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Mathematik Sekundarstufe 1 Zinsrechnung

Zinsrechnung

Einführung in die Zinsrechnung

Wenn du Zinsrechnung endlich verstehen willst, bist du auf dieser Seite richtig. Hier findest du eine einfache Einführung in die Zinsrechnung inklusive ausführlicher Beispiele.

Als erstes klären wir, was Zinsen überhaupt sind und wofür man sie braucht. Dann zeige ich dir die Formeln, die du für die Zinsrechnung brauchst und erkläre dir, wann welche Formel am besten passt. Natürlich schauen wir uns zu jeder Formel auch konkrete Beispiele an. Am Ende des Beitrags findest du noch einmal alle Formeln als Übersicht.

  1. Was sind Zinsen und wofür braucht man sie?
  2. Zinsformeln für Berechnung der Zinsen Z für ein Jahr
  3. Zinsformeln für monatliche und tägliche Verzinsung
  4. Beispiele zur Berechnung der Zinsen
  5. Beispiele zur Berechnung des Kapitals
  6. Beispiele zur Berechnung des Zinssatzes
  7. Berechnung der Verzinsungszeit
  8. Zusammenstellung aller Formeln

1. Was sind Zinsen und wofür braucht man sie? Definitionen

Zinsen sind der Preis, den man für das Leihen von Geld bezahlen muss.
Das bedeutet, wenn du dir Geld leihst, musst du dafür Zinsen zahlen. Im umgekehrten Fall, also wenn du Geld auf einem Sparbuch o.ä. bei der Bank sparst, bekommst du Zinsen von der Bank.

Dabei nennt man das Geld Kapital K und den Geldbetrag, den man bekommt oder zahlen muss, nennt man Zinsen Z.

Wie hoch die Zinsen sind, die man bekommt oder bezahlen muss, hängt von der Verzinsung ab.
Die Höhe der Verzinsung wird in Prozent berechnet, also z.B. 5%. Diesen Wert nennt man Prozentsatz p.

Wenn man sich Geld leiht, muss man Zinsen zahlen. Wenn man dagegen Geld spart, bekommt man Zinsen von der Bank.
Das Geld nennt man dabei Kapital K.
Den Geldbetrag, den man fürs Sparen bekommt, nennt man Zinsen Z.
Die Höhe der Verzinsung wird in Prozent berechnet, also z. B. 5 %. Das nennt man Zinssatz p.

Deshalb brauchen wir die Prozentrechnung. Das ist hier mit vielen Beispielen erklärt: Prozentrechnen einfach erklärt.

Fassen wir zusammen:

Der Grundwert G entspricht dem Kapital K.
Der Prozentwert W entspricht den Zinsen Z.
Der Prozentsatz p entspricht dem Zinssatz p.

Was uns jetzt noch fehlt, um losrechnen zu können, sind die passenden Formeln. Diese erkläre ich dir in den folgenden Abschnitten.

2. Zinsformeln für Berechnung der Zinsen Z für ein Jahr:

2.1 Zinsformel für Berechnung der Zinsen

Wenn du die Zinsen berechnen willst, brauchst du diese Formel:

Z = K \cdot \frac{p}{100\%}

Beispiel:
Zinsen Z für ein Jahr berechnen

Wenn man sich 2.000 € zu 3 % für ein Jahr leiht, rechnet man also: 2000 € \cdot \frac{3}{100 \%} = 60 €

💡Tipp:
Zinsformeln umstellen und so nur eine Zinsformel merken!

Du brauchst dir eigentlich nur diese Formel zu merken und sie je nachdem, wonach du suchst, umzustellen.
Wie man Formeln ganz einfach umstellt, kannst du hier nachlesen.

Warum werden Zinsen meist für ein Jahr gerechnet?

In unserem Beispiel fallen im ersten Jahr 60 € Zinsen an. Das bedeutet, dass man nach dem ersten Jahr mit 2.060 € rechnen muss. Damit man das nicht jedes Jahr addieren muss, gibt es Zinseszinsformeln. Die sind hier erklärt: Zinseszinsrechnung.
Manchmal vereinbart man auch monatliche Verzinsung, das ist hier erklärt.



2.2 Zinsformel für Berechnung des Anfangskapitals K

Wenn du das Anfangskapital berechnen willst, brauchst du diese Formel:

K = \frac{Z}{p} \cdot 100\%

Beispiel:
Kapital K für ein Jahr berechnen

Wenn wir bei einem Zinssatz von 3 % nach einem Jahr 60 € bekommen wollen, rechnet man also: \frac{60 €}{3} \cdot 100 \% = 2000 €

2.3 Zinsformel für Berechnung des Zinssatzes p

Wenn du den Zinssatz berechnen willst, brauchst du diese Formel:

p = \frac{Z}{K} \cdot 100\%

Beispiel:
Zinssatz p für ein Jahr berechnen

Nun wollen wir wissen, mit welchem Zinssatz p wir 2.000 € für ein Jahr sparen müssen, um 60 € Zinsen Z zu bekommen. Wir rechnen also:

p = \frac{Z}{K} \cdot 100\% = \frac{60€}{2000€} \cdot 100\% = 3\%

Der Zinsatz beträgt also 3 %.


