Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Als erstes werde ich in diesem Beitrag einige Beispiele für die Gaußsche Normalverteilung vorstellen. Danach stelle ich eine Tabelle der Wahrscheinlichkeiten für Sigma-Umgebungen normalverteilter Zufallsvariablen zur Verfügung. Anschließend werde ich den Umgang der Tabelle erklären. Am Ende finden sie einen Rechenhelfer für die Binomialverteilung und den Link zu Aufgaben in weiteren Beiträgen.

Histogramme von Binomialverteilungen sind für nicht zu kleine n glockenförmig. Mit größer werdendem n tritt die Glockenform immer deutlicher hervor. Die Histogrammform nähert sich mit größer werdendem n immer mehr der Gaußschen Verteilungskurve, auch Glockenkurve genannt. Die gesamte Fläche zwischen der Kurve und der waagerechten Achse hat den Wert 1. Das gilt ebenso für die Summe aller Säulenflächen.

f_1317

Approximation der Binomialverteilung durch die Gaußsche Normalverteilung
mc_209

Dies ermöglicht es für große n, Wahrscheinlichkeiten in einem bestimmten Intervall näherungsweise zu bestimmen.

f_1318

Die Berechnung der Fläche mit dem Integral ist recht mühsam, deshalb gibt es Tabellen in denen die Wahrscheinlichkeit von Sigma-Umgebungen aufgelistet sind.

Für Sigma-Umgebungen gilt folgender Zusammenhang:

f_1319
des_128

f_1320
des_129

f_1321
des_130

Für %- Umgebungen gilt folgender Zusammenhang:

f_1322
des_131

f_1323
des_132

f_1324
des_133

In der Literatur hat man sich auf folgende Umgebungswahrscheinlichkeiten geeinigt:

 f_1325

Die zu einem Radius gehörige Umgebungswahrscheinlichkeit

f_1761
Der zu einer Umgebungswahrscheinlichkeit gehörige Radius

Da die Histogrammform der Binomialverteilung sich nur für entsprechend große n der Form der Normalverteilung immer mehr nähert, gilt folgendes Kriterium für die Verwendung der Intervallwahrscheinlichkeiten der Normalverteilung.

Laplace-Bedingung

Falls die Bedingung

f_1326
erfüllt ist, liefert die Näherung durch die Normalverteilung hinreichend genaue Intervallwahrscheinlichkeiten.

Bislang war für jede Binomialverteilung mit einem bestimmten n und einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p jeweils eine Tabelle mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten nötig, um Umgebungswahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Falls nun die Werte einer Binomialverteilung die Laplace- Bedingung erfüllen, dürfen Tabellenwerte der Normalverteilung benutzt werden. Die Laplace- Bedingung ist in jedem Fall vorher zu überprüfen.

Für den Fall, dass der Umgebungsradius in Einheiten von Sigma angegeben wird, gilt folgender Zusammenhang:

des_134

Der Umgebungsradius vom Erwartungswert wird als Vielfaches in Einheiten von Sigma ausgedrückt. Dabei ist z der Faktor, mit dem Sigma zu multiplizieren ist. Die Wahrscheinlichkeiten solcher Sigma- Umgebungen sind in der folgenden Tabelle in Abhängigkeit vom Faktor z dargestellt.

Der wesentliche Unterschied zur Darstellung der Wahrscheinlichkeiten in einer Binomialverteilung, wie sie bisher verwendet wurde, ist, dass in der Normalverteilung die Werte auf der x- Achse als kontinuierlich angesehen werden können. Bei der Binomialverteilung handelt es sich um diskrete Werte für k.

Normalverteilung:

Die Normalverteilung hat viele Namen. Sie wird auch Gaußsche Glockenkurve oder Gauß-Funktion genannt.




Tabelle: Wahrscheinlichkeiten
für Sigma-Umgebungen
normalverteilter Zufallsvariablen

