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Mathematik Sekundarstufe 1 Zinsrechnung

Zinsrechnung

Einführung in die Zinsrechnung

  • In diesem Beitrag erkläre ich als erstes was Zinsen, Zinssatz und Kapital sind.
  • Danach stelle ich die Zinsformeln vorstellen.
  • Anhand anschaulicher Beispiele erkläre ich schließlich die Berechnung der Zinsen erklären.
  • Je nachdem, ob nach dem Kapital, dem Zinssatz oder den Zinsen gefragt wird, kann man die Formel umstellen.
  • Außerdem kann man das Kapitals, den Zinssatzes und die Zinsen jeweils für ein Jahr, für mehrere Monate und Tage berechnen.
  • Schließlich kann man auch die Zinszeit berechnen. Dann weiß man, wie lange man Geld anlegen muss, um ein bestimmtes Ziel zu erreichen.
  • Am Schluß stelle ich alle Formeln noch einmal zusammen.

1. Was sind Zinsen und wofür braucht man sie? Definitionen

Wenn man sich Geld leiht, muss man Zinsen zahlen. Wenn man dagegen Geld spart, bekommt man Zinsen von der Bank.
Das Geld nennt man dabei Kapital K.
Den Geldbetrag, den man fürs Sparen bekommt, nennt man Zinsen Z.
Die Höhe der Verzinsung wird in Prozent berechnet, also z. B. 5 %. Das nennt man Prozentsatz p.

Deshalb brauchen wir die Prozentrechnung. Das ist hier mit vielen Beispielen erklärt: Prozentrechnen einfach erklärt.

Der Grundwert G entspricht dem Kapital K.
Der Prozentwert W entspricht den Zinsen Z.
Der Prozentsatz p entspricht dem Zinssatz p.

Zum Rechnen brauchen wir jetzt die

2. Zinsformeln für Berechnung der Zinsen Z für ein Jahr:

2.1. Zinsformel für Berechnung der Zinsen

 Z = K \cdot \frac{p}{100\%} 

Beispiel Zinsen Z für ein Jahr berechnen

Wenn man sich 2.000 € zu 3 % für ein Jahr leiht, rechnet man also: 2.000 € * 3 / 100 = 60 €.

Tipp Zinformeln umstellen: Nur eine Zinsformel merken!

Ihr braucht euch nur diese Formel zu merken, alle anderen kann man umstellen, siehe Formelumstellung. In Kurzform geht das so:
Wenn man auf einer Seite durch einen Wert dividiert, muss man auf der anderen Seite durch den gleichen Wert dividieren.

Warum werden Zinsen meist für ein Jahr gerechnet?

Nach dem ersten Jahr hat man 2.060 €, deshalb bekommt man im zweiten Jahr auch für 2.060 € Zinsen. Damit man das nicht jedes Jahr addieren muss, gibt es Zinseszinsformeln. Die sind hier erklärt: Zinseszinsrechnung.
Manchmal vereinbart man auch monatliche Verzinsung, das ist hier unten erklärt.



2.2. Zinsformel für Berechnung des Anfangskapitals K

 K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% 

Beispiel Kapital K für ein Jahr berechnen

Wenn wir bei einem Zinssatz von 3 % nach einem Jahr 60 € bekommen wollen, rechnen wir also: 60 € / 3 * 100 = 2.000 €.

2.3. Zinsformel für Berechnung des Zinssatzes p

 p = \frac{Z}{K} \cdot 100\% 

Beispiel Zinssatz p für ein Jahr berechnen

Nun wollen wir wissen, mit welchem Zinssatz p wir 2.000 € für ein Jahr sparen müssen, um 60 € Zinsen Z zu bekommen. Wir rechnen also:

 p = \frac{Z}{K} \cdot 100\%  

 = \frac{60€}{2000€} \cdot 100\% = 3\% 

Der Zinsatz beträgt also 3 %.


