichkeit für „Mindestens 2 Handys wurden gestohlen“.

Der Einfachheit halber gehen wir von maximal 4 Handys aus. Alle Möglichkeiten der Kombinationen von gestohlen (G) und nicht gestohlen (N) bilden die Ergebnismenge S.
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Lösungsmöglichkeit für „Kein Auto ist blau“.

Der Einfachheit halber gehen wir von maximal 4 Autos aus. Alle Möglichkeiten der Kombinationen von blau (B) und nicht blau (N) bilden die Ergebnismenge S.
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Lösungsmöglichkeit für „Genau ein Apfel von drei Äpfeln ist faul“.

Wir müssen von 3 Äpfeln ausgehen. Alle Möglichkeiten der Kombinationen von faul (F) und nicht faul (N) bilden die Ergebnismenge S.
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Lösung zu Übung 1

B sei das Ereignis, dass keine Zahl erscheint. Wie lautet die Menge B?
Lösung: f_1041
Bemerkung: Da die Menge B nur ein Element enthält, spricht man in diesem Fall von einem Elementarereignis.

Lösung zu Übung 2

C sei das Ereignis, dass höchstens einmal die Zahl erscheint. Wie lautet die Menge C?

Lösung: f_1042

Aufgaben hierzu I

und Aufgaben zu Ereignissen und Verknüpfungen von Ereignissen II




Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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