Bei diesen Aufgaben zur Abiturvorbereitung 10 (Stochastik) geht es um Alkoholsünder, bedingte Wahrscheinlichkeit, Hypothesentest.
Datengrundlage:
In einer bestimmten Stadt an einer bestimmten Stelle führt die Polizei in regelmäßigen Abständen in der Nacht von Sonnabend auf Sonntag zwischen 1 Uhr und 4 Uhr Verkehrskontrollen durch. Dabei muss der Fahrer „in die Röhre pusten“, um festzustellen, ob der Alkoholgehalt im Blut im gesetzlich erlaubten Rahmen liegt oder nicht. Aus mehrjähriger Erfahrung weiß die Polizei, dass ungefähr 12% aller männlichen und 7% aller weiblichen Fahrer um diese Zeit an dieser Stelle die „Promillegrenze“ überschreiten. Mit anderen Worten: „Alkoholsünder“. Am letzten Wochenende hat die Polizei dabei 100 Verkehrsteilnehmer überprüft. Darunter waren 40 Frauen.
a)
Gehe davon aus, dass die Erfahrungswerte der Polizei stimmen! Stelle diesen Sachverhalt in Form einer Vierfeld-Tafel dar! Berechne für die zufällige Auswahl einer überprüften Person (die Polizei protokolliert jede Überprüfung) die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: Die überprüfte Person ist weiblich und Alkoholsünderin.
B: Die überprüfte Person ist nüchtern.
C: Falls die ausgewählte Person männlich ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt Trunkenheit am Steuer vor?
D: Falls ein Alkoholsünder ausgewählt wurde, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person weiblich?
Formuliere zu jedem Ergebnis einen aussagekräftigen Antwortsatz!
M: männlich, W: weiblich, A: Alkoholsünder N: kein Alkoholsünder (nüchtern)
Im Folgenden gehen wir davon aus, dass 10% aller Verkehrsteilnehmer, die an der entsprechenden Stelle kontrolliert werden, Alkoholsünder sind. Weiterhin nehmen wir an, dass die Anzahl der Alkoholsünder in den Kontrollen einer Binomialverteilung genügt.
Eine Tabelle der Binomialverteilung für n = 100 und p = 0,1 ist beigefügt.
b)
Überprüfe, ob für die Verteilungsfunktion der Laplace-Bedingung genügt!
c)
Mit wie vielen Fahrverboten kann die Polizei bei der Überprüfung von 100 Verkehrsteilnehmern rechnen?
d)
Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Erwartungswert!
e)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Anzahl der Alkoholsünder zwischen 6 und 14?
f)
Teste die Annahme p = 0,1 für Alkoholsünde auf einem Signifikanzniveau von höchstens 5%! Bestimme den Annahme- und den Ablehnungsbereich! Überprüfe für den gewählten Ablehnungsbereich den Fehler 1. Art und kommentiere das Ergebnis!
g)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten aus d), e) und f) mit der Tabelle der Normalverteilung und bestimme die prozentuale Abweichung der Werte bezogen auf die der Binomialverteilung!
Dazu findest du hier die ausführlichen Lösungen.
Die dazugehörige Theorie hier: Grundlagen zum Hypothesentest.
Und hier eine Übersicht über die fortgeschrittene Differential- und Integralrechnung,.
Hier weitere Aufgaben zur Abiturvorbereitung.
