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Funktionen Mathematik

Funktion und Umkehrfunktion

Umkehrfunktionen

Im letzten Beitrag habe ich eine Einführung in die mathematischen Funktionen gegeben. Hier demonstriere ich zuerst die Begriffe Zuordnungsvorschrift  und inverse Funktion anhand eines anschaulichen Beispiels. Danach zeige ich die Besonderheiten bei der Umkehrfunktion der linearen, quadratischen und e-Funktion.

Die Zuordnungsvorschrift f wird ausgedrückt durch die Funktionsgleichung.

Wenn die Funktion eineindeutig, existiert auch eine eindeutige Zuordnung von f-1. Mit anderen Worten: Es gibt eine Umkehrfunktion oder inverse Funktion.

Beispiel:

Wenn wir in die Funktion f(x) = 2x für x den Wert 2 eingeben, ergibt sich für f(x) = 4 .

Die Umkehrfunktion dazu lautet f^{-1} = \frac{1}{2} . Wenn wir hier für x den Wert 4 eingeben, ergibt sich für f^{-1} = 2 . Also stimmt dies.

des_189
des_190

Die Umkehrfunktion der linearen Funktion

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

f_1627

Folglich hat die Funktion f die Steigung m = 2. Das heißt, sie schneidet mit ihrem Graph die Abszissenachse im Punkt Px ( -1,5 | 0 ) und die Ordinatenachse im Punkt Py ( 0 | 3 ). Ihr Graph ist eine Gerade.

Nun vertauscht man die Variablen der Funktionsgleichung miteinander, z. B x und y. Danach formt man nach y äquivalent um. Dann erhält man die Umkehrfunktion.

f_1628

Der Graph der Umkehrfunktion ist die Spiegelung des Funktionsgraphen an der 450 -Achse.

Allgemein gilt:

f_1629

Der Einfachheit halber nennen wir die Umkehrfunktion u(x).

mc_234

 



Die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion

Die Vorgehensweise ist die gleiche wie oben bei der linearen Funktion gezeigt.

f_1630

Bei der Bildung der Umkehrfunktionen wird die Definitionsmenge eingeschränkt, damit eindeutige Zuordnungen entstehen.

mc_235

 

Die Umkehrfunktion der e-Funktion

f_1631

Bei der Bildung der Umkehrfunktionen wird ebenfalls die Definitionsmenge eingeschränkt, denn der Logarithmus ist nur für positive x- Werte definiert.

mc_236

Zu diesem Thema gibt es ausnahmsweise keine Aufgaben.



Hier finden Sie eine Übersicht über weitere Beiträge zu linearen Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

Im nächsten Beitrag Einführung lineare Funktionen wird das Thema vertieft.