Casio fx-CG20 Binomialverteilung Intervallwahrscheinlichkeit

Casio fx-CG20, Casio fx-CG50 Binomialverteilung,
Intervallwahrscheinlichkeit, Normalverteilung und Grenzen

In diesem Beitrag zeige ich zuerst, wie man mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 die Intervallwahrscheinlichkeit bei einem n-stufiger Bernoulli-Versuch berechnet. Danach erkläre ich anhand eines Beispiels die Berechnung von Intervallgrenzen. Anschließend gebe ich eine Zusammenfassung über die Grenzen bei der Binomialverteilung. Zuletzt gehe ich auf Normalverteilung und Intervalle ein.

Casio fx-CG20 auf Casio fx-CG50 updaten

Wer noch den  Casio fx-CG20 hat, kann sich auf der Webseite der Firma ein kostenloses Update herunterladen. Dann können Sie auch die neuen Funktionen des Casio fx-CG50 nutzen. Suchen Sie dazu auf https://www.casio-europe.com/de nach ‚FX-CG20 & FX-CG50 Betriebssystem-Update‘. Ich gebe hier nicht den direkten Link ein, weil es in der Zwischenzeit vielleicht bereits ein neueres Update gibt.
Eine Einführung in den Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 finden Sie hier.

Intervallwahrscheinlichkeit

Ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p, wird durch eine Binomialverteilung dargestellt.
Mehr dazu siehe Bernoulli-Versuche und die Binomialverteilung.
Der Erwartungswert ist dabei die Anzahl der Erfolge mit der größten Wahrscheinlichkeit.
Wird Zum Bispiel ein Würfel n = 600 mal geworfen, so erwartet man k = 100 mal die Zahl 6.
Die Zahl 6 kann bei 600 Versuchen jedoch auch k = 0 mal oder k = 600 mal auftreten.
Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind verschwindend gering.

Ein Würfel wird n = 600 mal geworfen, die Zahl 6 zählt als Erfolg mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen genau k = 100 mal die 6 geworfen wird?

Wenn wir eingeben
f_0181

Erscheint danach auf dem Display:
BinomialPD(100,600,1/6)
0.04366432132

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 600 Würfen genau 100 mal die Zahl 6 geworfen wird,
beträgt etwa 0,043…

Allgemein gilt für [ 0 ====== ][ k ][ ====== n ]:
f_0182
Dabei stellt k die Anzahl der Erfolge, n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit dar.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen höchstens k = 100 mal die 6 geworfen wird?

Wenn wir eingeben
f_0183

Erscheint danach auf dem Display:
BinomialCD(100,600,1/6)
0.5266726941

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 600 Würfen höchstens 100 mal die Zahl 6 geworfen wird,
beträgt etwa 0,526…

Allgemein gilt für [ 0 ====== k ][ ====== n ]:
f_0184
Dabei stellt k die Anzahl der Erfolge, n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit dar.
Hierbei handelt es sich um die kumulierte Wahrscheinlichkeit.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen mindestens k = 100 mal die 6 geworfen wird?

Wenn wir eingeben
f_0185

Erscheint danach auf dem Display:
1 – BinomialCD(99,600,1/6)
0.5169916272

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 600 Würfen mindestens 100 mal die Zahl 6 geworfen wird,
beträgt etwa 0,516…

Allgemein gilt für [ 0 ====== ][ k ====== n ]:
f_0186
wobei k die Anzahl der Erfolge,
n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen die Anzahl der 6-er zwischen 90 und 110 (einschließlich) liegen?

Wenn wir eingeben
f_0187

Erscheint danach auf dem Display:
BinomialCD(110,600,1/6) – BinomialCD(89,600,1/6)
0.7501249252

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 600 Würfen die Anzahl der 6-er, zwischen 90 und 110 liegen,
beträgt etwa 0,750…

Allgemein gilt für [ 0 === ][ k1 === k2 ][ === n ]:
f_0188
Dabei stellt k die Anzahl der Erfolge, n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit dar.




Intervallgrenzen werden berechnet

Statt der Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge eines Bernoulliversuchs in einem bestimmten Intervall,
kann man bei Vorgabe einer Intervallwahrscheinlichkeit die Intervallgrenzen k bestimmen.
Das benötigen wir bei Hypothesentests zur Bestimmung von Annahme- bzw. Ablehnungsbereich.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n= 600 Würfen eines Würfels höchstens k Erfolge auftreten soll höchstens α ≤ 5% betragen.
Das bedeutet, für welches k ist die Forderung erfüllt?

f_0189

Wenn wir eingeben
f_0190

Erscheint danach auf dem Display:
InvBinomialCD(0.05,600,1/6) – 184
f_0191

Der linke untere 5%-Bereich gilt für [ 0 … k … 84 ] oder

die Wahrscheinlichkeit dafür, das höchstens k = 84 Erfolge auftreten ist kleiner als 5%.

