Einführung in die Zinseszinsrechnung

Einführung in die Zinseszinsrechnung

In diesem Beitrag werde ich zuerst die Zinseszinsrechnung definieren und die Berechnung in einzelnen Schritten anhand eines ausführlichen Einführungsbeispiels erläutern. Danach werde ich die Zinseszinsformel vorstellen und zeigen, wie man das Endkapital berechnet. Wenn man die Formel umstellt, kann man das Anfangskapital, den Zinssatz und die Laufzeit berechnen. Zuletzt fasse ich alle Formeln übersichtlich zusammen.

Definition Zinseszinsrechnung

Von Zinseszins spricht man, wenn die Zinsen wieder verzinst werden. In der Zinseszinsrechnung kann man mithilfe mathematischer Formaln das Anfangskapital, Endkapital, den Zinssatz oder die Laufzeit berechnen. Das werde ich anhand mehrerer Beispiele leicht verständlich erklären.

Meistens geht es um die Entwicklung von einmalig angelegten Kapitalbeträgen zu einem Zinssatz, der in der Regel im Zeitablauf fest bleibt. Zur Berechnung braucht man dann noch die Anzahl der Zinsgutschriften pro Jahr, die man Zinsturnus nennt. Ganz ohne einen Taschenrechner wird man also nicht auskommen, wenn man sich ein Bild davon machen möchte, wie sich das Guthaben im Laufe der Zeit entwickelt bzw. entwickeln kann.

Einführungsbeispiel:

Ein Immobilienmakler legt am Ende eines Jahres sein Weihnachtsgeld in Höhe von 4000 € auf ein Sparbuch mit 4-jähriger Kündigungsfrist. Das Kreditinstitut vereinbart mit ihm einen Zinssatz von 5%. Wie entwickelt sich das Sparguthaben?

Das Anfangskapital beträgt K(0) = 4000.
Am Ende des 1. Jahres hat sich das Kapital um die Zinsen des 1. Jahres erhöht.

f_1903

Am Ende des 2. Jahres werden zu dem Kapital K(1) die Jahreszinsen des 2. Jahres addiert.

f_1904

Am Ende des 3. Jahres werden wieder die Zinsen von 5% zu K(2) addiert.

f_1905

Das endgültige Guthaben am Endedes 4. Jahres ergibt sich aus der Summe von K(3) und den Zinsen von K(3).
Der Makler kann nach 4 Jahren über einen Betrag von 4862,03 € verfügen.

f_1906

Allgemein gilt:
Nach n Jahren beträgt das Kapital somit:

f_1907



Die Zinseszinsformel

f_1908

Das Anfangskapital K(0) wächst in n- Jahren
bei einer Verzinsung von p%
auf das Endkapital K(n) an.
f_1909: Die Zinseszinsformel

Beispiel 1: Das Endkapital berechnen

Das Guthaben nach n Jahren wird berechnet.

Anfangskapital: K(0) = 10000 €
Zinssatz : p = 6,5%
Laufzeit : n = 18 Jahre
gesucht : Guthaben nach 18 Jahren

f_1910
Antwort: Nach 18 Jahrenbeträgt das Guthaben: 31066,54 €

Wenn man die Formel umstellt, kann man auch alle anderen Werte berechnen:

Beispiel 2  Das Anfangskapital berechnen

Für einen Autokauf sollen in 5 Jahren 20000 € zur Verfügung stehen. Welchen Betrag müsste man dafür jetzt zu 7% anlegen?
Vorüberlegung: Die Formel
f_1911: Formel für Zinseszins
muss nach dem Anfangskapital K(0) umgestellt werden.

Formelumstellung:

f_1912

Berechnung:
f_1913
Antwort:
Es muss ein Betrag von 14259,72 € für 5 Jahre zu 7% angelegt werden



Beispiel 3: Den Zinssatz berechnen

Zu welchem Zinssatz müssen 3325,29 € für 7 Jahre angelegt werden, damit am Ende des 7. Jahres 5000 € zur Verfügung stehen?
Vorüberlegung: Die Formel
f_1914
muss nach dem Zinssatz p umgestellt werden.

Formelumstellung:
f_1915

Berechnung:
f_1916
Antwort:
Damit nach 7 Jahren aus dem Anfangskapital 5000 € werden, muss der Zinssatz p = 6% betragen

Beispiel 4: Die Laufzeit berechnen

Wie lange müssen 6808,24 € zu 6,5% angelegt werden, bis sie auf 12000 € gewachsen sind?
Vorüberlegung: Die Formel
f_1917
muss nach der Laufzeit n umgestellt werden.

Formelumstellung:
f_1918

Berechnung:
f_1919
Antwort:
Um auf 12000 € anzuwachsen müssen 6808,24 € zu 6,5% 9 Jahre angelegt werden.

Zusammenfassung

K(n) ist das n Jahre lang zu einem Zinssatz von p% verzinste Anfangskapital K(0) und lässt sich nach der Zinseszinsformel
f_1920
berechnen.
Durch entsprechende Formelumstellungen lässt sich auch das Anfangskapital, die Laufzeit und der Zinssatz berechnen.
f_1921



Hier finden Sie die Aufgaben hierzu: Zinseszinsrechnung Aufgaben I

und Zinseszinsrechnung Aufgaben II.

Und hier eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Zinsrechnung und zu anderen mathematischen Grundlagen, darin auch Links zu weiteren Beiträgen.

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