3. Zinsformeln für monatliche und tägliche Verzinsung

Wenn man Geld nur ein paar Monate spart, muss man wissen, wie viel Zinsen man pro Monat bekommt. Man kann also einfach das Ergebnis der Zinsformel durch 12 dividieren. Dann kann man mit der Anzahl der Monate, in denen man gespart hat, multiplizieren.
Das gleiche macht man, wenn man nur für ein paar Tage Geld leiht. Dazu hier die Formeln:

Hier noch einmal zur Übersicht die Zinsformeln für jährliche Verzinsung:
Z = K \cdot \frac{p}{100\%}
K = \frac{Z}{p} \cdot 100\%
p = \frac{Z}{K} \cdot 100\%

3.1 Zinsformeln für Berechnung der Zinsen nach Monaten und Tagen

3.1.1. Zinsen nach Monaten berechnen

Um die Zinsen nach Monaten zu berechnen, müssen wir die Formel um die Zeiteinheit Monate m ergänzen. Und das geht so:

Z = K \cdot \frac{p}{100\%} \cdot \frac{m}{12 Monate}

m bedeutet hierbei Zeit in Monaten

3.1.2 Zinsen nach Tagen berechnen

Auch hier müssen wir unsere Formel um eine Zeiteinheit ergänzen, und zwar um die Zeit in Tagen. Dann sieht unsere Formel wie folgt aus:

Z = K \cdot \frac{p}{100\%} \cdot \frac{t}{360 Tage}

t bedeutet hierbei Zeit in Tagen

💡 Das gleiche kann man natürlich mit den anderen Zinsformeln machen. Dazu muss man die Formeln umstellen. Wie man Formeln ganz einfach umstellen kann, kannst du im Beitrag Formelumstellung nachlesen.

3.2 Zinsformeln für Berechnung des Anfangskapitals K nach Monaten und Tagen

3.2.1 Kapital nach Monaten berechnen

Um das Kapital nach Monaten zu berechnen, musst du mit folgender Formel rechnen:

K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% \cdot \frac{12 Monate}{m}

3.2.2 Kapital nach Tagen berechnen

Wenn du stattdessen das Kapital nach Tagen berechnen möchest, brauchst du diese Formel:

K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% \cdot \frac{360 Tage}{t}

Geldbeträge rundet man dabei auf 2 Stellen hinter dem Komma.

3.3 Zinsformeln für Berechnung des Zinssatzes p nach Monaten und Tagen

3.3.1 Zinssatz nach Monaten berechnen

Um den Zinssatz nach Monaten zu berechnen, benötigst du diese Formel:

p = \frac{Z}{K} \cdot 100\% \cdot \frac{12 \, Monate}{m}

3.3.2. Zinssatz nach Tagen berechnen

Wenn du den Zinssatz stattdessen nach Tagen berechnen möchtest, hilft dir diese Formel weiter:

p = \frac{Z}{K} \cdot 100\% \cdot \frac{360 \, Tage}{t}

3.4. Zeit berechnen

Wenn Geld für weniger als ein Jahr angelegt oder geliehen wird, spricht man von unterjähriger Verzinsung.
Wir können ganz leicht die Dauer der Verzinsung – also die Zeit, in der das Geld angelegt oder geliehen wird – berechnen, weil wir ja schon die Zeit in Monaten oder Tagen in den Formeln haben. Dazu müssen wir unsere Formeln nur umstellen.

💡 Wie man Formeln ganz einfach umstellen kann, kannst du im Beitrag Formelumstellung nachlesen.

Meistens legt man Geld aber für mehr als ein Jahr an oder leiht sich Geld für mehr als ein Jahr. Dann rechnet man mit Zinseszinsen. Im Beitrag Zinseszinsen kannst du nachlesen, wie das geht.

