In diesem Beitrag erkläre ich dir alle Grundlagen, die du fürs Prozentrechnen brauchst.
Die Abschnitte 1 bis 6 behandeln die Grundlagen des Prozentrechnens. Anhand ausführlicher Beispiele üben wir das Prozentrechnen dann in den Abschnitten 7 bis 12.
Mit Klick auf eine Zeile in der Inhaltsübersicht, gelangst du sofort zu der Stelle, die dich interessiert:
- Was bedeutet Prozent?
- Warum braucht man Prozentrechnen?
- Prozentrechnen und Bruchzahlen.
- Was ist der Prozentsatz?
- Was ist der Prozentwert?
- Was ist der Grundwert?
- Wie rechnet man mit Prozenten?
- Wir berechnen den Prozentwert.
- Wir berechnen den Prozentsatz.
- Wir berechnen den Grundwert
- Wir berechnen den vermehrten Grundwert
- Wir berechnen den verminderten Grundwert.
Am Ende des Beitrags findest du Links zu Aufgaben und Lösungen zum Thema Prozentrechnen.
1. Was bedeutet Prozent?
Der Begriff „Prozent“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „von Hundert“. Es wird mit dem mathematischen Zeichen % dargestellt. Als Formelzeichen verwendet man den Buchstaben p.
Prozentzahlen zeigen immer einen relativen Vergleich zu einem Ganzen. Da Prozent nichts anderes bedeutet als „ein Hundertstel”, sind hundert Prozent (100 %) ein Ganzes. Und genau zu diesem Ganzen, also zu den 100 % vergleicht man.
2. Warum braucht man Prozentrechnen?
Prozente begegnen uns im Alltag in vielen verschiedenen Situationen:
- Beim Shoppen: „Nur noch für kurze Zeit: 20% Rabatt auf alle Ladegeräte!“
- Auf dem Handy: „Nur noch 19% Akku“
- In Diagrammen
- In den Nachrichten: Die Partei hat 17 % der Stimmen
- Usw.
Ein Beispiel beim Einkaufen:
Schauen wir uns einmal ein Beispiel aus dem Supermarkt genauer an. Auf jedem Lebensmittel im Supermarkt findest du eine Nährwerttabelle. In dieser Tabelle werden Nährwerte für eine Menge wie 100 g oder 100 ml angegeben. Meist steht das auch ganz genau dabei: „Durchschnittliche Nährwerte pro 100g“.
Joghurt mit einem Fettgehalt von 1,5 % bedeutet also, dass in 100 g Joghurt 1,5 g Fett enthalten sind.
Wichtig dabei ist: es handelt sich hierbei um eine relative Angabe.
Konkret bedeutet das, dass 100 g Joghurt 1,5 g Fett enthalten, aber 200 g Joghurt 3 g Fett enthalten. Mehr Joghurt hat also mehr Fett und weniger eben weniger. Wenn man nun einen großen Becher mit 500 g isst, so sind es schon 7,5 g Fett.
Deshalb sollte man beim Einkaufen immer darauf achten, ob es sich um eine relative Größe handelt, zum Beispiel 1,5 %, oder um eine absolute, zum Beispiel 1,5 Gramm.
3. Prozentrechnen und Bruchzahlen
Prozentrechnen und Bruchrechnen hängen eng zusammen. Aber was bedeutet das genau?
Beispiel 1:
Johannes hat 60% des Kuchens gegessen. Wie viele Stücke sind das?
Prozent bedeutet „von Hundert“. 60% sind also „60 von 100“. Das kann man auch als Bruch schreiben:
60 \% = \frac{60}{100}Das lässt sich kürzen:
\frac{60}{100} \, \, \vert :10
\Rightarrow \frac{6}{10} \, \, \vert :2
\Rightarrow \frac{3}{5}
Das bedeutet also, 60% entsprechen \frac{3}{5} . Johannes hat also 3 von 5 Stücken Kuchen gegessen.
Für dich bleiben demnach noch 2 Stücke übrig.
Aber wieviel Prozent sind \frac{2}{5} ?
