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Aufgabensammlung Mathematik Statistik

Lösungen zu Mittelwert und Median II

Lösungen zu Mittelwert und Median II

1.Ausführliche Lösungen:

a) Notendurchschnitt

Notendurchschnitt = \frac{4 \cdot 1 + 8 \cdot 1,5 + 10 \cdot 2 + 12 \cdot 2,5 + 15 \cdot 3 + 4 \cdot 3,5 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 4,5 + 2 \cdot 5}{60} = \underline{\underline{2,6}}

 

b) Klasseneinteilung/absolute Häufigkeit:

Klasse 1 \le x \le 2 2 \le x < 3 3 \le x < 4 4 \le x < 5 5 \le x \le 6
abs. \, Häufigkeit 12 22 19 5 2

 

Säulendiagramm:

01b_exc_l

c) Klasseneinteilung/relative Häufigkeit:
Klasse 1 \le x \le 2 2 \le x < 3 3 \le x < 4 4 \le x < 5 5 \le x \le 6
abs. \, Häufigkeit 12 22 19 5 2
rel. \, Häufigkeit 20\% 36,7\% 31,7\% 8,3\% 3,3\%

 

01c_exc_l



2.Ausführliche Lösung:

Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt, das sind die 325 € mit der absoluten Häufigkeit 10. Er bleibt unverändert.
Auch der Median bleibt unverändert, die 2800 € liegen weit außerhalb der Mitte.
Der Mittelwert ändert sich von 325 € auf

 \dfrac{3250 € + 2800 €}{11} = \underline{\underline{550 €}} 

3.Ausführliche Lösungen:

a) Median und Modus

Arithmetisches Mittel:

 \overline{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \dfrac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \,  mit \, n = 13 \, gilt:  

 \overline{x} = \frac{1300 + 1200 + 1400 + 700 + 200 + 750 + 1450 + 1500 + 800 + 800+ 950 + 900 + 3000}{13} \newline 

 = \dfrac{14950}{13} = 1150 

Die durchschnittlichen Ausgaben betragen \underline{\underline{\overline{x} = 1150 € }}

Median: Die Daten werden der Größe nach sortiert:

x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 \color{Red}x_7 x_8 x_9 x_{10} x_{11} x_{12} x_{13}
200 700 750 800 800 900 \color{Red}950 1200 1300 1400 1450 1500 3000

n = 13 ist ungerade \Rightarrow x_{Med} = x_{frac{n+1}{2}} = x_7 = 950

Der Median bildet das Zentrum der geordneten Daten (Ausgaben) \underline{\underline{x_{Med} = 950 € }}

Der Modus ist der Wert mit der größten Häufigkeit: \underline{\underline{x_{Mod} = 800 €}} \, (Häufigkeit = 2)

 

b) Die Lagemaße unterscheiden sich voneinander, weil die Ausgaben ungleichverteilt sind (Ausreißer 3000 €).
c) Der Median charakterisiert die Stichprobe am besten, da er gegen Ausreißer unempfindlich ist.

4. Ausführliche Lösungen:

a) Stängel-Blatt-Diagramm
04a_l
b) Median

Typ A:

 x_{Med} = x_6 = 8,2 

Typ B:

 x_{Med} = \dfrac{x_6 + x_7}{2} = \dfrac{7,9 + 8,1}{2} = 8

Der Median vom Typ A liegt höher.

c) Mittelwerte

Typ A:

 \overline{x_A} = \frac{7,0 + 7,4 + 7,8 + 7,9 + 8,0 + 16,4 + 8,3 + 8,4 + 8,6 + 9,3}{11} = \dfrac{89,1}{11} = \underline{\underline{8,1}} 

Typ B:

 \overline{x_B} = \frac{7,6 + 7,7 + 15,6 + 15,8 + 8,1 + 8,3 + 8,4 + 17 + 8,7}{} = \dfrac{97,2}{12} = \underline{\underline{8,1}} 

Typ A und Typ B haben den gleichen Mittelwert:

 \underline{\underline{\overline{x} = \dfrac{8,1 \, Liter}{100 \, km}}} 
d) Mittlere Abweichung

