Rechengesetze für Vektoren in Koordinatendarstellung

Rechengesetze für Vektoren in Koordinatendarstellung

Addition und Subtraktion von Vektoren

Man addiert Vektoren, bzw. subtrahiert sie, indem man die einander entsprechenden Komponenten addiert bzw. subtrahiert, ausführlicher hier.

f_1874

Beispiel:

Gegeben sind die drei Vektoren:

f_1875


Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Bei der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, multipliziert man alle Komponenten des Vektors mit dem Skalar.

f_1876

Beispiel:

Gegeben sind die drei Vektoren:

f_1877

Beispiel:

Der Abstand zweier Punkte P1 und P2 im dreidimensionalen Raum soll bestimmt werden.

des_263

Die Ortsvektoren zu den Punkten sind:

f_1878

Der Betrag des Verbindungsvektors beider Punkte entspricht ihrem Abstand voneinander im dreidimensionalen Raum.

f_1879

Bemerkung: Bei der Indizierung der Koordinaten xij steht der erste Index für den Punkt Pi und der zweite Index für die Koordinatenachse.




Das Skalarprodukt

Siehe auch hier.

Gegeben seien die beiden Vektoren
f_1880
Diese multiplizieren wir zuerst formal miteinander:

f_1881

Beachtet man, dass für zwei senkrecht aufeinanderstehender Vektoren das Skalarprodukt Null und das Quadrat eines Einheitsvektors 1 ist, vereinfacht sich obenstehender Ausdruck sehr.

f_1882

Die Skalarmultiplikation kann man auch mit Spaltenvektoren durchführen:

des_264

Beispiel:

Welchen Winkel schließen beide Vektoren miteinander ein?

f_1883

f_1884

f_1885


Das vektorielle Produkt

Siehe auch hier.

Ähnlich wie beim skalaren Produkt multipliziert man zuerst formal. Danach vereinfacht man. Dazu sollte man sich die Regeln für das Kreuzprodukt noch mal ansehen.
Es gilt:

f_1886

Für die Basisvektoren des kartesichen Koordinatensystems gilt insbesondere:

f_1887

Formale Multiplikation:

f_1888

Den Aufbau der Formel kann man als dreireihige Determinante darstellen. Diese kann man nach der Regel von Sarrus berechnen, so dass sie die Berechnungsformel liefert. Um die Regel von Sarrus anzuwenden, schreibt man zunächst die erste und die zweite Spalte noch einmal hinter die Determinante. Anschließend bildet man alle diagonalen Verbindungen dreier Elemente und zwar 3 mal von links oben nach rechts unten, sowie 3 mal von links unten nach rechts oben. Danach bildet man Produkte dieser jeweils drei Faktoren. Die so entstandenen Produkte fasst man anschließend zu einer Summe zusammen und zwar derart, dass man die Produkte von links oben nach rechts unten positiv und die von links unten nach rechts oben negativ zählen.

 f_1889

des_265
f_1890

Beispiel:

Gegeben sind die Vektoren

f_1891

Das vektorielle Produkt aus beiden Vektoren soll gebildet werden. Das Ergebnis ist mit einer geeigneten Rechnung zu überprüfen.

f_1892

Die Probe kann man mit dem skalaren Produkt durchgeführen. Das Kreuzprodukt beider Vektoren ist ein Vektor, der senkrecht zu der Ebene liegt, die man von den beiden Vektoren aufspannt. Demzufolge muss das skalare Produkt des Ergebnisvektors mit beiden Vektoren den Wert Null ergeben.

f_1893

Beispiel:

Die Eckpunkte A, B und C eines Dreiecks haben die Koordinaten
A( 2 | -4 | 4 ); B( 0 | 3 | 2 ) und C( -4 | -4 | 6 ).
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist zu berechnen. Danach sollte man das Ergebnis ist mit den Formeln der ebenen Trigonometrie überprüfen.
Vorüberlegung: Eine Zeichnung soll die geometrische Darstellung zeigen.
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, der senkrecht zu der Ebene verläuft, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird und dessen Betrag dem Flächeninhalt des Parallelogramms entspricht, das sich aus den beiden Vektoren bilden lässt. Die Diagonalen des Parallelogramms teilen dieses in jeweils zwei deckungsgleiche Dreiecke auf. Damit ist die Dreiecksfläche die Hälfte des Betrages vom Kreuzprodukt.

des_266

Die Ortsvektoren und die Vektoren der Dreiecksseiten werden ermittelt:

f_1894

Die Fläche des eingezeichneten Parallelogramms erhält man über das Kreuzprodukt:

f_1895

Ergebniskontrolle:

des_267

f_1896

f_1897

Die Probe bestätigt die erste Rechnung.




Zusammenfassung

Addition und Subtraktion von Vektoren

f_1898

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

f_1899

Das Skalarprodukt

f_1900

Das vektorielle Produkt

f_1901



Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge und Aufgaben zum Thema Vektorrechnung.

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