In diesem Beitrag gebe ich eine Einführung in die Vektorrechnung. Zuerst definiere ich die Begriffe Skalar, freier Vektor, liniengebundener Vektor und ortsgebundener Vektor. Danach erkläre ich die Addition und Subtraktion von Vektoren. Anschließend zeige ich anhand einiger Anwendungsbeispiele, wie man zeichnerisch Vektoren addiert. Zuletzt zeige ich, wie man den Kosinus- und Sinussatz als Hilfsmittel für Vektorberechnungen einsetzen kann.
Definition Skalar
In Naturwissenschaft und Technik wird vieles zum Beispiel mit Länge, Masse, Arbeit, Energie, Zeit, Temperatur und Potential gemessen. Diese Größen können auf einer Skala dargestellt werden und heißen deshalb skalare Größen oder Skalare.
Definition Vektor
Darüberhinaus gibt es Größen, die zu ihrer eindeutigen Bestimmung zusätzlich noch eine Richtung benötigen. Diese werden vektorielle Größen oder Vektoren genannt. Zum Beispiel sind Geschwindigkeit und Beschleunigung solche Größen. Vektoren werden durch Pfeile dargestellt. Die Pfeillänge bestimmt dabei den Betrag des Vektors, die Richtung des Pfeils bestimmt die Richtung des Vektors. Somit ist ein Vektor im Vergleich zu einem Skalar eine gerichtete Größe.
Weiterhin unterscheiden wir freie Vektoren, liniengebundene Vektoren und ortsgebundene Vektoren.
Definition freier Vektor
Ein freien Vektors darf entlang seiner Wirkungslinie und parallel im Raum verschoben werden. Vektoren von gleicher Länge und gleicher Richtung sind einander gleich. In der Zeichnung sehen Sie die mathematische Schreibweise dazu.
\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a und \overrightarrow {CD} = \overrightarrow b \\
\overline {AB} = | \overrightarrow a | = a
\overline {CD} = | \overrightarrow b | = b
Definition liniengebundener Vektor
Die Kraft, die an einem Körper angreift, stellt einen liniengebundenen Vektor dar. Dieser darf entlang seiner Wirkungslinie beliebig verschoben werden, nicht aber parallel dazu.
Definition ortsgebundener Vektor
Dieser wird auch auch Ortsvektor genannt, hat einen festen Angriffspunkt und darf nicht verschoben werden.
Vektorrechnung: Addition und Subtraktion
Wenn wir einen Vektor \overrightarrow b zu einem Vektor \overrightarrow a addieren. Mit anderen Worten: Den Vektor \overrightarrow b parallel zu sich selbst so zu verschieben, dass sein Anfangspunkt auf den Endpunkt des Vektors \overrightarrow a fällt.
Die Verbindung des Anfangspunktes von \overrightarrow a mit dem Endpunkt von \overrightarrow b ergibt den Summenvektor \overrightarrow c
Addition zweier Vektoren
Für die Addition zweier Vektoren gilt das Kommutativgesetz. Das heißt, man kann die beiden Vektoren vertauschen. \overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a
Bei der Addition von drei Vektoren müssen diese nicht in einer Ebene liegen. Jeder der drei Vektoren ist eine gerichtete Strecke im Raum. Dabei können die drei Vektoren ein räumliches Gebilde aufspannen. Es gilt das Assoziativgesetz. Das heißt, die Klammern kann man beliebig setzten:
(\overrightarrow a + \overrightarrow b) + \overrightarrow c
= \overrightarrow a + (\overrightarrow b + \overrightarrow c) \\ = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c
Zwei betragsgleiche Vektoren mit entgegengesetzter Richtung heißen Gegenvektoren. Wenn man diese addiert, erhält man als Summe einen Vektor, dessen Anfangspunkt mit seinem Zielpunkt zusammenfällt. Da der Betrag dieses Summenvektors Null ist, heißt er Nullvektor. Er hat keine bestimmte Richtung.
\overrightarrow a + (- \overrightarrow a) = \overrightarrow 0
Subtraktion von Vektoren
Die Vektorsubtraktion kann man auf die Vektoraddition zurückgeführenn. Das heißt, ein Vektor wird subtrahiert, indem man den Gegenvektor addiert.
Anwendungsbeispiele zur Vektorrechnung
Beispiel 1: Vektoraddition zeichnerisch
An einem Stromverteilermast greifen in einem Punkt 4 Kräfte an, die in einer Ebene liegen sollen. Zeichnerisch können wir den Betrag und die Richtung der Resultierenden bestimmen. Ich arbeite mit einem Zeichenmaßstab: 1 cm entspricht 100 N.
Hier die Aufgabenstellung:
Und hier die zeichnerische Lösung:
\overrightarrow R = \overrightarrow F_1 + \overrightarrow F_2 + \overrightarrow F_3 + \overrightarrow F_4
\Rightarrow | \overrightarrow R | = 220N und \measuredangle (\overrightarrow F_1, \overrightarrow R) = - 42°
Der Betrag der Resultierenden beträgt 220 N. Das bedeutet, an dem Verteilermast wirkt eine Restkraft von 220 N.
Die Wirkungsrichtung in Bezug auf \overrightarrow F_1 beträgt deshalb -42° oder 318°.
Bemerkung: Gegen den Uhrzeigersinn (links herum) zählt man Winkel von der Bezugsgeraden ausgehend positiv, im Uhrzeigersinn (rechts herum) hingegen negativ.
Die zeichnerische Lösung ist immer nur eine Näherungslösung. Denn sie ist nur so genau, wie gezeichnet werden kann. In einem weiteren Beitrag erkläre ich die Rechengesetze für Vektoren. Diese liefert exakte Ergebnisse.
Beispiel 2:
Gesucht ist die Entfernung des Halbierungspunktes E der Strecke \overline {DB} vom Punkt A, wenn B der Endpunkt des Vektors \overrightarrow {AB} und D der Endpunkt des Vektors \overrightarrow {AD} ist. Außerdem gehen die Vektoren \overrightarrow {AB} und \overrightarrow {AD} vom Punkt A aus.
Lösung:
Damit ist bewiesen, dass im Parallelogramm die Diagonalen durch ihren Schnittpunkt halbiert werden.
Kosinus- und Sinussatz als Hilfsmittel bei der Vektorrechnung
Für die Vektorrechnung brauchen wir diese beiden Sätze. Deshalb stellte ich sie hier kurz vor.
Kosinussatz:
In jedem Dreieck lässt sich das Quadrat einer Seite aus den beiden anderen Seiten und deren eingeschlossenem Winkel berechnen.
Sinussatz:
In jedem Dreieck ist das Verhältnis von Seitenlänge zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels für alle Seiten dasselbe:
Beispiel zum Kosinus- und Sinussatz in der Vektorrechnung:
Nach dem Sinussatz gilt:
Zusammenfassung Vektorrechnung:
1. Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im Raum.
2. Vektoren sind gleich, wenn sie in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen.
3. Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt des einen Vektors an die Spitze des anderen setzt.
Der Summenvektor \overrightarrow a + \overrightarrow b zeigt dann vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des zweiten Vektors.
4. Vektor und Gegenvektor haben den gleichen Betrag und die gleiche Richtung, aber entgegengesetzte Orientierung.
5. Den Differenzvektor \overrightarrow c = \overrightarrow b - \overrightarrow a erhält man, indem man zu \overrightarrow b den Gegenvektor von a addiert: \overrightarrow b - \overrightarrow a = \overrightarrow b + (- \overrightarrow a)
Hier findest du Aufgaben Addition und Subtraktion von Vektoren.
Und hier eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Vektorrechnung.