Allgemein gilt: (Linksseitiger Hypothesentest)
f_0192
[ 0 === ≤ α === k ][ k + 1 === n ]
Das Ergebnis kann mit
f_0193
überprüft werden. Hier ein Beispiel  dafür.
Allgemein gilt:
Diese Rechnung ist für den linksseitigen Hypothesentest nötig.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n= 600 Würfen eines Würfels höchstens k Erfolge auftreten soll höchstens α ≤ 5% betragen.
Das bedeutet, für welches k ist die Forderung erfüllt?
f_0194
Diese Bedingung ermöglicht es die Anzahl der Erfolge zu finden, die sich in dem rechten oberen 5%-Bereich befinden.

Wenn wir eingeben
f_0195

Erscheint danach auf dem Display:
InvBinomialCD(0.95,600,1/6) + 1
116

f_0196

Allgemein gilt: (Rechtsseitiger Hypothesentest)
f_0197
[ 0 === k – 1 ][ k === ≤ α === n ]
Das Ergebnis kann mit
f_0198
überprüft werden. Beispiel
Diese Rechnung ist für den rechtsseitigen Hypothesentest nötig.

Bei n= 600 Würfen eines Würfels soll die Anzahl der Erfolge in einer symmetrischen 95%-Umgebung vom Erwartungswert liegen.
Wir bestimmen die Intervallgrenzen k1 und k2.
Das bedeutet, für welche Werte von k1 und k2 ist folgende Forderung erfüllt?
f_0199

Wenn wir eingeben
f_0200

Erscheint danach auf dem Display:
InvBinomialCD(0.025,600,1/6) – 1
81 = k1

f_0201

Wenn wir eingeben
f_0202

Erscheint danach auf dem Display:
InvBinomialCD(0.975,600,1/6) +1
119 = k2

f_0203

f_0204

Allgemein gilt: (Beidseitiger Hypothesentest)
f_0205
[ 0 === ≤ α/2 === k1 ][ k1 + 1====== k2 – 1 ][ k2 === ≤ α/2 === n ]
Das Ergebnis kann mit
f_0206
überprüft werden. Beispiel
Diese Rechnung ist für den beidseitigen Hypothesentest nötig.




Zusammenfassung Binomialverteilung

f_0182
[ 0 ====== ][ k ][ ====== n ]

f_0184
[ 0 ====== k ][ ====== n ]

f_0186
[ 0 ====== ][ k ====== n ]

f_0188
[ 0 === ][ k1 === k2 ][ === n ]

Linksseitiger Hypothesentest Ein Klick auf diesen Link führt zu Erklärungen dazu.

f_0192
[ 0 === ≤ α === k ][ k + 1 === n ] Beispiel

Rechtsseitiger Hypothesentest  Ein Klick auf diesen Link führt zu Erklärungen dazu.

f_0197
[ 0 === k – 1 ][ k === ≤ α === n ] Beispiel

Beidseitiger Hypothesentest Ein Klick auf diesen Link führt zu Erklärungen dazu.

f_0205
[ 0 === ≤ α/2 === k1 ][ k1 + 1====== k2 – 1 ][ k2 === ≤ α/2 === n ] Beispiel


Normalverteilung und Intervalle

Um mit der Normalverteilung zu rechnen, geht man ähnlich vor, wie bei der Binomialverteilung.
[MENU] 1 [OPTN] {STAT} {DIST} {NORM}
{Npd} berechnet einen einzelnen Wert.
{NcD} berechnet die kumulative Normalverteilung.
{InvN} ermittelt die Umkehrform der kumulativen Normalverteilung.

Es gilt:
μ : Erwartungswert der Zufallsvariablen k.
σ : Standardabweichung.
Falls die Standardabweichung größer 3 ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung hinreichend genau approximieren.

Bei Intervallberechnungen muss man berücksichtigen, das die Binomialverteilung für diskrete Werte, die Normalverteilung aber für kontinuierliche Werte bestimmt ist.

f_0207
[ 0 ====== ][ k ][ ====== n ]

f_0208
[ 0 ====== k ][ ====== n ]

f_0209
[ 0 ====== ][ k ====== n ]

f_0210
[ 0 === ][ k1 === k2 ][ === n ]

Linksseitiger Hypothesentest
f_0211
[ 0 === ≤ α === k ][ k + 1 === n ]

Rechtsseitiger Hypothesentest
f_0212
[ 0 === k – 1 ][ k === ≤ α === n ]

Beidseitiger Hypothesentest
f_0213
[ 0 === ≤ α/2 === k1 ][ k1 + 1====== k2 – 1 ][ k2 === ≤ α/2 === n ]

Beim beidseitigem Hypothesentest sollten die Grenzen des Ablehnungsbereichs symmetrisch zum Erwartungswert sein.



Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Weitere Beispiele zu dem Casio fx-CG20 finden Sie in der Kategorie GTR
und in der Übersicht über alle Beiträge zum grafikfähigen Taschenrechner Casio fx-CG20.

Diese Beiträge sind in den Materialien enthalten, die Sie in unserem Shop erwerben können. Pakete mit vielen PDF-Dateien für Schüler ab 1 Euro und für Lehrer als WORD-Dateien, die beliebig geändert werden können.

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