Das vektorielle Produkt

Definition des vektoriellen Produktes

Wenn wir einen Vektor mit einer Zahl multipliziert, erhalten wir wieder einen Vektor. Diese Art der Multiplikation nennt man S-Multiplikation. Wenn wir einen Vektor mit einem Vektor multipliziert, ist das Ergebnis eine Zahl, Skalar genannt. Diese Art der Multiplikation nennt man Skalarmultiplikation.

Darüber hinaus gibt es eine Multiplikationsart, bei der das Ergebnis wieder ein Vektor ist. Diese Art der Multiplikation nennt man Vektormultiplikation oder vektorielles Produkt, manchmal auch Kreuzprodukt genannt.

Bevor wir uns mit Anwendungen dieser Multiplikationsart beschäftigen, werde ich zunächst erklären, wie ein solches Produkt definiert ist.

f_1840

Merke:

Aus obiger Definition folgt: Das vektorielle Produkt zweier Vektoren hat den Wert Null, wenn wenigsten einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist oder wenn die beiden Vektoren parallel sind.
Auch die Umkehrung gilt: Ist das Vektorprodukt zweier Vektoren, von denen keiner der Nullvektor ist gleich Null, so sind sie parallel.
Aus der 3. Bedingung der Definition folgt, dass ein Vektorprodukt dann seinen größten Wert besitzt, wenn der von ihnen eingeschlossene Winkel 90 grad ist.

Untenstehende Zeichnung verdeutlicht das vektorielle Produkt graphisch:

f_1841

Sein Betrag ist gleich dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelelogramms.

des_254

Rechtssystem bedeutet: Dreht man den ersten Vektor im Uhrzeigersinn in Richtung des zweiten, so bewegt sich der dritte wie eine Schraube mit Rechtsgewinde in seiner Richtung voran.




Rechengesetze für vektorielle Produkte

Auch für diese Produkte gelten Rechengesetze aus der Algebra:

Satz:
f_1842

Dies werde ich hier an einigen Beispielen verdeutlichen:

Beispiel 1:
f_1843

Beispiel 2:

Berechnen Sie formal den Winkel zwischen zwei Vektoren!

f_1844

Beispiel 3

Berechnen Sie formal den Winkel zwischen zwei Vektoren!

f_1845




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