Erinnern wir uns daran, dass Prozent „von Hundert“ bedeutet. Wir müssen unseren Bruch also so erweitern, dass im Nenner die 100 steht. Los geht’s:
\frac{2}{5} \, \, \vert \cdot 20
\Rightarrow \frac{2 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{40}{100}
Das bedeutet also, \frac{2}{5} sind „40 von 100“, also 40%. Für dich sind demnach noch 40% des Kuchens übrig.
Falls dir das Bruchrechnen nicht so leicht fällt, findest du in meinem Beitrag über Brüche Hilfe.
Beispiel 2:
Wenn in einer Klasse 50 Prozent Jungen sind, dann sind es also 50 von 100. Wie wir bei der Bruchrechnung gelernt haben, kann man das auf 1 von 2 kürzen, es ist also die Hälfte. Deshalb kann man auch sagen: Die Hälfte der Schüler sind Jungen. Prozentzahlen sind also eine Darstellungsmethode für Bruchzahlen. Die Prozentrechnung ist eine besondere Form des Bruchrechnens, nämlich das Rechnen mit Hundertsteln. Deshalb lassen sich Prozentangaben durch Brüche, sowie Dezimalzahlen darstellen und umgekehrt. Hier eine Gegenüberstellung:
| Prozent | 1\% | 12\% | 90\% | 100\% | 120\% | 300\% |
| als Bruch | \frac{1}{100} | \frac{12}{100} | \frac{90}{100} | \frac{100}{100} | \frac{120}{100} | \frac{300}{100} |
| dezimal | 0,01 | 0,12 | 0,9 | 1,0 | 1,2 | 3 |
In der Mathematik ist es wichtig, Begriffe exakt zu definieren. Deshalb erkläre ich hier die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz anhand eines einfachen Beispiels:
Beispiel für Prozentrechnen in einer Schulklasse:
Von den 50 Schülern einer Jahrgangsstufe (Grundwert) mögen 10 Schüler weiße Schokolade (Prozentwert). Das sind 20% (Prozentsatz).
Auf dieses Beispiel kommen wir gleich noch einmal zurück.
4. Was der ist Prozentsatz?
p\% = \frac{W}{G} \cdot100\%
Der Prozentsatz p% ist der Anteil am Ganzen in Prozent.
Im Beispiel beträgt der Prozentsatz 20%.
Der Prozentsatz ist hier die Antwort auf die Frage: „Wieviel Prozent der Schüler mögen weiße Schokolade, wenn es 10 Schüler von 50 Schülern sind?“
5. Was ist der Prozentwert?
W = G \cdot p\%
Unter dem Prozentwert versteht man einen Anteil an etwas Ganzem.
In unserem Beispiel mögen 10 Schüler von 50 Schülern weiße Schokolade. Das bedeutet, dass 50 Schüler der Grundwert ist und 10 der Prozentwert.
Der Prozentwert ist hier die Antwort auf die Frage: „Wie viele Schüler sind 20 Prozent von 50 Schülern?“
Oder in dem Beispiel: Wenn 20 % einer Jahrgangsstufe mit 50 Schülern weiße Schokolade mögen, viele Schüler sind das?
6. Was ist der Grundwert?
G = \frac{W}{p\%}
Der Grundwert steht für das Ganze, das 100% entsprechen soll.
In unserem ist das also die gesamte Jahrgangsstufe, also 50 Schüler.
Er ist hier die Antwort auf die Frage: „Wenn 20% der Jahrgangsstufe weiße Schokolade mögen und es genau 10 Schüler sind, wie viele Schüler hat dann die ganze Jahrgangsstufe?“
7. Wie rechnet man mit Prozenten?
Die Berechnungsformeln
Wie in dem Beispiel gerade, kennen wir oft zwei dieser drei Begriffe und suchen den dritten. Deshalb gibt es für jeden dieser Fälle eine Formel:
| p\% = \frac{W}{G} \cdot100\% | W = G \cdot p\% | G = \frac{W}{p\%} |
G: Grundwert
W: Prozentwert
p%: Prozentsatz
Grundwert: Das Ganze gibt den Grundwert an, das entspricht 100%.
Prozentsatz: Der Prozentsatz gibt an, welcher Anteil vom Ganzen zu bilden ist.
Prozentwert: Der Prozentwert gibt an, wie groß der Anteil ist.
