Lage zweier Geraden zueinander

Schnittpunkt zweier Geraden

Ein lineares Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen  hat bekanntlich entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
Was aber hat das mit der Lage zweier Geraden zueinander zu tun?
Ein Fallbeispiel soll zur Klärung dienen:

Beispiel:

Ein Ökokühlschrank (1) kostet 400 € und hat monatliche Energiekosten von 20 €.
Ein Billigkühlschrank (2) kostet 200 € und hat monatliche Energiekosten von 40 €.
Wann hat sich der in der Anschaffung teuere Ökokühlschrankbezahlt gemacht (sich amortisiert)?
Die Funktionsgleichungen für die Kostenentwicklung lauten:
Für den Ökokühlschrank:

f_1520
Für den Billigkühlschrank:

f_1521
Der in der Anschaffung teuere Ökokühlschrank hat sich dann amortisiert, wenn die Gesamtkosten (Anschaffungskosten und Energiekosten) gleich, bzw. geringer sind als die des Billigkühlschrankes.

f_1522

f_1523des_171

Ergebnis: Das Gleichungssystem

f_1524
wurde durch das Gleichsetzungsverfahren gelöst.
Der Wert x = 10 bedeutet, nach 10 Monaten hat sich der Ökokühlschrank amortisiert.
Der Wert y = 600 bedeutet, für beide Kühlschränke sind nach 10 Monaten die gleichen Kosten entstanden ( 600 € ).
Ab jetzt sind die Gesamtkosten für den Ökokühlschrank geringer.

Gleichungssystem ohne Lösung

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen ist stets ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen.

Beispiel

f_1525

Die Lösung führt auf einen Widerspruch.
Das bedeutet, das Gleichungssystem hat keine Lösung.

f_1526
mc_229

Die Funktionsgleichung g(x) entsteht aus f(x) durch Verschiebung um drei Einheiten nach unten.
Das bedeutet, der Graph von g(x) ist parallel zu dem von f(x).
Zwei parallele Gerade haben offensichtlich keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Beispiel
f_1527

Beide Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte, sie liegen aufeinander, sind identisch.

Fassen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen, sind deren Funktionsgleichungen, die ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen bilden, zu lösen.
Das kann mit dem Gleichsetzungsverfahren geschehen.

Merke:
Hat f(x) = g(x) genau eine Lösung, dann schneiden sich die Graphen von f und g in einem Punkt. Die Geraden haben unterschiedliche Steigungen.
Hat f(x) = g(x) keine Lösung, dann haben beide Geraden keinen gemeinsamen Punkt. Sie verlaufen parallel zueinander.
Hat f(x) = g(x) unendlich viele Lösungen, dann sind beide Geraden identisch.

Genau eine Lösung
des_172

Keine Lösung
des_173

Unendlich viele Lösungen
des_174




Rechtwinklig zueinander verlaufende Geraden

Ermittelt man die Steigung von zwei sich rechtwinklig schneidenden Geraden, so ist zu vermuten, dass es zwischen den Steigungen beider Geraden einen Zusammenhang gibt.

Vorübung:

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion
f_1528
in ein Koordinatensystem.
Zeichnen Sie zu diesem Graphen mit dem Geodreieck eine senkrechte Gerade durch den Koordinatenursprung und lesen Sie deren Steigung ab.

des_175

f_1529

Satz:

Für die Steigung zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden g und h gilt:
f_1530
Die Geraden sind zueinander orthogonal.
Beweis: Die Steigungen von g und h lassen sich ablesen zu:
f_1531des_176

Beispiel:

Gegeben ist der Schnittpunkt S( 2 | 3 ) zweier rechtwinklig zueinander verlaufender Geraden g und h, wobei die Steigung von g
f_1532

Gesucht:
Die Funktionsgleichung g(x) der Geraden g.
Die Funktionsgleichung h(x) der Geraden h.
Die Graphen von g und h für
f_1533

f_1534des_177

Traingsaufgaben hierzu

Schnittpunkt zweier Geraden
Interaktiv: Geben Sie Dezimalzahlen oder Brüche für a ein, klicken Sie auf ‚Berechnen‘, dann werden die Funktionsgleichungen und die Schnittpunkte berechnet. Klicken Sie danach auf ‚Zeichne g1‘ und ‚Zeichen gn2‘ und die Graphen werden gezeichnet.




