Das skalare Produkt

Definition des skalaren Produktes

Die Definition der Arbeit im physikalischen Sinne ist eine Verknüpfung zwischen zwei Vektoren, deren Ergebnis eine reelle Zahl ist.

  f_1818     des_245

Definition:

f_1819

Merke:

Ein skalares Produkt zweier Vektoren wird gleich Null, wenn mindestens einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist oder wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

f_1820

Für die skalare Multiplikation zweier gleicher Vektoren folgt:

f_1821

Mit Hilfe des skalaren Produktes kann der Betrag eines Vektors dargestellt werden.

f_1822



Rechengesetze für skalare Produkte

Satz:

f_1823

Beispiel 1:

f_1824

des_246

f_1825

Zusammenfassend lässt sich sagen:

Der Wert des skalaren Produktes zweier Vektoren ändert sich nicht, wenn man einen der Vektoren durch seine Komponente längs des anderen ersetzt.

f_1826

Da die Division zweier Vektoren nicht definiert ist, kann folgende Beziehung manchmal hilfreich sein:

f_1827

Beispiel 2:

f_1828

des_247      des_248

f_1829

f_1830

Beispiel 3:

Der Kosinussatz der ebenen Trigonometrie soll hergeleitet werden.

des_249     f_1831

des_250    f_1832

des_251    f_1833

Besonderheit für ein rechtwinkliges Dreieck:
Da das Skalarprodukt zweier rechtwinklig aufeinanderstehender Vektoren Null ist, erhält man für obiges Beispiel den Satz des Pythagoras.

f_1834



Beispiel 4:

Beweisen Sie, dass die Seitenhalbierende der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks senkrecht auf dieser steht!

des_252

f_1835

des_253

f_1836

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Definition Euklidischer Vektorraum

Gelten zusätzlich zur algebraischen Struktur eines reellen Vektorraums, wie nachfolgend aufgelistet, folgende Gesetze,

f_1838

 

f_1839

dann spricht man von einem euklidischen Vektorraum.

Bemerkungen:

Zu einem Vektor gibt es bezüglich der Skalarmultiplikation kein inverses Element. Das bedeutet, man kann durch einen Vektor nicht dividieren.
Bezüglich der Skalarmultiplikation von Vektoren gibt es kein neutrales Element, denn das Ergebnis ist eine reelle Zahl und kein Vektor.


Aufgaben dazu noch auf brinkmann-du.debald auch hier.




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