3.4.1 Zinsmonate berechnen

Um die Dauer in Monaten zu berechnen, brauchst du diese Formel:

m = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 12 \, Monate

m bedeutet hierbei Monate

3.4.2 Zinstage berechnen

Willst du stattdessen die Dauer in Tagen berechnen, musst du mit dieser Formel rechnen:

t = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 360 \, Tage

t bedeutet hierbei Tage




4. Beispiele zur Berechnung der Zinsen

Beispiel:
Berechnung der Jahreszinsen

Wenn man wissen will, wie viel Zinsen ein Kapital von 850 € bei einer jährlichen Verzinsung von 5% am Ende des Jahres ergibt, braucht man diese Formel:
Z = K \cdot \frac{p}{100\%}

Mit den Werten K = 850 € und p = 5% ergibt sich folgende Rechnung:
Z = 850€ \cdot \frac{5\%}{100\%} = 42,50€

Am Ende des Jahres betragen die Zinsen also 42,50 €

Beispiel:
Berechnung der Zinsen nach Monaten

Wenn wir ein Kapital von 1200 € bei einer Verzinsung von 4,3% nur 7 Monate anlegen, rechnen wir mit dieser Formel:
Z = K \cdot \frac{p}{100\%} \cdot \frac{m}{12 \, Monate}

Mit den Werte p = 4,3 % und K = 1200 € ergibt sich folgende Rechnung:
Z = 1200€ \cdot \frac{4,3\%}{100\%} \cdot \frac{7}{12 \, Monate}= 30,10€

Die Zinsen, die man nach 7 Monaten bekommt, betragen also 30,10 €.

Beispiel:
Berechnung der Zinsen nach Tagen

Wie viel Zinsen bringt ein Kapital von 950 € bei einer Verzinsung von 5,1% nach 300 Tagen?

Gegeben: p = 5,1%, K = 950 €, t = 300 Tage
Gesucht: Z

Z = K \cdot \frac{p}{100\%} \cdot \frac{t}{360 Tage}
= 950€ \cdot \frac{5,1\%}{100\%} \cdot \frac{300 Tage}{360 \, Tage} = 40,38€

Die Zinsen nach 300 Tagen betragen also 40,38 €.




5. Beispiele zur Berechnung des Kapitals

Beispiel:
Berechnung des Kapitals bei jährlicher Verzinsung

Eine Bank bietet ein Sparbuch mit 4% Zinsen jährlich an. Wie viel muss Herr Neureich anlegen, wenn er pro Jahr 2400 € Zinsen erhalten will?

Gegeben: p = 4%, Z = 2400€, K = ?
Gesucht: K
K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% = \frac{2400€}{4\%} \cdot 100\% = 60000€

Herr Neureich muss also 60000 € zu 4% anlegen, um jährlich 2400 € Zinsen zu erhalten.

Beispiel:
Berechnung des Kapitals bei unterjähriger Verzinsung nach Monaten

Laura hat ihr Geld zu einem Zinssatz von 4,8% für 9 Monate angelegt und erhält dafür 230,40 € Zinsen. Welchen Betrag hatte sie angelegt?

Gegeben: p = 4,8%, Z = 230,40€, m = 9 Monate
Gesucht: K

K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% \cdot \frac{12 \, Monate}{m}
= \frac{230,40€}{4,8\%} \cdot 100\% \cdot \frac{12 Monate}{9 \, Monate}
= 6400€

Laura hatte also einen Betrag von 6400 € angelegt.

Beispiel:
Berechnung des Kapitals bei unterjähriger Verzinsung nach Tagen

Frau Blank nimmt für 13,5% Jahreszinsen bei der Zockerbank einen Kredit auf. Nach 155 Tagen zahlt sie den Kredit zurück. Die Bank berechnet ihr 581,25 € Zinsen. Wie hoch war der Kredit?

Gegeben: p = 413,5%, Z = 581,25€, t = 155 Tage
Gesucht: K

K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% \cdot \frac{360 \, Tage}{t}
= \frac{581,25€}{13,5\%} \cdot 100\% \cdot \frac{360 \, Tage}{155 \, Tage}
= 10000€

Die Kredithöhe betrug also 10000 €.


6. Beispiele zur Berechnung des Zinssatzes

Beispiel:
Berechnung des Zinssatzes bei jährlicher Verzinsung

Frau Kaufrausch muss für einen Kredit in Höhe von 18000 € jährlich Zinsen in Höhe von 792 € zahlen. Welchen Zinssatz berechnet die Bank dafür?

Gegeben: K = 18000, Z = 792 €
Gesucht: p

p = \frac{Z}{K} \cdot 100\%
= \frac{792€}{18000€} \cdot 100\%
= 4,4\%

Der Zinssatz bei jährlicher Verzinsung beträgt also 4,4%.

Beispiel:
Berechnung des Zinssatzes bei unterjähriger Verzinsung nach Monaten

Familie Ungeduld finanziert eine Einbauküche für 13200 € über einen Kredit. Nach 5 Monaten wird der Kredit plus 577,50 € Zinsen zurückgezahlt. Zu welchem Zinssatz wurde der Kredit vergeben?

