Integralrechnung in der Praxis
Bis jetzt haben wir mit Hilfe der Integralrechnung Flächen zwischen einem Graphen und der x-Achse und Flächen zwischen Funktionsgraphen berechnet. In diesem Beitrag zeige ich zuerst ein Beispiel aus der Praxis. Wir können mit Integralen zum Beispiel die mittlere Flughöhe eines Fussballs im Bereich zwischen 7 m und 16 m nach dem Abschuss berechnen. Danach erkläre ich, wie man das Integral als Mittelwert von f(x) im Intervall [a; b] berechnet. Anschließend versuche ich den Ansatz über das bestimmte Integral. Zuletzt demonstriere ich die Berechnung der Beispielaufgabe.
Flughöhe eines Fussballs
Zuerst legen wir für diesen Bereich eine Wertetabelle an:
Das Integral als Mittelwert von f(x) im Intervall [a; b]
Der Ball hätte somit im Intervall [ 7 ; 16 ] eine mittlere Flughöhe von 2,512 m.
Würde man in groberen oder feineren Schritten vorgehen, so bekäme man für den jeweiligen Mittelwert andere Ergebnisse.
Bei den x – Werten 7; 10; 13; 16 käme für den Mittelwert 2,34 m heraus.
Bei den x – Werten 7; 7,5; 8; 8,5; ….. käme für den Mittelwert 2,555 m heraus.
Offenbar scheint es so zu sein, dass je kleiner wir die x – Schritte wählen, desto genauer erhalten wir den Mittelwert.
Den Ansatz über das bestimmte Integral versuchen:
Berechnung der Beispielaufgabe:
Der Ball hätte somit im Intervall [ 7 ; 16 ] eine mittlere Flughöhe von 2,598 m.
Das bestimmte Integral wird somit zu einer kontinuierlichen Verallgemeinerung des Begriffs der Summe. Das heißt, je kleiner man die x – Schritte macht, desto mehr nähert man sich an den Mittelwert der Funktion heran. Die Anzahl der Summanden wird dabei immer größer.
