Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

In diesem Beitrag führe ich anhand von leicht verständlichen Beispielen und Übungen in die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein. Zuerst definiere ich die Begriffe Zufallsexperiment und einstufiges Zufallsexperiment. Danach erkläre ich Ergebnis und Ergebnismenge. Anschließend zeige ich die Darstellung in der Mengenschreibweise und als Baumdiagramm. Zuletzt erkläre ich das mehrstufige Zufallsexperiment.


Wenn es um Wahrscheinlichkeiten geht, denken wir zuerst an Würfel. Denn die Augenzahl hängt vom Zufall ab. Deshalb nennt man solche Versuche Zufallsexperimente.

Definition Zufallsexperimente

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften:

  • Unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar
  • Es gibt mindestens zwei mögliche Ergebnisse
  • Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar.

Beispiel für Zufallsexperimente:

Das Werfen eines Würfels, denn

  • es ist beliebig oft wiederholbar,
  • es gibt 6 mögliche Ergebnisse
  • und das Ergebnis ist nicht vorhersagbar.

Übung 1:

Ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels also ein Zufallsexperiment?
Die Lösung hierzu finden Sie unten.




Definition einstufige Zufallsexperimente

Wenn ein Zufallsexperiment einmal ausgeführt wird, spricht man von einem einstufigen Zufallsexperiment.

Beispiel:

  • Einmaliges werfen eines Würfels,
  •  einer Münze,
  • einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels.

Definition Ergebnis:

Der Ausgang des Zufallsexperimentes wird Ergebnis genannt.

Beispiele:

Wenn man einmal würfelt, kann das Ergebnis z. B. 4 sein.
Beim einmaligen Werfen einer Münze dagegen die Zahl.
Bei der einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels schließlich Sieg.

Definition Ergebnismenge:

Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.
Mit anderen Worten: Stichprobenraum, oder Ereignisraum oder Ergebnisraum.

Beispiele:

Wenn wir einmal würfeln, ist die Ergebnismenge:

f_1024

Beim einmaliges werfen einer Münze dagegen:

f_1025

Bei der einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels schließlich

f_1026

Übung 2:

Geben Sie drei weitere Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen Ergebnismenge an.
Die Lösung hierzug ist unten.


Darstellung der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes

Die Ergebnismenge kann in der Mengenschreibweise oder auch als Baumdiagramm dargestellt werden.

Darstellung in der Mengenschreibweise Darstellung als Baumdiagramm
Einmaliges werfen eines Würfels
f_1028 des_082
Einmaliges werfen einer Münze
f_1029 des_083
Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels
f_1030 des_084

Zusammenhang Ergebnis und Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes

f_1031




Mehrstufige Zufallsexperimente

Zufallsexperimente, die sich aus mehreren hintereinander ausgeführten einstufigen Experimenten zusammensetzen, nennt man mehrstufige Zufallsexperimente.

Beispiel:

Wenn man eine Heftzwecke einmal wirft, ist die Ergebnismenge: S = {Spitze; Kopf}. Oder anders ausgedrückt: S = {S; K}.

Wenn man sie zweimal wirft, dann können wir diese in einem Baumdiagramm darstellen:

des_085

Die Ergebnismenge lässt sich anschließend aus dem Baumdiagramm ablesen: S = {(KK); (KS); (SK); (SS)}.

Es gibt also 4 mögliche Ergebnisse. Im Baumdiagramm führt jeder Pfad zu einem Ergebnis.

Übung 3:

In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel.
Dann zieht man zwei Kugeln. Dabei gilt folgende Vorschrift:
Nacheinander wird jeweils eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen.
Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie danach die Ergebnismenge!
Die Lösung hierzu ist unten.

Übung 4:

In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel.
Dann zieht man zwei Kugeln. Dabei gilt folgende Vorschrift:
Nacheinander wird jeweils eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie danach die Ergebnismenge!
Die Lösung hierzu ist unten.


Lösungen der Übungen:

  1. Die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ist beliebig oft wiederholbar.
    Außerdem gibt es 3 mögliche Ergebnisse (Sieg, unentschieden, Niederlage).
    Das Ergebnis ist schließlich nicht vorhersagbar.
    Also ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment.
  2. Hierzu drei Beispiele:
    f_1027
  3. Baumdiagramm hierzu:
    des_086
    Ergebnismenge hierzu:
    f_1034
  4. Baumdiagramm hierzu:
    des_087
    Ergebnismenge hierzu:
    f_1035



Aufgaben hierzu

Lösungen der Aufgaben

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Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung, darin auch Links zu Aufgaben.

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