Gleichungen und Ungleichungen als Aussageform

Gleichungen und Ungleichungen als Aussageform

In diesem Beitrag werde ich zuerst erklären, dass Zahlengleichungen und Ungleichungen Aussagen sind. Danach werde ich die Begriffe Lösungsmenge, Erfüllungsmenge, Grundmenge, Definitionsmenge, Äquivalenzumformung definieren. Schließlich werde ich dies alles anhand anschaulicher Beispiele erläutern.

Zahlengleichungen- oder Ungleichungen mit Zahlen sind Aussagen.

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Bestimmungsgleichungen- oder Ungleichungen sind Aussageformen.

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Gleichungen und Ungleichungen bestehen aus zwei Termen, rechts und links vom Relationszeichen.

Definition Lösungsmenge oder Erfüllungsmenge

Die Menge der Elemente x, die eine Gleichung bzw. Ungleichung zu einer wahren Aussage führt, heißt Lösungsmenge ( L ) oder Erfüllungsmenge.

Gleichungen bzw. Ungleichungen lösen bedeutet somit „Bestimmen der Lösungsmengen“.

Definition Grundmenge

Die Menge, der die Elemente zur Erfüllung der Gleichung oder Ungleichung entnommen werden dürfen, heißt Grundmenge ( G ).

Definition Definitionsmenge

Die Menge, für die die mathematischen Terme, die in der Gleichung oder Ungleichung vorkommen, definiert sind, heißt Definitionsmenge ( D ).

1. Beispiel:

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Definition Äquivalenzumformung

Die Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändert.

Erlaubt sind dabei: 

  • Auf beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl oder den gleichen Termzu addieren oder zu subtrahieren.
  • Beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl, mit demselben Term zu multiplizieren oder durch die gleiche Zahl zu dividieren.

Nicht erlaubt bei einer Äquivalenzumformung sind:

  • Multiplikation mit Null
  • Division durch Null
  • sowie quadrieren beider Seiten.

2. Beispiel:

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3. Beispiel:

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4. Beispiel:

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5. Beispiel:

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6. Beispiel:

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Die Variable u heißt Parameter oder Formvariable. Die Variable x ist die Lösungsvariable.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von u.

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7. Beispiel Äquivalenzumformung:

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Die Lösung dieser Ungleichung ist ein Intervall.

8. Beispiel:

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Merke

Wird bei der Äquivalenzumformung einer Ungleichung diese auf beiden Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, so dreht sich das Relationszeichen um.



Hier finden Sie Aufgaben hierzu

und hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu Mathematischen Grundlagen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

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