Zinsrechnung

Einführung in die Zinsrechnung

In diesem Beitrag werde ich als erstes erklären, was Zinsen, Zinssatz und Kapital sind. Danach werde ich die Zinsformeln vorstellen. Anhand anschaulicher Beispiele werde ich schließlich die Berechnung der Zinsen erklären. Je nachdem, ob nach dem Kapital, dem Zinssatz oder der Verzinsungszeit gefragt wird, kann man die Formel umstellen. Mit anderen Worten: Berechnung des Kapitals, Berechnung des Zinssatzes und der Verzinsungszeit jeweils bei jährlicher Verzinsung, nach Monaten und Tagen.

Definitionen

Der Zins ist eine Leihgebühr, das heißt, wenn man sich etwas leiht, muss dafür eine Gebühr bezahlen.

Dabei wird der Zinssatz in Prozent pro Zeitraum angegeben. Das heißt: Pro angegebenem Zeitraum wird der entsprechende Prozentwert des geliehenen Geldes als Zins abgerechnet. Die Gesamthöhe des geliehenen Geldes wird Kapital genannt.

Ein Bankkunde muss Zinsen zahlen, wenn er sich bei der Bank Geld leiht. Das Geld was er sich leiht, nennt man dabei Kapital K. Die Höhe der Verzinsung wird in % angegeben, mit anderen Worten: Zinssatz p. Der Geldbetrag, der bei der Verzinsung anfällt, heißt Zinsen Z. Zahlt man bei der Bank ein Kapital ein, so erhält man auf dieses ebenfalls Zinsen.

Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung.
Der Grundwert G entspricht dem Kapital K.
Der Prozentwert W entspricht den Zinsen Z.
Der Prozentsatz p entspricht dem Zinssatz p.
Der Zinssatz p bezieht sich, falls nichts anderes angegeben wird, jeweils auf ein Jahr. Das heißt: Das Kapital wird jährlich mit dem Zinssatz p Prozent verzinst.

Beispiel:

Bei einem Zinssatz von p = 3% pro Jahr und einem Kapital von K = 2000 € beträgt der Zins im ersten Jahr Z = 60 €, also 3% des Kapitals.

Der Zinssatz ist der Anteil am Ganzen in Prozent (im Beispiel 3%).
Mit anderen Worten: „Wieviel Prozent machen 60 € von 2000 € aus?“

zinssatz: Berechnungsformel für den Zinssatz bei jährlicher Verzinsung

Die Zinsen sind die absolute Größe des Teils vom Kapital (im Beispiel 60 €).
Mit anderen Worten: „Wie viel € sind 3% von 2000 €?“

zinsen: Berechnungsformel für die bei jährlicher Verzinsung

Das Kapital steht für das Ganze, das 100% entsprechen soll (im Beispiel 2000 €).
Mit anderen Worten: „Wenn 60 € 3% vom Kapital sind, wie groß ist dann das Kapital?“

kapital: Berechnungsformel für das Kapital bei jährlicher Verzinsung

Wenn es sich nicht um eine jährliche Verzinsung handlt, kommt noch ein Zeitfaktor hinzu. Eine Verzinsung über ein Jahr hinaus wird üblicherweise mit der Zinseszinsrechnung berechnet, die an anderer Stelle erfolgt.

Zinsformeln

f_511: Formeln für die Zinsrechnung

Ein Monat hat 30 Zinstage und ein Jahr hat 360 Zinstage.
Bei der Verzinsung nach Monaten oder nach Tagen kann man die Formel jeweils nach den entsprechenden Größen umgestellen.
Geldbeträge werden, falls nötig, auf 2 Stellen hinter dem Komma gerundet.


Beispiele zur Berechnung der Zinsen

Berechnung der Jahreszinsen

Wie viel Zinsen bringt ein Kapital von 850 € bei einer jährlichen Verzinsungvon 5% am Ende des Jahres?
Am Ende des Jahres betragen die Zinsen 42,50 €

f_512: Berechnung der Jahreszinsen

Berechnung der Zinsen nach Monaten

Wie viel Zinsen bringt ein Kapital von 1200 € bei einer Verzinsungvon 4,3% nach 7 Monaten?
Die Zinsen nach 7 Monaten betragen 30,10 €.

f_513: Berechnung der Zinsen nach 7 Monaten

Berechnung der Zinsen nach Tagen

Wie viel Zinsen bringt ein Kapital von 950 € bei einer Verzinsungvon 5,1% nach 300 Tagen?
Die Zinsen nach 300 Tagen betragen 40,38 €.

f_514: Berechnung der Zinsen nach Tagen




Berechnung des Kapitals

Beispiel: Berechnung des Kapitals bei jährlicher Verzinsung

Herr Neureich möchte bei einer Bank Geld anlegen. Die Bank bietet 4% Zinsen jährlich. Wie viel muss Herr Neureich anlegen, wenn er im Jahr 2400 € Zinsen erhalten will?
Herr Neureich muss 60000 € zu 4% anlegen, um jährlich 2400 € Zinsen zu erhalten.

f_515: Berechnung des Kapitals bei jährlicher Verzinsung

Beispiel: Berechnung des Kapitals bei unterjähriger Verzinsung nach Monaten

Laura hat Geld zu 4,8% für den Kauf eines Gebrauchtwagen angelegt. Nach 9 Monaten löst sie das Konto auf und erhält 230,40 € Zinsen. Welchen Betrag hatte sie angelegt?
Dazu muss die Formel nach der Größe Kapital (K) umgestellt werden, siehe unten.
Laura hatte einen Betrag von 6400 € angelegt.