Anwendungen aus der Kostenrechnung

In der betrieblichen Kostenrechnung wird der Schnittpunkt zweier Geraden oft genutzt, um bestimmte Grenzwerte zu berechnen. So ist es für einen Unternehmer wichtig, diejenige Produktionsmenge x einer Ware zu kennen, bei der die ihm bei der Produktion entstandenen Kosten K durch die Erlöse E aus dem Verkauf (Absatz) gedeckt sind. Anders ausgedrückt, er interessiert sich dafür, ab welcher produzierten Menge x er Gewinn G macht.

Definition:

Für die Kostenfunktion K(x) bei konstanten Stück- und Fixkosten gilt:

f_1535

Merke:

Gesamtkosten, beschrieben durch die ertragliche Kostenfunktion K(x) sind die in einem Betrieb bei der Produktion von x Mengeneinheiten (ME) eines Produktes entstehenden Kosten.
Stückkosten k sind die Gesamtkosten pro Stück (auch variable Stückkosten genannt).
Fixe Kosten Kf sind die Kosten, die auch dann entstehen, wenn nichts produziert wird. (Zinsen, Mieten, Versicherungen, Gehälter usw.)

Definition:

Für die Erlösfunktion E(x) bei konstantem Preis gilt:

f_1536

Merke:

ie zu dem Preis p verkaufte Menge nennt man auch Ausbringungsmenge.

Definition:

Für die Gewinnfunktion G(x) gilt:

f_1537

Merke:

Ist das Ergebnis von G(x) negativ, macht der Betrieb Verlust, ist G(x) positiv, dann macht er Gewinn.
Falls G(x) = 0 ist, sind die Kosten K(x) genauso hoch wie der Erlös E(x).
Dieser Punkt wird Gewinnschwelle genannt.

Beispiel:

Ein Betrieb produziert „Handys“ zu 20 € pro Stück.
Die fixen Betriebskosten belaufen sich auf 60000 € pro Tag.
Der Verkaufspreis pro „Handy“ beträgt 40 €.
Maximal kann der Betrieb täglich 4000 „Handys“ herstellen (Kapazitätsgrenze).
a) Ab welcher Ausbringungsmenge macht der Betrieb Gewinn?
b) Bei welcher Ausbringungsmenge erzielt der Betrieb den maximalen Gewinn?
c) Stellen Sie den Sachverhalt graphisch in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

Lösung:
a)
f_1538

b)
f_1539

c)

des_178

Bei einer Ausbringungsmenge von 4000 „Handys“ pro Tag ist der Gewinn maximal, er beträgt dann 20000 €.

Die Gewinnschwelle kann statt über die Gewinnfunktion auch über den Schnittpunkt des Graphen der Kostenfunktion mit dem Graphen der Erlösfunktion ermittelt werden.
Die x- Koordinate des Schnittpunktes ist die Gewinnschwelle, die y- Koordinate gibt die Kosten an dieser Stelle an.


Mengen- und Geldeinheiten

Die in einem Betrieb produzierte Menge eines Produktes beläuft sich oft auf große Stückzahlen, z.B 1000 000 Cd- Rohlinge pro Tag. Auch Kosten für Produktionsprozesse fallen häufig in Millionenhöhe an.

Solch große Zahlen sind bei Rechnungen nicht immer leicht zu handhaben. Deshalb führt man für die produzierte Stückzahl Mengeneinheiten und für Kosten Geldeinheiten ein.

Dabei kann man z. B. 1000 000 CD- Rohlinge zu 10 Mengeneinheiten (10 ME) zusammenfassen, wobei eine Mengeneinheit für 100 000 Stück steht.
Ebenso fasst man Kosten zu Geldeinheiten zusammen, z. B. können 9000 000 € zu 9 Geldeinheiten (9 GE) zu je 1000 000 € zusammengefasst werden.

Außerdem ist man bei der Kostenbetrachtung an keine bestimmte Währung gebunden. Man betrachtet lediglich Geldeinheiten.

Beispiel:

Die Kostenfunktion für die Herstellung eines bestimmten Produktes sei
K(x) = 0,3x + 4 und die Erlösfunktion E(x) = 1,1x.
Wie hoch sind die Gesamtkosten an der Gewinnschwelle?

f_1540
Die Gewinnschwelle liegt bei 5 ME, an dieser betragen die Kosten 5,5 GE.


Hier finden Sie Aufgaben dazu: Aufgaben  Lineare Funktionen IV Schnittpunkte mehrerer Geraden

und Aufgaben Lineare Funktionen Aufgaben V Schnittpunkte mehrerer Geraden

Hier finden Sie eine Übersicht über weitere Beiträge zu linearen Funktionen.



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