Das Integral als Mittelwert von f(x) im Intervall [ a ; b ]

Bis jetzt haben wir mit Hilfe der Integralrechnung Flächen zwischen einem Graphen und der x-Achse und Flächen zwischen Funktionsgraphen berechnet. Wir können mit Integralen jedoch auch zum Beispiel die mittlere Flughöhe eines Fussballs im Bereich zwischen 7 m und 16 m nach dem Abschuss berechnen:

Zunächst legen wir für diesen Bereich eine Wertetabelle an:

Der Ball hätte somit im Intervall [ 7 ; 16 ] eine mittlere Flughöhe von 2,512 m.
Würde man in groberen oder feineren Schritten vorgehen, so bekäme man für den jeweiligen Mittelwert andere Ergebnisse.
Bei den x – Werten 7; 10; 13; 16 käme für den Mittelwert 2,34 m heraus.
Bei den x – Werten 7; 7,5; 8; 8,5; ….. käme für den Mittelwert 2,555 m heraus.
Offenbar scheint es so zu sein, dass je kleiner wir die x – Schritte wählen, desto genauer erhalten wir den Mittelwert.

Wir versuchen den Ansatz über das bestimmte Integral:

Angewendet auf unsere Beispielaufgabe bedeutet das:

Der Ball hätte somit im Intervall [ 7 ; 16 ] eine mittlere Flughöhe von 2,598 m.
Das bestimmte Integral wird somit zu einer kontinuierlichen Verallgemeinerung des Begriffs der Summe. Das heißt, je kleiner man die x – Schritte macht, desto mehr nähert man sich an den Mittelwert der Funktion heran. Die Anzahl der Summanden wird dabei immer größer.

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