Funktion und Umkehrfunktion

Umkehrfunktionen

Im letzten Beitrag habeich eine Einfünung in die Funktionen in der Mathematik gegeben. Hier demonstriere ich zuerst die Begriffe Zuordnungsvorschrift  und inverse Funktion anhand eines anschaulichen Beispiels. Danach zeige ich die Besonderheiten bei der Umkehrfunktion der linearen, quadratischen und e-Funktion.

Die Zuordnungsvorschrift f wird ausgedrückt durch die Funktionsgleichung.

Beispiel:

f_1625

Bei der Eineindeutigkeit einer Funktion existiert auch eine eindeutige Zuordnung von f-1.

Diese Zuordnung wird Umkehrfunktion oder inverse Funktion genannt.

Beispiel:

f_1626

des_189
des_190

Die Umkehrfunktion der linearen Funktion

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

f_1627
Gesucht die Umkehrfunktion f-1 und ihr Graph.

Folglich hat die Funktion f die Steigung m = 2. Das heißt, sie schneidet mit ihrem Graph die Abszissenachse im Punkt Px ( -1,5 | 0 ) und die Ordinatenachse im Punkt Py ( 0 | 3 ). Ihr Graph ist eine Gerade.

Wenn man nun die Variablen der Funktionsgleichung miteinander vertauscht und nach y äquivalent umformt, dann erhält man die Umkehrfunktion.

f_1628

Der Graph der Umkehrfunktion ist die Spiegelung des Funktionsgraphen an der 45 0 – Achse.

Allgemein gilt:

f_1629

Der Einfachheit halber nennen wir die Umkehrfunktion u(x).

mc_234

 



Die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion

Die Vorgehensweise ist die gleiche wie oben bei der linearen Funktion gezeigt.

f_1630

Bei der Bildung der Umkehrfunktionen wird die Definitionsmenge eingeschränkt, damit eindeutige Zuordnungen entstehen.

mc_235

 

Die Umkehrfunktion der e-Funktion

f_1631

Bei der Bildung der Umkehrfunktionen wird ebenfalls die Definitionsmenge eingeschränkt, denn der Logarithmus ist nur für positive x- Werte definiert.

mc_236

Zu diesem Thema gibt es ausnahmsweise keine Aufgaben.



Hier finden Sie eine Übersicht über weitere Beiträge zu linearen Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

Diese und weitere Aufgaben sind in den Materialien enthalten, die Sie in unserem Shop erwerben können. Pakete mit vielen PDF-Dateien für Schüler ab 1 Euro und für Lehrer als WORD-Dateien, die beliebig geändert werden können.

Im nächsten Beitrag Einführung lineare Funktionen wird das Thema vertieft.



Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like auf facebook.