Zufallsexperimente in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aus der Beschäftigung mit Problemen, die im Zusammenhang mit Glücksspielen standen, entwickelte sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Auch heute noch werden Erkenntnisse und Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Glücksspiele angewandt. Ähnlich wie bei Glücksspielen sind auch bei vielen naturwissenschaftlichen, wirtschafts- oder sozialwissenschaftlichen Erscheinungen Voraussagen und Planungen von Zufällen abhängig. Die Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Untersuchung von Vorgängen mit zufälligen Ausgängen auf mögliche Gesetzmäßigkeiten um diese für Prognosen zu optimieren.


Zufallsexperimente

Die Augenzahl beim Würfeln hängt vom Zufall ab. Das Würfeln, aber auch jedes andere Glücksspiel ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang, bei dem der Ausgang nicht vorhersagbar ist. Solche Versuche nennt man Zufallsexperimente.

Definition:

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften:

  • Unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar
  • Es gibt mindestens zwei mögliche Ergebnisse
  • Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar

Beispiel:

Werfen eines Würfels

  • ist beliebig oft wiederholbar
  • Es gibt 6 mögliche Ergebnisse (also mindestens 2)
  • Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar

Übung 1:

Ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment?
Lösung unten




Einstufige Zufallsexperimente

Definition:

Wird ein Zufallsexperiment einmal ausgeführt, so spricht man von einem einstufigen Zufallsexperiment.

Beispiel:

Einmaliges werfen eines Würfels.
Einmaliges werfen einer Münze.
Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels.

Ergebnis:

Der Ausgang des Zufallsexperimentes wird Ergebnis genannt.

Beispiele:

Zufallsexperiment                                                                  mögliches Ergebnis
Einmaliges werfen eines Würfels                                          4
Einmaliges werfen einer Münze                                            Zahl
Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels      Sieg

Ergebnismenge:

Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.
Die Ergebnismenge wird auch Stichprobenraum, oder Ereignisraum oder Ergebnisraum genannt.

Beispiele:

Zufallsexperiment                                                                     Ergebnismenge

Einmaliges werfen eines Würfels                                            f_1024

Einmaliges werfen einer Münze                                              f_1025

Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels       f_1026

Übung 2:

Geben Sie drei weitere Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen Ergebnismenge an.
Lösung unten


Darstellung der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes

Die Ergebnismenge kann in der Mengenschreibweise oder auch als Baumdiagramm dargestellt werden.

Darstellung in der Mengenschreibweise Darstellung als Baumdiagramm
Einmaliges werfen eines Würfels
f_1028 des_082
Einmaliges werfen einer Münze
f_1029 des_083
Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels
f_1030 des_084

Definition:

f_1031




Mehrstufige Zufallsexperimente

Zufallsexperimente, die sich aus mehreren hintereinander ausgeführten einstufigen Experimenten zusammensetzen, nennt man mehrstufige Zufallsexperimente.

Beispiel

Zweimaliges werfen einer Heftzwecke

f_1032

Darstellung mittels Baumdiagramm:

des_085

Die Ergebnismenge lässt sich leicht aus dem Baumdiagramm ablesen:

f_1033

Es gibt 4 mögliche Ergebnisse. Im Baumdiagramm führt jeder Pfad zu einem Ergebnis.

Übung 3:

In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel.
Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift:
Nacheinander wird jeweils eine Kugel ohne zurücklegen gezogen.
Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge.
Lösung unten

Übung 4:

In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel.
Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift:
Nacheinander wird jeweils eine Kugel mit zurücklegen gezogen.
Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge.
Lösung unten


Lösungen der Übungen:

  1. Ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment?
    Die Wette ist beliebig oft wiederholbar.
    Es gibt 3 mögliche Ergebnisse (Sieg, unentschieden, Niederlage).
    Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar.
    Also ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment.
  2. Geben Sie drei weitere Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen Ergebnismenge an.
    f_1027
  3. In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel.
    Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift:
    Nacheinander wird jeweils eine Kugel ohne zurücklegen gezogen.
    Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge.
    des_086
    Ergebnismenge:
    f_1034
  4. In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel.
    Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift:
    Nacheinander wird jeweils eine Kugel mit zurücklegen gezogen.
    Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge.
    des_087Ergebnismenge:
    f_1035



Aufgaben hierzu

Lösungen der Aufgaben

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Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung, darin auch Links zu Aufgaben.

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