3. Zinsformeln für monatliche und tägliche Verzinsung

Wenn man Geld nur ein paar Monate spart, muss man wissen, wie viel Zinsen man pro Monat bekommt. Also einfach das Ergbnis der Zinsformel durch 12 dividieren. Dann kann man mit der Anzahl der Monate multiplizieren. Das gleiche macht man, wenn man nur für ein paar Tage Geld leiht. Dazu hier die Formeln:

Hier noch einmal die Zinsformeln für jährliche Verzinsung:

 Z = K \cdot \frac{p}{100\%}  

  K = \frac{Z}{p} \cdot 100\%  

  p = \frac{Z}{K} \cdot 100\% 

3.1.1. Zinsen nach Monaten berechnen

Hierzu müssen wir die Formel wie folgt ergänzen:
m bedeutet hierbei Zeit in Monaten

 Z = K \cdot \frac{p}{100\%}  \cdot \frac{m}{12 Monate}  

3.1.2. Zinsen nach Tagen berechnen

Hierzu müssen wir die Formel wie folgt ergänzen:
t bedeutet hierbei Zeit in Tagen

 Z = K \cdot \frac{p}{100\%} \cdot \frac{t}{360 Tage} 

Das gleiche kann man natürlich mit den anderen Zinsformeln machen. Dazu muss man die Formeln umstellen. Wie man dabei vorgeht, habe ich in dem Beitrag Formelumstellung  erklärt.

3.2.1. Kapital nach Monaten berechnen

 K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% \cdot \frac{12 Monate}{m} 

3.2.1. Kapital nach Tagen berechnen

 K = \frac{Z}{p} \cdot 100\%  \cdot \frac{360 Tage}{t} 

Geldbeträge rundet man dabei auf 2 Stellen hinter dem Komma.

3.3.1. Zinssatz nach Monaten berechnen

 p = \frac{Z}{K} \cdot 100\%  \cdot \frac{12 Monate}{m}

3.3.2. Zinssatz nach Tagen berechnen

 p = \frac{Z}{K} \cdot 100\%  \cdot \frac{360 Tage}{t}

3.4. Zeit berechnen

3.4.1. Zinsmonate berechnen

Unterjährige Verzinsung bedeutet, das Geld wird für weniger als ein Jahr angelebt bzw. geliehen. Bei einer Verzinsung von mehr als einem Jahr rechnet man dagegen mit Zinseszinsen.

Weil wir die Zeit in Monaten oder Tagen in den Formeln haben, können wir auch diese Zeit errechnen. Dazu müssen wir die Formeln wieder umstellen, siehe Formelumstellung.
m bedeutet hierbei Monate

 m = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 12 Monate 

3.4.2. Zinstage berechnen

t bedeutet hierbei Tage

 t = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 360 Tage 




4. Beispiele zur Berechnung der Zinsen

Berechnung der Jahreszinsen

Wenn man wissen will, wie viel Zinsen ein Kapital von 850 € bei einer jährlichen Verwzinsung von 5% am Ende des Jahres ergibt, braucht man diese Formel:
K = 850 € , p = 5%

 Z = K \cdot \frac{p}{100\%}    = 850€ \cdot \frac{5\%}{100\%} = 42,50€ 

Am Ende des Jahres betragen die Zinsen also 42,50 €

Berechnung der Zinsen nach Monaten

Wenn wir ein Kapital von 1200 € bei einer Verzinsungvon 4,3% nur 7 Monaten anlegen, rechnen wir:
p = 4,3 %, K = 1200 €

 Z = K \cdot \frac{p}{100\%}  \cdot \frac{m}{12 Monate} 
                       
  = 1200€ \cdot \frac{4,3\%}{100\%} \cdot \frac{7}{12 Monate}= 30,10€ 

Die Zinsen nach 7 Monaten betragen also 30,10 €.

Berechnung der Zinsen nach Tagen

Wie viel Zinsen bringt ein Kapital von 950 € bei einer Verzinsungvon 5,1% nach 300 Tagen?
p = 5,1%, K = 950 €, t = 300 Tage

 Z = K \cdot \frac{p}{100\%}  \cdot \frac{t}{360 Tage} 
                       
  = 950€ \cdot \frac{5,1\%}{100\%} \cdot \frac{300 Tage}{360 Tage} = 40,38€ 

Die Zinsen nach 300 Tagen betragen also 40,38 €.