Gegeben: K = 13200 €, Z = 577,50 €, m = 5 Monate
Gesucht: p

p = \frac{Z}{K} \cdot 100\% \cdot \frac{12 \, Monate}{m}
= \frac{577,50€}{13200€} \cdot 100\% \cdot \frac{12 Monate}{5 \, Monate}
= 10,5\%

Der Kredit wurde also zu einem Zinssatz von 10,5% vergeben.

Beispiel:
Berechnung des Zinssatzes bei unterjähriger Verzinsung nach Tagen

Für eine geplante Urlaubsreise legt Gerd 2100 € für 288 Tage auf einem Tagesgeldkonto an. Nach Ablauf der Zeit erhält er 73,92 € Zinsen. Wie hoch war der Zinssatz?

Gegeben: K = 2100, Z = 73,92, t = 288 Tage
Gesucht: p

p = \frac{Z}{K} \cdot 100\% \cdot \frac{360 Tage}{t}
= \frac{73,92€}{2100€} \cdot 100\% \cdot \frac{360 Tage}{288 Tage}
= 4,4\%

Der Zinssatz für das Tagesgeldkonto betrug also 4,4%.


7. Beispiele zur Berechnung der Verzinsungszeit

Beispiel:
Berechnung der Zinsmonate bei unterjähriger Verzinsung

Zu ihrem bestandenen Examen hat Mona von ihrer Tante ein Sparbuch mit 1200 € und einer Verzinsung von 2,1% bekommen. Schon einige Monate später, also vor Ablauf eines Jahres, löst Mona das Sparbuch jedoch auf, um mit dem Geld eine Urlaubsreise zu finanzieren. Die Bank schreibt ihr 14,70 € Zinsen gut. Wie viele Monate befand sich das Geld auf dem Sparbuch?

Gesucht: K = 1200, Z = 14,70, p = 2,1%
Gegeben: m

m = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 12 Monate
= \frac{14,70€}{1200€} \cdot \frac{100\%}{2,1\%} \cdot 12 Monate
= 7 Monate

Das Geld befand sich also 7 Monate auf dem Sparbuch.

Beispiel:
Berechnung der Zinstage bei unterjähriger Verzinsung

Ein Kapital in Höhe von 19200 € war zu einem Zinssatz von 4,5% ausgeliehen. Es brachte vor Ablauf eines Jahres 249,60 € Zinsen ein. Berechne, wie viele Tage das Kapital ausgeliehen war!

Gegeben: K = 19200€, p = 4,5%, Z = 249,60€
Gesucht: t

t = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 360 Tage
= \frac{249,60€}{19200€} \cdot \frac{100\%}{4,5\%} \cdot 360 Tage
= 104 Tage

Das Kapital war also 104 Tage zu einem jährlichen Zinssatz von 4,5% angelegt.


8. Zusammenstellung aller Formeln.

Berechnung der Zinsen

  • Zinsen nach einem Jahr:
    Z = K \cdot \frac{p}{100\%}
  • nach Monaten:
    Z = K \cdot \frac{p}{100\%} \cdot \frac{m}{12 Monate}
  • nach Tagen:
    Z = K \cdot \frac{p}{100\%} \cdot \frac{t}{360 Tage}

Berechnung des Anfangskapitals

  • Anfangskapital bei einer jährlichen Verzinsung:
    K = \frac{Z}{p} \cdot 100\%
  • bei einer Verzinsung von m Monaten:
    K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% \cdot \frac{12 Monate}{m}
  • bei einer Verzinsung von t Tagen:
    K = \frac{Z}{p} \cdot 100\% \cdot \frac{360 Tage}{t}

Berechnung des Zinssatzes

  • Zinssatz bei einer jährlichen Verzinsung:
    p = \frac{Z}{K} \cdot 100\%
  • bei einer Verzinsung von m Monaten:
    p = \frac{Z}{K} \cdot 100\% \cdot \frac{12 Monate}{m}
  • bei einer Verzinsung von t Tagen:
    p = \frac{Z}{K} \cdot 100\% \cdot \frac{360 Tage}{t}

Berechnung der Verzinsungszeit

  • Zinsmonate bei unterjähriger Verzinsung:
    m = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 12 Monate
  • Zinstage bei unterjähriger Verzinsung:
    t = \frac{Z}{K} \cdot \frac{100\%}{p} \cdot 360 Tage

💡Tipp:
Zinsformeln umstellen und so nur eine Zinsformel merken!

Das bedeutet, du brauchst dir eigentlich nur diese Formel zu merken und sie je nachdem, wonach du suchst, umzustellen.
Wie man Formeln ganz einfach umstellt, kannst du hier nachlesen.

Aufgaben einfache Zinsrechnung nur für ein ganzes Jahr rechnen

Aufgaben Zinsrechnung auch für Monate und Tage rechnen

Aufgaben Zinsrechnung III

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