f_1254.gif
z P z P z P z P z P z P
0,01 0,008 0,51 0,390 1,01 0,688 1,51 0,869 2,01 0,956 2,51 0,988
0,02 0,016 0,52 0,397 1,02 0,692 1,52 0,871 2,02 0,957 2,52 0,988
0,03 0,024 0,53 0,404 1,03 0,697 1,53 0,874 2,03 0,958 2,53 0,989
0,04 0,032 0,54 0,411 1,04 0,702 1,54 0,876 2,04 0,959 2,54 0,989
0,05 0,040 0,55 0,418 1,05 0,706 1,55 0,879 2,05 0,960 2,55 0,989
0,06 0,048 0,56 0,425 1,06 0,711 1,56 0,881 2,06 0,961 2,56 0,990
0,07 0,056 0,57 0,431 1,07 0,715 1,57 0,884 2,07 0,962 2,57 0,990
0,08 0,064 0,58 0,438 1,08 0,720 1,58 0,886 2,08 0,962 2,58 0,990
0,09 0,072 0,59 0,445 1,09 0,724 1,59 0,888 2,09 0,963 2,59 0,990
0,10 0,080 0,60 0,451 1,10 0,729 1,60 0,890 2,10 0,964 2,60 0,991
0,11 0,088 0,61 0,458 1,11 0,733 1,61 0,893 2,11 0,965 2,61 0,991
0,12 0,096 0,62 0,465 1.12 0,737 1,62 0,895 2,12 0,966 2,62 0,991
0,13 0,103 0,63 0,471 1,13 0,742 1,63 0,897 2,13 0,967 2,63 0,991
0,14 0,111 0,64 0,478 1,14 0,746 1,64 0,899 2,14 0,968 2,64 0,992
0,15 0,119 0,65 0,484 1,15 0,750 1,65 0,901 2,15 0,968 2,65 0,992
0,16 0,127 0,66 0,491 1,16 0,754 1,66 0,903 2,16 0,969 2,66 0,992
0,17 0,135 0,67 0,497 1,17 0,758 1,67 0,905 2,17 0,970 2,67 0,992
0,18 0,143 0,68 0,503 1,18 0,762 1,68 0,907 2,18 0,971 2,66 0,993
0,19 0,151 0,69 0,510 1,19 0,766 1,69 0,909 2,19 0,971 2,69 0,993
0,20 0,159 0,70 0,516 1,20 0,770 1,70 0,911 2,20 0,972 2,70 0,993
0,21 0,166 0,71 0,522 1,21 0,774 1,71 0,913 2,21 0,973 2,71 0,993
0,22 0,174 0,72 0,528 1,22 0,778 1,72 0,915 2,22 0,974 2,72 0,993
0,23 0,182 0,73 0,535 1,23 0,781 1,73 0,916 2,23 0,974 2,73 0,994
0,24 0,190 0,74 0,541 1,24 0,785 1,74 0,918 2,24 0,975 2,74 0,994
0,25 0,197 0,75 0,547 1,25 0,789 1,75 0,920 2,25 0,976 2,75 0,994
0,26 0,205 0,76 0,553 1,26 0,792 1,76 0,922 2,26 0,976 2,76 0,994
0,27 0,213 0,77 0,559 1,27 0,796 1,77 0,923 2,27 0,977 2,77 0,994
0,28 0,221 0,78 0,565 1,28 0,799 1,78 0,925 2,28 0,977 2,78 0,995
0,29 0,228 0,79 0,570 1,29 0,803 1,79 0,927 2,29 0,978 2,79 0,995
0,30 0,236 0,80 0,576 1,30 0,806 1,80 0,928 2,30 0,979 2,80 0,995
0,31 0,243 0,81 0,582 1,31 0,810 1,81 0,930 2,31 0,979 2,81 0,995
0,32 0,251 0,82 0,588 1,32 0,813 1,82 0,931 2,32 0,980 2,82 0,995
0,33 0,259 0,83 0,593 1,33 0,816 1,83 0,933 2,33 0,980 2,83 0,995
0,34 0,266 0,84 0,599 1,34 0,820 1,84 0,934 2,34 0,981 2,84 0,995
0,35 0,274 0,85 0,605 1,35 0,823 1,85 0,936 2,35 0,981 2,85 0,996
0,36 0,281 0,86 0,610 1,36 0,826 1,86 0,937 2,36 0,982 2,86 0,996
0,37 0,289 0,87 0,616 1,37 0,829 1,87 0,939 2,37 0,982 2,87 0,996
0,38 0,296 0,88 0,621 1,38 0,832 1,88 0,940 2,38 0,983 2,88 0,996
0,39 0,303 0,89 0,627 1,39 0,835 1,89 0,941 2,39 0,983 2,89 0,996
0,40 0,311 0,90 0,632 1,40 0,838 1,90 0,943 2,40 0,984 2,90 0,996
0,41 0,318 0,91 0,637 1,41 0,841 1,91 0,944 2,41 0,984 2,91 0,996
0,42 0,326 0,92 0,642 1,42 0,844 1,92 0,945 2,42 0,984 2,92 0,996
0,43 0,333 0,93 0,648 1,43 0,847 1,93 0,946 2,43 0,985 2,93 0,997
0,44 0,340 0,94 0,653 1,44 0,850 1,94 0,948 2,44 0,985 2,94 0,997
0,45 0,347 0,95 0,658 1,45 0,853 1,95 0,949 2,45 0,986 2,95 0,997
0,46 0,354 0,96 0,663 1,46 0,856 1,96 0,950 2,46 0,986 2,96 0,997
0,47 0,362 0,97 0,668 1,47 0,858 1,97 0,951 2,47 0,986 2,97 0,997
0,48 0,369 0,98 0,673 1,48 0,861 1,98 0,952 2,48 0,987 2,98 0,997
0,49 0,376 0,99 0,678 1,49 0,864 1,99 0,953 2,49 0,987 2,99 0,997
0,50 0,383 1,00 0,683 1,50 0,866 2,00 0,954 2,50 0,988 3,00 0,997



 

Umgang mit der Tabelle normalverteilter Zufallsvariablen
Intervalle und Wahrscheinlichkeiten

1. Intervall ist symmetrisch zum Erwartungswert.

f_1577

des_182

2.Intervall für höchstens k Erfolge.

f_1578

des_183

3. Intervall für mindestens k Erfolge.

f_1579.

des_184

4. Intervall ist nicht symmetrisch zum Erwartungswert.

f_1580

des_185

5. Berechnung des Radius einer Umgebung bei vorgegebener Umgebungswahrscheinlichkeit.

f_1581

des_186

6. Zur Berechnung anderer Umgebungswahrscheinlichkeiten verfährt man in ähnlicher Weise. (Hier 95%- Umgebung)

f_1582

Rechenhelfer für die Binomialverteilung

                   

formel_02              int_02

formel_03              int_03

formel_04       int_04

Aufgaben hierzu: Binominalverteilung I

und Binominalverteilung II

und Binominalverteilung III




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