Verknüpfung von Aussagen in der Mathematik • 123mathe

In diesem Beitrag stelle ich ein Übersicht der Verknüpfung von Aussagen in der Mathematik zusammen: Konjunktion (und), Disjunktion (oder), Implikation (wenn … dann), Äquivalenz (genau wenn … dann), Negation (nicht). Außerdem stelle ich viele Beispielen und Übungen zur Verfügung. Zuletzt fasse ich alles übersichtlich zusammen.

Konjunktion

„Und“-Verknüpfung (Konjunktion)

Werden Aussagen miteinander verknüpft, so entstehen zusammengesetzte Aussagen, deren Wahrheitsgehalt in der angegebenen Verbindung wieder überprüft werden kann. Hierzu ein Beispiel aus dem Alltag:
Eine Tresor ist durch zwei Schlösser gesichert.
Wie bekommen wir ihn auf? Welche Bedingung muss erfüllt sein?
Die Tresortür lässt sich nur öffnen, wenn beide Schlösser geöffnet werden.
Bedingung: Schloss 1 und Schloss 2 müssen geöffnet sein.

Definition Konjunktion:

Sind zwei Aussagen A₁ und A₂ so miteinander verknüpft, dass die zusammengesetzte Aussage nur dann wahr ist, wenn sowohl A₁ als auch A₂ wahr ist, so heißt diese Verknüpfung Konjunktion.

1. Beispiel:

2. Beispiel:

3. Beispiel:

Merke:

Die Konjunktion zweier Aussagen A₁ und A₂ ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.

Übung:

Gib den Wahrheitsgehalt der Konjunktion an:
a) A: München liegt an der Isar und Köln liegt am Rhein.
b) B: Heute ist Montag und die Sonne scheint.
c) C: Manchmal regnet es und manche Schüler lieben Mathematik.
d) D: 4 ist eine gerade Zahl und größer als 7.

Lösung:

Die „Oder“ – Verknüpfung (Disjunktion)

Der Tresor ist für Unbefugte schon dann nicht zu öffnen, wenn eins der beiden Schlösser geschlossen ist, also Schloss 1 oder Schloss 2. Beide Schlösser erhöhen die Sicherheit.

Definition Disjunktion:

Sind zwei Aussagen A₁ und A₂ so miteinander verknüpft, dass die zusammengesetzte Aussage immer dann wahr ist, wenn entweder die eine oder die andere oder beide Aussagen wahr sind, so heißt diese Verknüpfung Disjunktion.

4. Beispiel:

5. Beispiel:

Merke:

Die Disjunktion zweier Aussagen A₁ und A₂ ist nur dann wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist.

Übung:

Gib den Wahrheitsgehalt der Disjunktion an:
a) A: München liegt an der Isar oder Köln liegt am Rhein.
b) B: Heute ist Montag oder die Sonne scheint.
c) C: Heute regnet es oder manche Schüler lieben Mathematik.
d) D: 4 ist eine gerade Zahl oder größer als 7.

Lösung:

Die Implikation

Verknüpfungszeichen wenn … dann ->

Definition Implikation:

Sind zwei Aussagen A₁ und A₂ so miteinander verknüpft, dass aus der Aussage A₁ die Aussage A₂ logisch folgt, so heißt diese Verknüpfung Implikation.

Merke:

Die Implikation zweier Aussagen A₁ und A₂ ist genau dann falsch, wenn A₁ wahr und A₂ falsch ist. In allen anderen Fällen ist sie wahr.

Die Äquivalenz

Verknüpfungszeichen genau wenn … dann <=>

Definition Äquivalenz:

Die wechselseitige Implikation heißt Bijunktion oder Äquivalenz

Die Wahrheitstafel entspricht der Implikation, dabei können die Aussagen A₁ und A₂ jedoch vertauscht werden. Die Verknüpfung der beiden Aussagen über die Äquivalenz führt genau dann zu einer wahren Aussage, wenn der Wahrheitsgehalt beider Aussagen gleich (äquivalent) ist.