Aufgaben: Exponentialgleichungen III mit gebrochenem Exponenten

Aufgabensammlung, Exponentialfunktionen, Funktionen, Mathematik

Hier findest du weitere Aufgaben mit Exponentialgleichungen, diesmal geht es um gebrochene Exponenten. Dabei gebe ich Tipps für die Vorgehensweise.

Beispiel als Hilfe:

3⋅2x+3=64⋅3x−2  ∣ lg⁡() 3 \cdot 2^{x + 3} = 64 \cdot 3^{x - 2} \, \, \bigg \vert \, \lg()
⇔lg⁡(3⋅2x+3=lg⁡(64⋅3x−3)⇔lg⁡(3)+(x+3)⋅lg⁡(2)=lg⁡(64)+(x−2)⋅lg⁡(3)⇔(x+3)⋅lg⁡(2)−(x−2)⋅lg⁡(3)=lg⁡(64)−lg⁡(3)⇔x⋅lg⁡(2)+3lg⁡(2)−x⋅lg⁡(3)+2lg⁡(3)=lg⁡(64)−lg⁡(3) ⇔x⋅lg⁡(2)−x⋅lg⁡(3)=lg⁡(64)−lg⁡(3)−3lg⁡(2)−2lg⁡(3) ⇔x(lg⁡(2)−lg⁡(3))=lg⁡(64)−3lg⁡(3)−3lg⁡(2) ⇔x=lg⁡(64)−3lg⁡(3)−3lg⁡(2)lg⁡(2)−lg⁡(3)=lg⁡(6433⋅23)lg⁡(23)=3 \Leftrightarrow \lg(3 \cdot 2^{x + 3} = \lg(64 \cdot 3^{x - 3}) \\ \Leftrightarrow \lg(3) + (x + 3) \cdot \lg(2) = \lg(64) + (x - 2) \cdot \lg(3) \\ \Leftrightarrow (x + 3) \cdot \lg(2) - (x - 2) \cdot \lg(3) = \lg(64) - \lg(3) \\ \Leftrightarrow x \cdot \lg(2) + 3 \lg(2) - x \cdot \lg(3) + 2 \lg(3) = \lg(64) - \lg(3)  \\\Leftrightarrow x \cdot \lg(2) - x \cdot \lg(3) = \lg(64) - \lg(3) - 3 \lg(2) - 2 \lg(3)  \\ \Leftrightarrow x( \lg(2) - \lg(3)) = \lg(64) - 3 \lg(3) - 3 \lg(2)\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\lg(64) - 3 \lg(3) - 3 \lg(2)}{\lg(2) - \lg(3)} = \dfrac{\lg(\frac{64}{3^3 \cdot 2^3})}{\lg(\frac{2}{3})} = 3

1.  Berechne!

a) 32x+1=243 3^{2x +1} = 243
b) 52x+3=15625 5^{2x + 3} = 15625
c) 24x+3=128 2^{4x + 3} = 128
d) 43x−2=16384 4^{3x -2} = 16384
e) 65x−2=1296 6^{5x - 2} = 1296
f) 4⋅3,22x−3=131,072 4 \cdot 3,2^{2x - 3} = 131,072

2. Berechne!

a) 5⋅1,84x−3=29,16 5 \cdot 1,8^{4x - 3} = 29,16
b) 8⋅7,55x−8=450 8 \cdot 7,5^{5x - 8} = 450
c) 2,5⋅40−x=342 2,5 \cdot 40^{-x} = 342
d) 3,8⋅55−x=475 3,8 \cdot 5^{5 - x} = 475
e) 2,4⋅503−x=0,048 2,4 \cdot 50^{3 - x} = 0,048
f) 5,6⋅202−x=0,0007 5,6 \cdot 20^{2 - x} = 0,0007

3. Berechne!

a) 8⋅94−3x=89 8 \cdot 9^{4 - 3x} = \frac{8}{9}
b) 32x−1=92x−3 3^{2x-1} = 9^{2x - 3}
c) 23x+1,6=42x−0,1  2^{3x + 1,6} = 4^{2x - 0,1} 
d) 162x+1=42x+3 16^{2x + 1} = 4^{2x + 3}
e) 3,5x−1=12,25x−2 3,5^{x - 1} = 12,25^{x - 2}
f) 2⋅4x+1=1,6⋅202x−1 2 \cdot 4^{x + 1} = 1,6 \cdot 20^{2x - 1}

4. Berechne!

a) (38416)1x=14 (38416)^{\frac{1}{x}} = 14
b) (1764)1x=42 (1764)^{\frac{1}{x}} = 42
c) (83521)1x−2=17 (83521)^{\frac{1}{x - 2}} = 17
d) (29791)1x−1=31 (29791)^{\frac{1}{x - 1}} = 31
e) (117649)1x−4=49 (117649)^{\frac{1}{x-4}} = 49
f) (27)12x+1=3x (27)^{\frac{1}{2x + 1}} = 3^x

5. Berechne!

a) (64)1x−1=2x (64)^{\frac{1}{x - 1}} = 2^x
b) (243)1x+2=3x−4 (243)^{\frac{1}{x + 2}} = 3^{x - 4}
c) (125)1x+1=2,5⋅2x−1 (125)^{\frac{1}{x + 1}} = 2,5 \cdot 2^{x - 1}
d) (512)12x−3=2⋅2x−1 (512)^{\frac{1}{2x - 3}} = 2 \cdot 2^{x - 1}
e) (343)15x−7=(49)13x−4 (343)^{\frac{1}{5x - 7}} = (49)^{\frac{1}{3x - 4}}
f) (578)12x−1=8,33 (578)^{\frac{1}{2x - 1}} = 8,33

6. Berechne!

a) (24,6)13x−2=2,227 (24,6)^{\frac{1}{3x - 2}} = 2,227
b) (42,875)12x+1=3,5 (42,875)^{\frac{1}{2x + 1}} = 3,5
c) (81)1x+1=2x (81)^{\frac{1}{x + 1}} = 2^x

7. Berechne!

a) 4⋅52x−3=5⋅10x−1 4 \cdot 5^{2x - 3} = 5 \cdot 10^{x - 1}
b) 22(x+1)−2x+3=2x+5−22x+4 2^{2(x + 1)} - 2^{x + 3} = 2^{x + 5} - 2^{2x + 4 }
c) 22x+1+3x+2=22(x+1)+3x+1 2^{2x + 1} + 3^{x + 2} = 2^{2(x + 1)} + 3^{x +1}
d) 16x−2−18⋅4x−2+32=0 16^{x - 2} - 18 \cdot 4^{x - 2} + 32 = 0

8. Berechne!

a) 52x−4−8⋅5x−2+15=0 5^{2x - 4} - 8 \cdot 5^{x - 2} + 15 = 0
b) 90⋅33x−2−93x−2−729=0 90 \cdot 3^{3x - 2} - 9^{3x - 2} - 729 = 0
c) 25x+2+32x+2=25x+1+32x+4 2^{5x + 2} + 3^{2x + 2} = 2^{5x + 1} + 3^{2x + 4}
d) 364x−3−8⋅64x−3+12=0 36^{4x - 3} - 8 \cdot 6^{4x - 3} + 12 = 0

Hier findest du die Lösungen hierzu.

Und hier die Theorie: Exponentialgleichungen.

Eine große Hilfe bieten die Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen.

Hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu Gleichungen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

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