Integral als Mittelwert

Das Integral als Mittelwert von f(x) im Intervall [ a ; b ]

Bis jetzt haben wir mit Hilfe der Integralrechnung Flächen zwischen einem Graphen und der x-Achse und Flächen zwischen Funktionsgraphen berechnet. Wir können mit Integralen jedoch auch zum Beispiel die mittlere Flughöhe eines Fussballs im Bereich zwischen 7 m und 16 m nach dem Abschuss berechnen:

f_0755

mc_139

Zunächst legen wir für diesen Bereich eine Wertetabelle an:

f_0756

Der Ball hätte somit im Intervall [ 7 ; 16 ] eine mittlere Flughöhe von 2,512 m.
Würde man in groberen oder feineren Schritten vorgehen, so bekäme man für den jeweiligen Mittelwert andere Ergebnisse.
Bei den x – Werten 7; 10; 13; 16 käme für den Mittelwert 2,34 m heraus.
Bei den x – Werten 7; 7,5; 8; 8,5; ….. käme für den Mittelwert 2,555 m heraus.
Offenbar scheint es so zu sein, dass je kleiner wir die x – Schritte wählen, desto genauer erhalten wir den Mittelwert.



Wir versuchen den Ansatz über das bestimmte Integral:

f_0757

des_079

f_0758

Angewendet auf unsere Beispielaufgabe bedeutet das:

f_0759

Der Ball hätte somit im Intervall [ 7 ; 16 ] eine mittlere Flughöhe von 2,598 m.
Das bestimmte Integral wird somit zu einer kontinuierlichen Verallgemeinerung des Begriffs der Summe. Das heißt, je kleiner man die x – Schritte macht, desto mehr nähert man sich an den Mittelwert der Funktion heran. Die Anzahl der Summanden wird dabei immer größer.




Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like auf facebook
Die Unterrichtsmaterialien gibt es in unserem Shop Pakete mit vielen PDF-Datei ab 1 Euro und für Lehrer als WORD-Dateien, die beliebig geändert werden können.