Berechnung von Umgebungswahrscheinlichkeiten

Berechnung von Umgebungswahrscheinlichkeiten

Im letzten Beitrag hatte ich die Tabelle normalverteilter Zufallsvariablen vorgestellt. Hier werde ich anhand einiger Beispiele den Umgang damit erklären. Bitte beachten Sie, dass die zu dem Wert z gehörige Umgebung immer symmetrisch zum Erwartungswert µ liegt.


Intervall symmetrisch zum Erwartungswert

Beispiel 1:

Gegeben ist ein n- stufiger Bernoulli-Versuch mit n = 500 und p = 0,33.
Beestimmen sie dazu die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 150 ; 180]!
Und rechnen Sie mit einer Genauigkeit von drei Stellen hinter dem Komma!

f_1327

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 150 ; 180 ] beträgt etwa 85,8%

des_135

Warum sind die Intervallgrenzen um jeweils 0,5 zu vergrößern, wenn mit den Tabellenwerten der Normalverteilung die Intervallwahrscheinlichkeit bestimmt wird?

f_1328

Die Daten der verwendeten Tabelle basieren auf der Normalverteilung. Würde man den Radius r = 165 – 150 = 15 wählen, so wäre dieser um 0,5 zu klein. Er würde nur die halbe Fläche der Säule von k = 150 bzw. von k = 180 berücksichtigen. Dies erläutert die folgende Grafik:

des_136
Der gewählte Radius r = 4 ist zu klein. Er berücksichtigt auf jeder Seite vom Erwartungswert eine halbe Säule zu wenig, so dass die gewählte Umgebung nicht vollständig erfasst wird.

des_137
Der gewählte Radius r = 4,5 berücksichtigt auf jeder Seite vom Erwartungswert eine halbe Säule mehr, so dass die gewählte Umgebung vollständig erfasst wird.




Prozent-Umgebung vom Erwartungswert

Beispiel 2:

Bestimmen Sie die 90%- Umgebung vom Erwartungswert für n = 550 und p = 0,36.

f_1329

Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 180 ; 216 ] beträgt etwa 90%

des_138


Intervalle außerhalb von Umgebungen

Beispiel 3

Gegeben ist ein n- stufiger Bernoulli-Versuch. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse außerhalb von Umgebungen um den Erwartungswert.

 a)f_1330

b)f_1331

zu a)
f_1332
Zu bestimmen ist die Wahrscheinlichkeit für das Intervall [0 ; 161]. Aus der Tabelle kann nur die Wahrscheinlichkeit für ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall abgelesen werden, dieses enthält die Werte [162 …. 168 … 174 ]. Daran anschließend folgt das Intervall [175 …. 300], welches aus Symmetriegründen die gleiche Größe wie [0 ; 161] hat.
Es gilt folgender Ansatz: [ { 0 … 161 } {162 … 168 … 174 } { 175 … 300}]
f_1333
Die Wahrscheinlichkeit für weniger als 162 Erfolge ist etwa 22,4%
des_139

zu b)

f_1334
Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 80 Erfolge ist etwa 47,2%
des_140


Asymmetrische Umgebungen

Beispiel 3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit einer nicht symmetrischen Umgebung vom Erwartungswert.

f_1335

Die Wahrscheinlichkeit der Erfolge im Intervall [89 ; 104] ist etwa 73,6%.

des_141




Rechenhelfer für die Binomialverteilung

                   

formel_02              int_02

formel_03              int_03

formel_04       int_04



Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like auf facebook

Die Unterrichtsmaterialien gibt es in unserem Shop Pakete mit vielen PDF-Datei ab 1 Euro und für Lehrer als WORD-Dateien, die beliebig geändert werden können.