In diesem Beitrag erkläre ich alles Wichtige zu Gleichungen und Ungleichungen. Zuerst definiere ich die Begriffe Aussagen, Aussageformen, Lösungsmenge, Erfüllungsmenge, Grundmenge, Definitionsmenge, Äquivalenzumformung. Dazu stelle ich viele Beispiele vor.
- Aussagen und Aussageformen
- Lösungsmenge,Erfüllungsmenge
- Grundmenge
- Definitionsmenge
- Äquivalenzumformung
Gleichungen und Ungleichungen sind Aussagen
Zahlengleichungen- oder Ungleichungen mit Zahlen sind Aussagen, zum Beispiel:
3 + 7 = 2 + 8 ist eine Gleichung.
2 + 7 < 3 + 8 ist eine Ungleichung.
Bestimmungsgleichungen- oder Ungleichungen sind Aussageformen zum Beispiel:
8x + 2 = 18 ist eine Gleichung.
32 – x > 19 ist eine Ungleichung.
Gleichungen und Ungleichungen bestehen also aus zwei Termen, rechts und links vom Relationszeichen.
Definition Lösungsmenge, Erfüllungsmenge
Die Menge der Elemente x, die eine Gleichung bzw. Ungleichung zu einer wahren Aussage führt, heißt Lösungsmenge (L) oder Erfüllungsmenge. Z. B. in der Gleichung x + 5 = 7 ist die Lösungsmenge L = {2}.
Gleichungen bzw. Ungleichungen lösen bedeutet somit „Bestimmen der Lösungsmengen“.
Definition Grundmenge
Die Menge, der die Elemente zur Erfüllung der Gleichung oder Ungleichung entnommen werden dürfen, heißt Grundmenge (G).
Dabei können dies natürliche, rationale Zahlen sein etc. Im Beitrag Zahlenmengen habe ich die einzelnen Mengen erklärt.
Definition Definitionsmenge
Die Menge, für die die mathematischen Terme, die in der Gleichung oder Ungleichung vorkommen, definiert sind, heißt Definitionsmenge (D).
Beispiel 1:
Hier zum Beispiel gibt es genau eine Lösung:
12 x – 4 = 16 + 2x
Die Defintionsmenge soll hierbei D = ℝ, Grundmenge G = ℝ, mit anderen Worten reelle Zahlen.
Die Lösung ermitteln wir durch Äquivalenzumformungen:
12x - 4 = 16 + 2x | + 4
\Leftrightarrow 12x = 20 + 2x | -2x \\ \Leftrightarrow 10x = 20 | :10 \\ \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow L = {2} ist die Lösungsmenge.
Dabei habe ich im ersten Schritte auf beiden Seiten 4 addiert.
Danach auf beiden Seiten 2x subtrahiert.
Schließlich beide Seiten durch 10 dividiert.
Definition Äquivalenzumformung
Die Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändert.
Erlaubt sind dabei:
- Auf beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl oder den gleichen Term zu addieren oder zu subtrahieren.
- Beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl, mit demselben Term zu multiplizieren oder durch die gleiche Zahl zu dividieren.
Nicht erlaubt bei einer Äquivalenzumformung sind:
- Multiplikation mit Null
- Division durch Null
- sowie quadrieren beider Seiten.
Beispiel 2:
\frac{1}{2}x^2 + 6 = 0
D = ℝ, G = ℝ.
\Leftrightarrow x^2 = -12 \Rightarrow L = { }
Diesmal gibt es keine Lösung, denn für alle x ∈ ℝ gilt: x^2 > 0 . Mit anderen Worten: Quadratzahlen müssen größer als Null sein.
Beispiel 3:
4u + 2 - (2u -2) +8(05u -4) = -22
D = ℝ, G = ℝ.
\Leftrightarrow 4u +2 - 8u + 8 + 4u - 32 = -22 \\ \Leftrightarrow -22 = -22 \Rightarrow L = \mathbb{R}
Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen, denn jedes u ∈ ℝ führt zu einer wahren Aussage und ist deshalb eine Lösung.
Beispiel 4:
\frac {2x}{x - 1} = 3
Definitionsmenge D = ℝ \ {1}, Grundmenge G = ℝ.
\Leftrightarrow \frac {2x}{x - 1} = 3 \quad | \cdot (x-1)
\Leftrightarrow 2x = 3x -3 \quad | - 3x \\ \Leftrightarrow -x = -3 \quad | : (-1) \\\Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow L = {3} ist die Lösungsmengen, denn 3 ∈ ℝ.
Beispiel 5:
1,5x + 14 = 0,5x - 2x + 8
Definitionsmenge D = ℝ \ {1}, Grundmenge G = ℕ.
\Leftrightarrow 1,5x + 14 = 0,5x - 2x + 8 \quad | + 1,5x
\Leftrightarrow 3x + 14 = 8 \quad | -14 \\ \Leftrightarrow 3x = -6 \quad | : 3 \\ \Leftrightarrow x = -2 \Rightarrow L = { } ist die Lösungsmengen, denn -2 ∉ G.
Beispiel 6:
ux -2 = 8 – 2x mit G = ℝ ist eine Parmetergleichung.
Die Variable u heißt Parameter oder Formvariable. Die Variable x ist die Lösungsvariable.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von u.
ux -2 = 8 - 2x \quad | + 2x
\Leftrightarrow ux + 2x - 2 = 8 \quad | + 2 \\ \Leftrightarrow ux + 2x = 10 \\ \Leftrightarrow x(u + 2) = 10 \quad |:(u+2) \\ \Leftrightarrow x = \frac {10}{u + 2}
Die Division durch u + 2 ist nur erlaubt, wenn u + 2 ≠ 0 ist, mit anderen Worten für u ≠ -2.
Für u ≠ -2 hat die Gleichung deshalb die Lösung x = \frac {10}{u + 2} .
Als Lösungsmenge geschrieben:
L = \{x | x = \frac {10}{u + 2} \wedge u \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}\} .
Beispiel 7: Äquivalenzumformung:
3x + 4 > 6 G = ℝ.
Diesmal lösen wir mit Äquivalenzumformung:
3x + 4 > 6 \quad | -4
\Leftrightarrow 3x > 2 \quad | : 3 \\ \Leftrightarrow x = \frac {2}{3} \\ \Leftrightarrow L = \{ x | x > \frac {2}{3} \} _\mathbb{R} = ] \frac {2}{3}; \infty [
Die Lösung dieser Ungleichung ist ein Intervall.
Beispiel 8:
Für welches Intervall | ⊂ ℝ gilt: -3x + 8 < 2 ?
-3x + 8 < 2 \quad | -8
\Leftrightarrow -3x < -6 \quad | :(-3) \\ \Leftrightarrow x > 2 \\\Leftrightarrow L = \{ x | x > 2 \} _\mathbb{R} \\
oder | = ] 2 ; \infty [ ist Lösungsintervall.
Merke
Wird bei der Äquivalenzumformung einer Ungleichung diese auf beiden Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, so dreht sich das Relationszeichen um.
Dazu findest du hier Aufgaben.
Und hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu Mathematischen Grundlagen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.
