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Aufgabensammlung Mathematik Mathematische Grundlagen Zinsrechnung

Zinseszinsrechnung Lösungen der Aufgaben I

Zinseszinsrechnung Lösungen der Aufgaben I
mit komplettem Lösungsweg

Alle Formeln und  Erklärungen mit ausführlichen Beispielen finden Sie unter Zinseszinsrechnung.

1. Auf welchen Betrag wachsen folgende Anfangskapitalien an?
a) K(0) = 1800€   p = 5%   n = 10

K(n) = K(0) \cdot q^n  

 q =(1 + \frac {p}{100\%}) = 1 + \frac {5\%}{100\%} = 1,05

K(10) = 1800€ \cdot 1,05^{10} = \underline{\underline{2932,01 €}} 

Antwort: 1800 € wachsen bei einem Zinssatz von 5% in 10 Jahren auf 2932,01 € an.
1. b) K(0) = 6000   p = 6,5%   n = 15

K(n) = K(0) \cdot q^n  

 q =(1 + \frac {p}{100\%}) = 1 + \frac {6,5\%}{100\%} = 1,065

K(15) = 6000€ \cdot 1,065^{15} = \underline{\underline{15431,04 €}} 

6000 € wachsen bei einem Zinssatz von 6,5% in 15 Jahren auf 15431,04 € an.
1. c) K(0) = 25000   p = 4%    n = 6

K(n) = K(0) \cdot q^n  

 q =(1 + \frac {p}{100\%}) = 1 + \frac {4\%}{100\%} = 1,04

K(6) = 25000€ \cdot 1,04^{6} = \underline{\underline{31632,98 €}} 

25000 € wachsen bei einem Zinssatz von 4% in 6 Jahren auf 31632,98 € an.

2.

Ein Vater legte am 01.01. 2006 ein Sparbuch über 1000 € für seine Tochter an.
Über welchen Betrag kann die Tochter am 31.12. 2021 verfügen, wenn das Sparguthaben mit 3,5% verzinst wird?
K(0) = 1000€    p = 3,5%
Vom 1.1.2006  bis zum 31.12.2021 sind es 16 Jahre, also n = 16

 q =(1 + \frac {p}{100\%}) = 1 + \frac {3,5\%}{100\%} = 1,035

K(16) = 1000€ \cdot 1,035^{16} = \underline{\underline{1733,99 €}} 

Die Tochter kann am 31.12.2021 über einen Betrag von 1733,99 € verfügen.

3.  Auf welchen Betrag wachsen 16000 € an, wenn das Guthaben 12 Jahre mit
a) K(0) = 16000   n = 12     = 4%    verzinst wird?

 q =(1 + \frac {p}{100\%}) = 1 + \frac {4\%}{100\%} = 1,04

K(12) = 16000€ \cdot 1,04^{12} = \underline{\underline{25616,52 €}} 

Bei einer 12 jährigen Verzinsung mit 4% wächst das Guthaben auf 25616,52 € an.
3. b) K(0) = 16000    n = 12    P = 5,5 %    q = 1,055

K(12) = 16000€ \cdot 1,055^{16} = \underline{\underline{30419,32 €}} 

Bei einer 12 jährigen Verzinsung mit 5,5% wächst das Guthaben auf 30419,32 € an.
3. c) K(0) = 16000   n = 12   p = 8 %    q = 1,08

K(12) = 16000€ \cdot 1,08^{11} = \underline{\underline{40290,72 €}} 

Bei einer 12 jährigen Verzinsung mit 8% wächst das Guthaben auf 40290,72 € an.

4.

Ein Betrag in Höhe von 6000 € wurde am 01.01. 2010 zu 4,5% angelegt.
Welche Summe steht dem Anleger am 31.12. 2018 zur Verfügung?
K(0) = 6000   p = 4,5 %   q = 1,045
vom 1.1.2010 bis zum 31.12 2018 sind es 9 Jahre, also n = 9

K(9) = 6000€ \cdot 1,045^{9} = \underline{\underline{8916,57 €}} 

Dem Anleger steht am 31.12.2018 ein Kapital von 8916,57 € zur Verfügung.