Typ A

Verbrauch Mittelwert Abweichung
7,0 8,1 1,1
7,4 8,1 0,7
7,8 8,1 0,3
7,9 8,1 0,2
8,0 8,1 0,1
8,2 8,1 0,1
8,2 8,1 0,1
8,3 8,1 0,2
8,4 8,1 0,3
8,6 8,1 0,5
9,3 8,1 1,2
Summe der Abweichungen xx
Mittlere Abweichung: 4,8:11 0,44

Typ B

Verbrauch Mittelwert Abweichung
7,6 8,1 0,5
7,7 8,1 0,4
7,8 8,1 0,3
7,8 8,1 0,3
7,9 8,1 0,2
7,9 8,1 0,2
8,1 8,1 0,0
8,3 8,1 0,2
8,4 8,1 0,3
8,5 8,1 0,4
8,5 8,1 0,4
8,7 8,1 0,6
Summe der Abweichungen xx
Mittlere Abweichung: 3,8:12 0,32

Die mittlere Abweichung bei Typ A ist höher.
Die Werte bei Typ B scharen sich mehr um den Mittelwert.



5. Ausführliche Lösung:

Mittelwert:

\overline{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \, mit n = 11 \, gilt:

 \overline{x} = \dfrac{1}{11}(3 + 8 + 12 + 5 +7 + 8 + 9,5 + 11 + 14 + 6 + 8,5) = \dfrac{92}{11} = \underline{\underline{8,\overline{36}}} \newline

Die Daten werden nach Größe geordnet:

 3 \Big| 5 \Big| {\color{Blue}6} \Big| 7 \Big| 8 \Big| {\color{Red}8} \Big| 8,5 \Big| 9,5 \Big| {\color{Blue}11} \Big| 12 \Big| 14 \newline

Median: {\color{Red}x_{Med}} = x_6 = \underline{\underline{8}}

Quartil 1: {\color{Blue}Q_1} = x_3 = \underline{\underline{6}}

Quartil 3: {\color{Blue}Q_3} = x_9 = \underline{\underline{11}}

Quartilsabstand: Q_A = Q_3 - Q_1 = 11 - 6 = \underline{\underline {65}}

Ca. 50% der Daten liegen zwischen den Werten 6 und 11.

 

6. Ausführliche Lösung:

Spannweite und Median:

 

männlich:
\begin{matrix} \boldsymbol{6} & 0 & \, & \, 7 & 7 & 8 & 8 & \, \\ \boldsymbol{7} & 0 & 0 & 2 & 3 & 5 & 6 & 8 \\ \boldsymbol{8} & \, & \, & \, 4 & \, & \, & \, \end{matrix}

Spannweite: R = 84-60 = \underline{\underline{24}}

Median: x_{Med} = x_7 = \underline{\underline{70}}

Quartile: Q_1 = \dfrac{x_3 + x_4}{2} = \dfrac{67+68}{2} = \underline{\underline{67,5}} \qquad Q_3 = \dfrac{x_{10}+x{11}}{2} = \dfrac{75+76}{2} = \underline{\underline{75,5}}

Q-Abstand: Q_A = Q_3 - Q_1 = 75,5 - 67.5 = \underline{\underline{8}}


weiblich:
\begin{matrix} \boldsymbol{5} & 1 & 1 & 2 & 4 & 5 & 7 & 8 & 9 \\ \boldsymbol{6} & \, & 0 & 3 & 3 & 3 & 4 & \, & \, \end{matrix}

Spannweite: R = 64 - 51 = \underline{\underline{13}}

Median: x_{Med} = \dfrac{x_7 + x_8}{2} = \dfrac{57 + 58}{2} = \underline{\underline{57,5}}

Quartile: Q_1 = x_4 = \underline{\underline{54}} \qquad Q_3 = x_{11} = \underline{\underline{63}}

Q-Abstand: Q_A = Q_3 - Q_1 = 63 - 54 = \underline{\underline{9}}

Boxplott:

06_des_l

Vergleich der Darstellungen:

Bei den Schülern liegt der Median viel höher als bei den Schülerinnen, sie bringen einfach mehr Gewicht auf die Waage. Der 50%-Bereich ist geringer, dafür ist die Spannweite fast doppelt so groß.



Hier finden Sie Aufgaben hierzu.

Theorie hierzu:  Mittelwert, Median und Modalwert.

und Quartilsabstand.

Alle Formeln zur beschreibenden Statistik sind hier übersichtlich zusammengestellt.

Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Statistik, dort auch Links zu weiteren Aufgaben.

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