Zinseszinsrechnung Lösungen der Aufgaben I
mit komplettem Lösungsweg
Alle Formeln und Erklärungen mit ausführlichen Beispielen finden Sie unter Zinseszinsrechnung.
1. Auf welchen Betrag wachsen folgende Anfangskapitalien an?
a) K(0) = 1800€ p = 5% n = 10
K(n) = K(0) \cdot q^n q =(1 + \frac {p}{100\%}) = 1 + \frac {5\%}{100\%} = 1,05 K(10) = 1800€ \cdot 1,05^{10} = \underline{\underline{2932,01 €}}
Antwort: 1800 € wachsen bei einem Zinssatz von 5% in 10 Jahren auf 2932,01 € an.
1. b) K(0) = 6000 p = 6,5% n = 15
K(n) = K(0) \cdot q^n q =(1 + \frac {p}{100\%}) = 1 + \frac {6,5\%}{100\%} = 1,065 K(15) = 6000€ \cdot 1,065^{15} = \underline{\underline{15431,04 €}}
6000 € wachsen bei einem Zinssatz von 6,5% in 15 Jahren auf 15431,04 € an.
1. c) K(0) = 25000 p = 4% n = 6
K(n) = K(0) \cdot q^n q =(1 + \frac {p}{100\%}) = 1 + \frac {4\%}{100\%} = 1,04 K(6) = 25000€ \cdot 1,04^{6} = \underline{\underline{31632,98 €}}
25000 € wachsen bei einem Zinssatz von 4% in 6 Jahren auf 31632,98 € an.
2.
Ein Vater legte am 01.01. 2006 ein Sparbuch über 1000 € für seine Tochter an.
Über welchen Betrag kann die Tochter am 31.12. 2021 verfügen, wenn das Sparguthaben mit 3,5% verzinst wird?
K(0) = 1000€ p = 3,5%
Vom 1.1.2006 bis zum 31.12.2021 sind es 16 Jahre, also n = 16
q =(1 + \frac {p}{100\%}) = 1 + \frac {3,5\%}{100\%} = 1,035 K(16) = 1000€ \cdot 1,035^{16} = \underline{\underline{1733,99 €}}
Die Tochter kann am 31.12.2021 über einen Betrag von 1733,99 € verfügen.
3. Auf welchen Betrag wachsen 16000 € an, wenn das Guthaben 12 Jahre mit
a) K(0) = 16000 n = 12 = 4% verzinst wird?
q =(1 + \frac {p}{100\%}) = 1 + \frac {4\%}{100\%} = 1,04 K(12) = 16000€ \cdot 1,04^{12} = \underline{\underline{25616,52 €}}
Bei einer 12 jährigen Verzinsung mit 4% wächst das Guthaben auf 25616,52 € an.
3. b) K(0) = 16000 n = 12 P = 5,5 % q = 1,055
K(12) = 16000€ \cdot 1,055^{16} = \underline{\underline{30419,32 €}}
Bei einer 12 jährigen Verzinsung mit 5,5% wächst das Guthaben auf 30419,32 € an.
3. c) K(0) = 16000 n = 12 p = 8 % q = 1,08
K(12) = 16000€ \cdot 1,08^{11} = \underline{\underline{40290,72 €}}
Bei einer 12 jährigen Verzinsung mit 8% wächst das Guthaben auf 40290,72 € an.
4.
Ein Betrag in Höhe von 6000 € wurde am 01.01. 2010 zu 4,5% angelegt.
Welche Summe steht dem Anleger am 31.12. 2018 zur Verfügung?
K(0) = 6000 p = 4,5 % q = 1,045
vom 1.1.2010 bis zum 31.12 2018 sind es 9 Jahre, also n = 9
K(9) = 6000€ \cdot 1,045^{9} = \underline{\underline{8916,57 €}}
Dem Anleger steht am 31.12.2018 ein Kapital von 8916,57 € zur Verfügung.
5. Wie viel Zinsen bringen bei einer 5%igen Verzinsung unter Berücksichtigung von Zinseszinsen 4000 €, die vom 01.04.2010 bis zum 31.03. 2016 festgelegt wurden?