5. Wie viel Zinsen bringen bei einer 5%igen Verzinsung unter Berücksichtigung von Zinseszinsen 4000 €, die vom 01.04.2010 bis zum 31.03. 2016 festgelegt wurden?
K (0) = 4000     p = 5 %    q = 1,05
Vom 1.4.2010 bis zum 31.3.2016 sind es 6 Jahre, also n =6

Z = K(6) - K(0) = K(0) \cdot q^6 - K(0)= K(0) \cdot ({q^6-1})=
=  4000€  \cdot (1,05^6 - 1) =\underline{\underline{1360,38€}} 

Die Zinsen betragen 1360,38 €.

6.

Ein Vater möchte, dass seinem Sohn am 31.12. 2020 ein Betrag von 30000 € ausgezahlt wird.
Welche Summe musste er am 01.01. 2006 anlegen, wenn er mit einer Verzinsung von 5,5% rechnet?
K(15) = 30000€    p = 5,5%    q = 1,055
Vom 1.1.2006 bis zum 31.12.2020 sind es 15 Jahre, also n = 15

K(0) = \frac {K(15)}{q^{15}}=\frac{30000€}{1,055^{15}}

  =\underline{\underline{13437,99€}} 

Es muss eine Summe von K(0) = 13437,99 € angelegt werden.

7. Ein junger Mann hat die Wahl zwischen folgenden Kapitalien: 12000 €, Auszahlung sofort, oder 22500 €, Auszahlung in 10 Jahren, oder 36000 €, Auszahlung in 20 Jahren.
Welches Kapital ist, bezogen auf einen gemeinsamen Stichtag am höchsten, wenn man von einer 6%igen Verzinsung ausgeht?
p = 6% Stichtag heute q = 1,06
1. Fall: 12000 € Auszahlung sofort: K(0) = 12000
2. Fall: 22500 € Auszahlung in 10 Jahren

K(0) = \frac {K(10)}{q^{10}}=\frac{22500€}{1,06^{10}}

  =\underline{\underline{12563,88€}} 

3. Fall: 36000 € Auszahlung in 20 Jahren
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Fall 2 beinhaltet das größte Kapital K(0) = 12563,88 €.

8. Ein Kapital in Höhe von 5000 € verdoppelt sich in 12 Jahren.
Welcher Zinssatz liegt bei dieser Berechnung zugrunde.
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Bei der berechnung liegt ein Zinssatz von p = 5,95% zugrund.

9. Zu welchem Zinssatz war ein Kapital von 5000 € ausgeliehen, wenn es in 5 Jahren auf 6535 € angewachsen ist?
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Das Kapital war zu einem Zinssatz von p = 5,5% ausgeliehen.



10. In wie viel Jahren verdoppelt sich ein Kapital bei einem Zinssatz von 4%?

10_l
Bei einem Zinssatz von 4% verdoppelt sich das Kapital in etwa 18 Jahren.

11. In wie viel Jahren wächst ein Kapital von 10000 € bei einem Zinssatz von 5% auf 14774,55 € an?
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Die Laufzeit beträgt etwa 8 Jahre.

12. In wie viel Jahren bringt ein Kapital von 15000 € bei 6%iger Verzinsung 5073,38 € Zinsen?
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Die Laufzeit beträgt etwa 5 Jahre.

13. Ein Kapital hat sich in 9 Jahren verdoppelt.
Zu welchem Prozentsatz wurde es verzinst?
13_l
Das Kapital wurde zu 8% verzinst.

14. Welchen Betrag muss ein Sparer heute bei einer Sparkasse einzahlen, wenn er bei 4,5% Zinsen nach 8 Jahren über 20000 € verfügen will?
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Der einzuzahlende Betrag beläuft sich auf K(0) = 14063,70 €

15. Wie lange muss ein Kapital zu 4,5% verzinst werden, bis es seinen dreifachen Wert erreicht hat?

15_l
Die Laufzeit beträgt etwa 25 Jahre.

16. Folgende Kapitalanlagen sind zu berechnen.
a)
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Nach 5 Jahren steht ein Betrag von13382,26 € zur Verfügung.
b)
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Das Geld steht nach 10 Jahren zur Verfügung.
c)
16c_l
Für den Autokauf müsste ein Betrag von 13450,65 € angelegt werden.



Hier finden Sie die Aufgaben.

Hier die Theorie mit ausführlichen Beispielen Zinseszinsrechnung.

Und hier eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Zinsrechnung und zu anderen mathematischen Grundlagen.

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