Hier findest du die Lösungen zu Statistik-Aufgaben, darin geht es unter anderem um Mittelwert, Median, Quartilsabstand, Boxplot, Stängel-Blatt-Diagramm und klassierte Häufigkeitstabelle.
1. Ausführliche Lösungen:
a) Notendurchschnitt
Notendurchschnitt = \frac{4 \cdot 1 + 8 \cdot 1,5 + 10 \cdot 2 + 12 \cdot 2,5 + 15 \cdot 3 + 4 \cdot 3,5 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 4,5 + 2 \cdot 5}{60} = \underline{\underline{2,6}}
b) Klasseneinteilung/absolute Häufigkeit:
| Klasse | 1 \le x \le 2 | 2 \le x < 3 | 3 \le x < 4 | 4 \le x < 5 | 5 \le x \le 6 |
| abs. \, Häufigkeit | 12 | 22 | 19 | 5 | 2 |
Säulendiagramm:
c) Klasseneinteilung/relative Häufigkeit:
| Klasse | 1 \le x \le 2 | 2 \le x < 3 | 3 \le x < 4 | 4 \le x < 5 | 5 \le x \le 6 |
| abs. \, Häufigkeit | 12 | 22 | 19 | 5 | 2 |
| rel. \, Häufigkeit | 20\% | 36,7\% | 31,7\% | 8,3\% | 3,3\% |
2. Ausführliche Lösung:
Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt, das sind die 325 € mit der absoluten Häufigkeit 10. Er bleibt unverändert.
Auch der Median bleibt unverändert. Die 2800 € liegen weit außerhalb der Mitte.
Der Mittelwert ändert sich von 325 € auf
\dfrac{3250 € + 2800 €}{11} = \underline{\underline{550 €}}
3. Ausführliche Lösungen:
a) Median und Modus
Arithmetisches Mittel:
\overline{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \dfrac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \, mit \, n = 13 \, gilt: \overline{x} = \frac{1300 + 1200 + 1400 + 700 + 200 + 750 + 1450 + 1500 + 800 + 800+ 950 + 900 + 3000}{13} \newline = \dfrac{14950}{13} = 1150
Die durchschnittlichen Ausgaben betragen \underline{\underline{\overline{x} = 1150 € }}
Median: Wir sortieren die Daten der Größe nach:
| x_1 | x_2 | x_3 | x_4 | x_5 | x_6 | \color{Red}x_7 | x_8 | x_9 | x_{10} | x_{11} | x_{12} | x_{13} |
| 200 | 700 | 750 | 800 | 800 | 900 | \color{Red}950 | 1200 | 1300 | 1400 | 1450 | 1500 | 3000 |
n = 13 ist ungerade \Rightarrow x_{Med} = x_{frac{n+1}{2}} = x_7 = 950
Der Median bildet das Zentrum der geordneten Daten (Ausgaben) \underline{\underline{x_{Med} = 950 € }}
Der Modus ist der Wert mit der größten Häufigkeit: \underline{\underline{x_{Mod} = 800 €}} \, (Häufigkeit = 2)
b) Die Lagemaße unterscheiden sich voneinander, weil die Ausgaben ungleich verteilt sind (Ausreißer 3000 €).
c) Der Median charakterisiert die Stichprobe am besten, da er gegen Ausreißer unempfindlich ist.
4. Ausführliche Lösungen:
a) Stängel-Blatt-Diagramm
b) Median
Typ A:
x_{Med} = x_6 = 8,2
Typ B:
x_{Med} = \dfrac{x_6 + x_7}{2} = \dfrac{7,9 + 8,1}{2} = 8
Der Median vom Typ A liegt höher.