f_804: Berechnung des Kapitals bei unterjähriger Verzinsung nach Monaten

Beispiel: Berechnung der Zinstage bei unterjähriger Verzinsung

Frau Blank nimmt für 13,5% Jahreszinsen bei der Zockerbank einen Kredit auf. Nach 155 Tagen zahlt sie den Kredit zurück. Die Bank berechnet ihr 581,25 € Zinsen. Wie hoch war der Kredit?
Dazu muss die Formel nach der Größe Kapital (K) umgestellt werden, siehe unten.
Die Kredithöhe betrug 10.000 €.

f_516: Berechnung der Zinstage bei unterjähriger Verzinsung


Berechnung des Zinssatzes

Beispiel: Berechnung des Zinssatzes bei jährlicher Verzinsung

Frau Kaufrausch muss für einen Kredit in Höhe von 18 000 € jährlich Zinsen in Höhe von 792 € zahlen. Welchen Zinssatz berechnet die Bank?
Der Zinssatz bei jährlicher Verzinsung beträgt 4,4%

f_517: Berechnung des Zinssatzes bei jährlicher Verzinsung

Beispiel: Berechnung des Zinssatzes bei unterjähriger Verzinsung nach Monaten

Familie Ungeduld finanziert eine Einbauküche für 13200 € über einen Kredit. Nach 5 Monaten wird der Kredit plus 577,50 € Zinsen zurückgezahlt. Zu welchem Zinssatz wurde der Kredit vergeben?
Dazu muss die Formel nach der Größe Zinssatz (p) umgestellt werden, siehe unten.
Der Kredit wurde zu einem Zinssatz von 10,5% vergeben.

f_805: Berechnung des Zinssatzes bei unterjähriger Verzinsung nach Monaten

Beispiel: Berechnung des Zinssatzes bei unterjähriger Verzinsung nach Tagen

Für eine geplante Urlaubsreise legt Gerd 2100 € für 288 Tage auf ein Tagesgeldkonto an. Nach Ablauf der Zeit erhält er 73,92 € Zinsen. Wie hoch war der Zinssatz?
Dazu muss die Formel nach der Größe Zinssatz (p) umgestellt werden, siehe unten.
Der Zinssatz für das Tagesgeldkonto betrug 4,4%.

f_806: Berechnung des Zinssatzes bei unterjähriger Verzinsung nach Tagen




Berechnung der Verzinsungszeit

Beispiel: Berechnung der Zinsmonate bei unterjähriger Verzinsung

Zu dem bestandenem Examen erhielt Mona von ihrer Tante ein Sparbuch mit 1200 € und einer Verzinsung von 2,1%. Einige Monate später, vor Ablauf eines Jahres, löst Mona das Sparbuch auf, um mit dem Geld eine Urlaubsreise zu finanzieren. Die Bank schreibt ihr 14,70 € Zinsen gut. Wie viele Monate befand sich das Geld auf dem Sparbuch?
Dazu muss die Formel nach der Größe Monate (m) umgestellt werden, siehe unten.
Das Geld befand sich 7 Monate auf dem Sparbuch.

f_807: Berechnung der Zinsmonate bei unterjähriger Verzinsung

Beispiel: Berechnung der Zinstage bei unterjähriger Verzinsung

Ein Kapital von 19 200 € war zu 4,5% ausgeliehen. Es brachte vor Ablauf eines Jahres 249,60 € Zinsen. Berechne, wie viel Tage das Kapital ausgeliehen war.
Dazu muss die Formel nach der Größe Tage (t) umgestellt werden, siehe unten.
Das Kapital war 104 Tage zu einem jährlichen Zinssatz von 4,5% angelegt.

f_518: Berechnung der Zinstage bei unterjähriger Verzinsung


Zusammenstellung aller Formeln.

Berechnung der Zinsen

Zinsen nach einem Jahr

f_808: Zinsen nach einem Jahr

Zinsen nach Monaten

f_809: Zinsen nach Monaten

Zinsen nach Tagen

f_810: Zinsen nach Tagen

Berechnung des Anfangskapitals

Anfangskapital bei einer jährlichen Verzinsung

f_811: Anfangskapital bei einer jährlichen Verzinsung

Anfangskapital bei einer Verzinsung von m Monaten

f_812: Anfangskapital bei einer Verzinsung von m Monaten

Anfangskapital bei einer Verzinsung von t Tagen

f_813: Anfangskapital bei einer Verzinsung von t Tagen

Berechnung des Zinssatzes

Zinssatz bei einer jährlichen Verzinsung

f_814: Zinssatz bei einer jährlichen Verzinsung

Zinssatz bei einer Verzinsung von m Monaten

f_815: Zinssatz bei einer Verzinsung von m Monaten

Zinssatz bei einer Verzinsung von t Tagen

f_816: Zinssatz bei einer Verzinsung von t Tagen

Berechnung der Verzinsungszeit

Zinsmonate bei unterjähriger Verzinsung

f_817: Zinsmonate bei unterjähriger Verzinsung

Zinstage bei unterjähriger Verzinsung

f_818: Zinstage bei unterjähriger Verzinsung

Bemerkung:

Unterjährige Verzinsung bedeutet hierbei, die Zinsdauer beträgt weniger als ein Jahr. Bei einer Verzinsung von mehr als einem Jahr rechnet man mit Zinseszinsen.

Man braucht sich nur 3 Formeln zu merken, wie man diese jeweils umstellen kann, siehe Formelumstellung.

Aufgaben Zinseszinsrechnung Aufgaben I

und Zinseszinsrechnung Aufgaben II

und Zinseszinsrechnung Aufgaben III



Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Zinsrechnung und zu anderen mathematischen Grundlagen.

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