Mit Hilfe dieser Formeln können wir jetzt jede Fragestellung beim Prozentrechnen beantworten:
8. Wir berechnen den Prozentwert
Herr Jockel lässt sein Haus durch einen Makler für 450 000 € verkaufen. Der Makler erhält 3,5% Provision.
Wie hoch ist die Provision in absoluten Zahlen, also in Euro? In diesem Fall suchen wir den Prozentwert:
G = 450000 €
p = 3,5\%
W = \, ?
W = G \cdot p\% = G \cdot \frac{p}{100} = 450000 € \cdot \frac{3,5}{100} = \underline{\underline{15750 €}}
Antwort:
Die Provision beträgt 15750 €.
Der Grundwert ist das Ganze, also G =450 000 €.
Prozentsatz p = 3,5% bedeutet, es ist der Anteil 3,5 von 100 vom Grundwert zu bilden.
Das ist dann der Prozentwert.
9. Wir berechnen den Prozentsatz
Ein Gebrauchtwagenhändler kaufte ein Auto für 12400 €. Nach einiger Zeit konnte er den Wagen für 13200 € weiterverkaufen.
Wie viel Prozent betrug sein Gewinn? Diesmal suchen wir den Prozentsatz:
Zuerst ist der Gewinn zu berechnen.
Gewinn: W = 13200 € - 12400 € = 800 €
G = 12400 €
p \% = \, ?
p \% = \frac{W}{G} = \frac {800 €}{12400 €} = 0,0645 = \underline{\underline{6,45 \%}}
Antwort:
Der Gewinn betrug 6,45%.
10. Wir berechnen den Grundwert
Beim Kauf einer Wohnzimmereinrichtung werden 30% angezahlt. Dies sind 3852 €.
Wie hoch ist der Kaufpreis? Hier suchen wir den Grundwert.
p \% = 30 \%
W = 3852 €
G = \, ?
G = \frac{W}{p\%} = \frac{3852€}{30\%} = 3852 : \frac{30}{100} = \underline{\underline{12.840€}}
Antwort:
Der Kaufpreis beträgt 12840 €.
11. Wir berechnen den vermehrten Grundwert
Nach einer Mieterhöhung von 4% muss eine Familie jetzt 520,00 € an Miete zahlen.
Wie hoch war die ursprüngliche Miete und wie hoch die Mieterhöhung in €?
Das bedeutet: Der Grundwert, also die Miete, hat sich um 4 % erhöht. Da der Grundwert immer 100 % beträgt, also auf 104 %.
W = 520 €
p\% = 104 \%
G = \, ?
G = \frac{W}{p\%} = \frac{520}{104\%} = 520 : \frac{104}{100} = 520 \cdot \frac{100}{104} = \underline{\underline{500 €}} \, \, alter \, Mietpreis
Mieterhöhung: 520 € - 500 € = 20 €
Antwort:
Die ursprüngliche Miete betrug 500 €. Die Mieterhöhung beträgt 20 €.
Die 4% Mieterhöhung bezieht sich auf die zuvor gezahlte Miete. Das ist der Grundwert oder auch 100%. Der neue Mietpreis setzt sich aus der alten Miete und 4% davon zusammen. 104% bedeutet, die neue Miete ist 1,04 mal höher als die ursprüngliche.
12. Wir berechnen den verminderten Grundwert
Nach einer Preissenkung von 10% kostet eine Ware nur noch 108 €.
Wie hoch war der ursprüngliche Verkaufspreis?
Diesmal hat sich der Grundwert um 10 %, also auf 90 % verringert.
W = 108€
p \% = 90 \%
G = \, ?
G = \frac{W}{p \%} = \frac{108€}{90 \%} = 108 : \frac{90}{100} = 108 \cdot \frac{100}{90} = \underline{\underline{120 €}}
Antwort:
Der ursprüngliche Verkaufspreis betrug 120 €.
Die 10% Preissenkung beziehen sich auf den alten Verkaufspreis. Das ist der Grundwert oder auch 100%. Der herabgesetzte Preis kommt zustande, indem man von dem alten Preis die 10% Preissenkung abzieht. 90% bedeutet, der heruntergesetzte Preis ist nur 0,9 mal so groß wie der ursprüngliche Preis.