c) Mittelwerte
Typ A:
\overline{x_A} = \frac{7,0 + 7,4 + 7,8 + 7,9 + 8,0 + 16,4 + 8,3 + 8,4 + 8,6 + 9,3}{11} = \dfrac{89,1}{11} = \underline{\underline{8,1}}
Typ B:
\overline{x_B} = \frac{7,6 + 7,7 + 15,6 + 15,8 + 8,1 + 8,3 + 8,4 + 17 + 8,7}{} = \dfrac{97,2}{12} = \underline{\underline{8,1}}
Wir sehen also: Typ A und Typ B haben den gleichen Mittelwert:
\underline{\underline{\overline{x} = \dfrac{8,1 \, Liter}{100 \, km}}}
d) Mittlere Abweichung
Typ A
| Verbrauch | Mittelwert | Abweichung |
| 7,0 | 8,1 | 1,1 |
| 7,4 | 8,1 | 0,7 |
| 7,8 | 8,1 | 0,3 |
| 7,9 | 8,1 | 0,2 |
| 8,0 | 8,1 | 0,1 |
| 8,2 | 8,1 | 0,1 |
| 8,2 | 8,1 | 0,1 |
| 8,3 | 8,1 | 0,2 |
| 8,4 | 8,1 | 0,3 |
| 8,6 | 8,1 | 0,5 |
| 9,3 | 8,1 | 1,2 |
| Summe der Abweichungen | xx | |
| Mittlere Abweichung: 4,8:11 | 0,44 | |
Typ B
| Verbrauch | Mittelwert | Abweichung |
| 7,6 | 8,1 | 0,5 |
| 7,7 | 8,1 | 0,4 |
| 7,8 | 8,1 | 0,3 |
| 7,8 | 8,1 | 0,3 |
| 7,9 | 8,1 | 0,2 |
| 7,9 | 8,1 | 0,2 |
| 8,1 | 8,1 | 0,0 |
| 8,3 | 8,1 | 0,2 |
| 8,4 | 8,1 | 0,3 |
| 8,5 | 8,1 | 0,4 |
| 8,5 | 8,1 | 0,4 |
| 8,7 | 8,1 | 0,6 |
| Summe der Abweichungen | xx | |
| Mittlere Abweichung: 3,8:12 | 0,32 | |
Die mittlere Abweichung bei Typ A ist höher.
Die Werte bei Typ B scharen sich mehr um den Mittelwert.
5. Ausführliche Lösung:
Mittelwert:
\overline{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \, mit n = 11 \, gilt:
\overline{x} = \dfrac{1}{11}(3 + 8 + 12 + 5 +7 + 8 + 9,5 + 11 + 14 + 6 + 8,5) = \dfrac{92}{11} = \underline{\underline{8,\overline{36}}} \newline
Die Daten werden nach Größe geordnet:
3 \Big| 5 \Big| {\color{Blue}6} \Big| 7 \Big| 8 \Big| {\color{Red}8} \Big| 8,5 \Big| 9,5 \Big| {\color{Blue}11} \Big| 12 \Big| 14 \newline
Median: {\color{Red}x_{Med}} = x_6 = \underline{\underline{8}}
Quartil 1: {\color{Blue}Q_1} = x_3 = \underline{\underline{6}}
Quartil 3: {\color{Blue}Q_3} = x_9 = \underline{\underline{11}}
Quartilsabstand: Q_A = Q_3 - Q_1 = 11 - 6 = \underline{\underline {65}}
Ca. 50% der Daten liegen zwischen den Werten 6 und 11.
6. Ausführliche Lösung:
Spannweite und Median:
männlich:
\begin{matrix} \boldsymbol{6} & 0 & \, & \, 7 & 7 & 8 & 8 & \, \\ \boldsymbol{7} & 0 & 0 & 2 & 3 & 5 & 6 & 8 \\ \boldsymbol{8} & \, & \, & \, 4 & \, & \, & \, \end{matrix}
Spannweite: R = 84-60 = \underline{\underline{24}}
Median: x_{Med} = x_7 = \underline{\underline{70}}
Quartile: Q_1 = \dfrac{x_3 + x_4}{2} = \dfrac{67+68}{2} = \underline{\underline{67,5}} \qquad Q_3 = \dfrac{x_{10}+x{11}}{2} = \dfrac{75+76}{2} = \underline{\underline{75,5}}
Q-Abstand: Q_A = Q_3 - Q_1 = 75,5 - 67.5 = \underline{\underline{8}}
weiblich:
\begin{matrix} \boldsymbol{5} & 1 & 1 & 2 & 4 & 5 & 7 & 8 & 9 \\ \boldsymbol{6} & \, & 0 & 3 & 3 & 3 & 4 & \, & \, \end{matrix}
Spannweite: R = 64 - 51 = \underline{\underline{13}}
Median: x_{Med} = \dfrac{x_7 + x_8}{2} = \dfrac{57 + 58}{2} = \underline{\underline{57,5}}
Quartile: Q_1 = x_4 = \underline{\underline{54}} \qquad Q_3 = x_{11} = \underline{\underline{63}}
Q-Abstand: Q_A = Q_3 - Q_1 = 63 - 54 = \underline{\underline{9}}
Boxplott:
Vergleich der Darstellungen:
Bei den Schülern liegt der Median viel höher als bei den Schülerinnen, sie bringen einfach mehr Gewicht auf die Waage. Der 50%-Bereich ist geringer, dafür ist die Spannweite fast doppelt so groß.
Hier findest du Aufgaben hierzu.
Theorie hierzu: Mittelwert, Median und Modalwert.
und Quartilsabstand.
Alle Formeln zur beschreibenden Statistik sind hier übersichtlich zusammengestellt.
Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Statistik, dort auch Links zu weiteren Aufgaben.
