Wahrscheinlichkeit bei verknüpften Ereignissen

Verknüpfte Ereignisse

Bis jetzt haben wir nur Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse berechnet. Ereignisse können aber auch verknüpft werden.

Beispiel:

In einem Abiturjahrgang am Berufskolleg sind 100 Schüler/innen, davon haben 87 Spanisch (S) und 75 Französisch (F) gelernt, 70 beherrschen beide Fremdsprachen.
a) Wie viele Schüler/innen lernten Französisch oder Spanisch? (oder bedeutet hier Französisch, Spanisch oder beides)
b) Ein Schüler/in wird zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er/sie Spanisch oder Französisch gelernt hat. (oder bedeutet hier Französisch, Spanisch oder beides)

Lösung:

a) Man kann nun nicht einfach die Zahlen für Spanisch und Französisch addieren, denn dann käme man auf eine Schülerzahl von 87 + 75 = 162.
Das ist deshalb falsch, weil man die Schüler/innen die Spanisch und Französisch gelernt haben damit doppelt zählt.87 Schüler/innen mit Spanischdavon 70 mit Spanisch und Französisch, also 17 nur mit Spanisch75 Schüler/innen mit Französischdavon 70 mit Spanisch und Französisch,also 5 nur mit Französisch.

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Die 70 Schüler/innen mit Spanisch und Französisch sind sowohl in den 87 mit Spanisch als auch in den 75 mit Französisch enthalten. Addiert man die Anzahl der Schüler/innen mit Spanisch (87) und die Anzahl der Schüler/innen mit Französisch (75), so hat man die Anzahl der Schüler/innen mit Spanisch und Französisch doppelt gezählt. Daher muss man 70 von der Summe (162)subtrahieren.

Anzahl der Schüler/innen mit Spanisch oder Französisch:
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Das bedeutet, 8 Schüler/innen lernten in der Gymnasialen Oberstufe keine der beiden Fremdsprachen (Spracherfüller in Sek I).

b)
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Aus diesem Beispiel erkennen wir die Summenregel, auch Additionsregel genannt.



Summenregel (Additionsregel)

Setzt sich ein Ereignis E aus den Ereignissen A und B zusammen, die sich überschneiden können, d.h. gemeinsame Ergebnisse enthalten können wie bei einer oder – Verknüpfung, dann muss man darauf achten, dass diese gemeinsamen Ereignisse nicht doppelt berücksichtigt werden.

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In Worten: Die Wahrscheinlichkeit eines Oder – Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse, vermindert um die Wahrscheinlichkeit des Und – Ereignisses.

Beispiel:

Ein Würfel wird einmal geworfen. Es werden zwei Ereignisse festgelegt.
A: Die Augenzahl ist größer als 3.
B: Die Augenzahl ist eine gerade Zahl.
Ein neues Ereignis wird wie folgt festgelegt:
C: Die Augenzahl ist größer als 3 oder die Augenzahl ist eine gerade Zahl.
Das Ereignis C ist eine Oder – Verknüpfung aus A und B. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( C ).

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Übung 1:

Ein Würfel wird einmal geworfen. Es werden zwei Ereignisse festgelegt.
A: Die Augenzahl ist größer als 4.
B: Die Augenzahl ist eine ungerade Zahl und größer als 1.
Ein neues Ereignis wird wie folgt festgelegt:
C: Die Augenzahl ist größer als 4 oder die Augenzahl ist eine ungerade Zahl und größer als 1.
Das Ereignis C ist eine Oder – Verknüpfung aus A und B.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( C ).
Lösung unten



Beispiel:

Ein Würfel wird einmal geworfen. Es werden zwei Ereignisse festgelegt.
A: Die Augenzahl ist kleiner als 4.
B: Die Augenzahl ist 4 oder 5.
Ein neues Ereignis wird wie folgt festgelegt:
C: Die Augenzahl ist kleiner als 4 oder die Augenzahl ist 4 oder 5.
Das Ereignis C ist eine Oder – Verknüpfung aus A und B.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( C ).
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Übung 1:

Eine Karte wird aus einem Spiel mit 32 Karten gezogen (Skat).
Welche Wahrscheinlichkeit hat das folgende Ereignis?
E: Die gezogene Karte ist eine Bildkarte oder eine Kreuzkarte.
Lösung unten

Zusammenfassung der bisher bekannten Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten:

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Lösung der Übung 1:

Ein Würfel wird einmal geworfen. Es werden zwei Ereignisse festgelegt.
A: Die Augenzahl ist größer als 4.
B: Die Augenzahl ist eine ungerade Zahl und größer als 1.
Ein neues Ereignis wird wie folgt festgelegt:
C: Die Augenzahl ist größer als 4 oder die Augenzahl ist eine ungerade Zahl und größer als 1.
Das Ereignis C ist eine Oder – Verknüpfung aus A und B.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( C ).
Lösung:
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Lösung der Übung 2:

Eine Karte wird aus einem Spiel mit 32 Karten gezogen (Skat).
Welche Wahrscheinlichkeit hat das folgende Ereignis?
E: Die gezogene Karte ist eine Bildkarte oder eine Kreuzkarte. Lösung:
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Im nächsten Beitrag beschäftigen wir uns damit, wann ein Ereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung abhängig und wann es unabhängig von einem anderen Ereignis ist und wie dies mathematisch berechnet wird. Dies nennt man Bedingte Wahrscheinlichkeit.



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