Berechnung des Kapitals

Beispiel: Berechnung des Kapitals bei jährlicher Verzinsung

Eine Bank bietet ein Sparbuch mit 4% Zinsen jährlich an. Wie viel muss Herr Neureich anlegen, wenn er im Jahr 2400 € Zinsen erhalten will?
p = 4%, Z = 2400€, K = ?

 K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% = \frac{2400€}{4\%} \cdot 100\% = 60000€ 

Herr Neureich muss also 60000 € zu 4% anlegen, um jährlich 2400 € Zinsen zu erhalten.

Beispiel: Berechnung des Kapitals bei unterjähriger Verzinsung nach Monaten

Laura hat Geld zu 4,8% für 9 Monaten angelegt und erhält 230,40 € Zinsen. Welchen Betrag hatte sie angelegt?
p = 4,8%, Z = 230,40€, m = 9 Monate, K = ?

 K = \frac{Z}{p} \cdot 100\%  \cdot \frac{12 Monate}{m} 
  
 = \frac{230,40€}{4,8\%} \cdot 100\% \cdot \frac{12 Monate}{9 Monate}
   
  = 6400€ 

Laura hatte also einen Betrag von 6400 € angelegt.

Beispiel: Berechnung des Kapitals bei unterjähriger Verzinsung nach Tagen

Frau Blank nimmt für 13,5% Jahreszinsen bei der Zockerbank einen Kredit auf. Nach 155 Tagen zahlt sie den Kredit zurück. Die Bank berechnet ihr 581,25 € Zinsen. Wie hoch war der Kredit?
p = 413,5%, Z = 581,25€, t = 155 Tage, K = ?

 K = \frac{Z}{p} \cdot 100\%  \cdot \frac{360 Tage}{t} 
  
 = \frac{581,25€}{13,5\%} \cdot 100\% \cdot \frac{360 Tage}{155 Tage}
   
  = 10000€ 

Die Kredithöhe betrug also 10.000 €.


Berechnung des Zinssatzes

Beispiel: Berechnung des Zinssatzes bei jährlicher Verzinsung

Frau Kaufrausch muss für einen Kredit in Höhe von 18 000 € jährlich Zinsen in Höhe von 792 € zahlen. Welchen Zinssatz berechnet die Bank dafür?
K = 18000, Z = 792 €, p = ?

 p = \frac{Z}{K} \cdot 100\% 
  
  = \frac{792€}{18000€} \cdot 100\% 
  
  = 4,4\%

Der Zinssatz bei jährlicher Verzinsung beträgt also 4,4%

Beispiel: Berechnung des Zinssatzes bei unterjähriger Verzinsung nach Monaten

Familie Ungeduld finanziert eine Einbauküche für 13200 € über einen Kredit. Nach 5 Monaten wird der Kredit plus 577,50 € Zinsen zurückgezahlt. Zu welchem Zinssatz wurde der Kredit vergeben?
Dazu muss die Formel nach der Größe Zinssatz (p) umgestellt werden, siehe unten.
K = 13200 €, Z = 577,50 €, m = 5 Monate, p = ?

 p = \frac{Z}{K} \cdot 100\%  \cdot \frac{12 Monate}{m}
  
  = \frac{577,50€}{13200€} \cdot 100\% \cdot \frac{12 Monate}{5 Monate}
  
  = 10,5\%

Der Kredit wurde also zu einem Zinssatz von 10,5% vergeben.