K (0) = 4000 p = 5 % q = 1,05
Vom 1.4.2010 bis zum 31.3.2016 sind es 6 Jahre, also n =6
Z = K(6) - K(0) = K(0) \cdot q^6 - K(0)= K(0) \cdot ({q^6-1})= = 4000€ \cdot (1,05^6 - 1) =\underline{\underline{1360,38€}}
Die Zinsen betragen 1360,38 €.
6.
Ein Vater möchte, dass seinem Sohn am 31.12. 2020 ein Betrag von 30000 € ausgezahlt wird.
Welche Summe musste er am 01.01. 2006 anlegen, wenn er mit einer Verzinsung von 5,5% rechnet?
K(15) = 30000€ p = 5,5% q = 1,055
Vom 1.1.2006 bis zum 31.12.2020 sind es 15 Jahre, also n = 15
K(0) = \frac {K(15)}{q^{15}}=\frac{30000€}{1,055^{15}} =\underline{\underline{13437,99€}}
Es muss eine Summe von K(0) = 13437,99 € angelegt werden.
7. Ein junger Mann hat die Wahl zwischen folgenden Kapitalien: 12000 €, Auszahlung sofort, oder 22500 €, Auszahlung in 10 Jahren, oder 36000 €, Auszahlung in 20 Jahren.
Welches Kapital ist, bezogen auf einen gemeinsamen Stichtag am höchsten, wenn man von einer 6%igen Verzinsung ausgeht?
p = 6% Stichtag heute q = 1,06
1. Fall: 12000 € Auszahlung sofort: K(0) = 12000
2. Fall: 22500 € Auszahlung in 10 Jahren
K(0) = \frac {K(10)}{q^{10}}=\frac{22500€}{1,06^{10}} =\underline{\underline{12563,88€}}
3. Fall: 36000 € Auszahlung in 20 Jahren
Fall 2 beinhaltet das größte Kapital K(0) = 12563,88 €.
8. Ein Kapital in Höhe von 5000 € verdoppelt sich in 12 Jahren.
Welcher Zinssatz liegt bei dieser Berechnung zugrunde.
Bei der berechnung liegt ein Zinssatz von p = 5,95% zugrund.
9. Zu welchem Zinssatz war ein Kapital von 5000 € ausgeliehen, wenn es in 5 Jahren auf 6535 € angewachsen ist?
Das Kapital war zu einem Zinssatz von p = 5,5% ausgeliehen.
10. In wie viel Jahren verdoppelt sich ein Kapital bei einem Zinssatz von 4%?
Bei einem Zinssatz von 4% verdoppelt sich das Kapital in etwa 18 Jahren.
11. In wie viel Jahren wächst ein Kapital von 10000 € bei einem Zinssatz von 5% auf 14774,55 € an?
Die Laufzeit beträgt etwa 8 Jahre.
12. In wie viel Jahren bringt ein Kapital von 15000 € bei 6%iger Verzinsung 5073,38 € Zinsen?
Die Laufzeit beträgt etwa 5 Jahre.
13. Ein Kapital hat sich in 9 Jahren verdoppelt.
Zu welchem Prozentsatz wurde es verzinst?
Das Kapital wurde zu 8% verzinst.
14. Welchen Betrag muss ein Sparer heute bei einer Sparkasse einzahlen, wenn er bei 4,5% Zinsen nach 8 Jahren über 20000 € verfügen will?
Der einzuzahlende Betrag beläuft sich auf K(0) = 14063,70 €
15. Wie lange muss ein Kapital zu 4,5% verzinst werden, bis es seinen dreifachen Wert erreicht hat?
Die Laufzeit beträgt etwa 25 Jahre.
16. Folgende Kapitalanlagen sind zu berechnen.
a)
Nach 5 Jahren steht ein Betrag von13382,26 € zur Verfügung.
b)
Das Geld steht nach 10 Jahren zur Verfügung.
c)
Für den Autokauf müsste ein Betrag von 13450,65 € angelegt werden.