Beispiel: Berechnung des Zinssatzes bei unterjähriger Verzinsung nach Tagen

Für eine geplante Urlaubsreise legt Gerd 2100 € für 288 Tage auf ein Tagesgeldkonto an. Nach Ablauf der Zeit erhält er 73,92 € Zinsen. Wie hoch war der Zinssatz?
K = 2100, Z = 73,92, t = 288 Tage, p= ?

 p = \frac{Z}{K} \cdot 100\%  \cdot \frac{360 Tage}{t}
  
  = \frac{73,92€}{2100€} \cdot 100\% \cdot \frac{360 Tage}{288 Tage}
  
  = 4,4\%

Der Zinssatz für das Tagesgeldkonto betrug also 4,4%.


Berechnung der Verzinsungszeit

Weil wir die Zeit in Monaten oder Tagen in den Formeln haben, können wir auch diese Zeit errechnen. Dazu müssen wir die Formeln wieder umstellen, siehe Formelumstellung.

Beispiel: Berechnung der Zinsmonate bei unterjähriger Verzinsung

Zu dem bestandenem Examen erhielt Mona von ihrer Tante ein Sparbuch mit 1200 € und einer Verzinsung von 2,1%. Einige Monate später, vor Ablauf eines Jahres, löst Mona das Sparbuch jedoch auf, um mit dem Geld eine Urlaubsreise zu finanzieren. Die Bank schreibt ihr 14,70 € Zinsen gut. Wie viele Monate befand sich das Geld auf dem Sparbuch?
K = 1200, Z = 14,70, p = 2,1%, m = ?

 m = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 12 Monate 
   
  = \frac{14,70€}{1200€} \cdot \frac{100\%}{2,1\%} \cdot 12 Monate 
  
  = 7 Monate 

Das Geld befand sich also 7 Monate auf dem Sparbuch.

Beispiel: Berechnung der Zinstage bei unterjähriger Verzinsung

Ein Kapital von 19 200 € war zu 4,5% ausgeliehen. Es brachte vor Ablauf eines Jahres 249,60 € Zinsen. Berechne, wie viel Tage das Kapital ausgeliehen war!
K = 19200€, p = 4,5%, Z = 249,60€, t = ?

 t = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 360 Tage 
   
  = \frac{249,60€}{19200€} \cdot \frac{100\%}{4,5\%} \cdot 360 Tage 
  
  = 104 Tage

Das Kapital war also 104 Tage zu einem jährlichen Zinssatz von 4,5% angelegt.


Zusammenstellung aller Formeln.

Berechnung der Zinsen

  • Zinsen nach einem Jahr
     Z = K \cdot \frac{p}{100\%} 
  • nach Monaten
     Z = K \cdot \frac{p}{100\%}  \cdot \frac{m}{12 Monate}  
  • nach Tagen
     Z = K \cdot \frac{p}{100\%} \cdot \frac{t}{360 Tage} 

Berechnung des Anfangskapitals

  • Anfangskapital bei einer jährlichen Verzinsung
     K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% 
  • bei einer Verzinsung von m Monaten
     K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% \cdot \frac{12 Monate}{m} 
    
    
  • bei einer Verzinsung von t Tagen
     K = \frac{Z}{p} \cdot 100\%  \cdot \frac{360 Tage}{t} 
    

Berechnung des Zinssatzes

  • Zinssatz bei einer jährlichen Verzinsung
     p = \frac{Z}{K} \cdot 100\% 
  • bei einer Verzinsung von m Monaten
     p = \frac{Z}{K} \cdot 100\%  \cdot \frac{12 Monate}{m}
    
  •  bei einer Verzinsung von t Tagen
     p = \frac{Z}{K} \cdot 100\%  \cdot \frac{360 Tage}{t}
    

Berechnung der Verzinsungszeit

Zinsmonate bei unterjähriger Verzinsung

 m = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 12 Monate 

Zinstage bei unterjähriger Verzinsung

 t = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 360 Tage 

Wenn man die Formelumstellung kennt, braucht man sich nur 3 Formeln zu merken.

Aufgaben einfache Zinsrechnung nur für ein ganzes Jahr rechnen

Aufgaben Zinsrechnung auch für Monate und Tage rechnen

Aufgaben Zinsrechnung III

Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Zinsrechnung und zu anderen mathematischen Grundlagen.

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