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Aufgabensammlung Gleichungen Mathematik Quadratische Gleichungen Sekundarstufe 1

Lösungen Quadratische Gleichungen III

Lösungen Quadratische Gleichungen III Vermischte Aufgaben
mit komplettem Lösungsweg

1.Ausführliche Lösungen
a)
01a_l: Lösung einer quadratischen Gleichung durch ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt
Lösung durch ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt.
b)
01b_l
Lösung durch ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt.
c)
01c_l: Lösung einer quadratischen Gleichung durch Wurzelziehen
Lösung durch Wurzelziehen.

d)
01d_l
Lösung durch Wurzelziehen.
e)
01e_l
Lösung durch Wurzelziehen.

f)
01f_l
Lösung durch Wurzelziehen.



2. Ausführliche Lösungen
a)
02a_l
Lösung durch ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt.
b)
02b_l
Lösung durch Wurzelziehen.
c)
02c_l
Lösung durch ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt.
d)
02d_l
Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt.
e)
02e_l
Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt. Doppelte Nullstelle.
f)
02f_l
Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt.

3.Ausführliche Lösungen
a)
03a_l
Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt.
b)
03b_l
Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt. Doppelte Nullstelle.
c)
03c_l
Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt.
d)
03d_l
Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt.
e)
03e_l
Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt. Mit doppelter Nullstelle.
f)
03f_l
Bei negativer Diskriminante keine Lösung der quadratischen Gleichung.


4.Ausführliche Lösungen:
a)
04a_l
b)
04b_l
c)

\frac{a^2}{2}x^2 -4x = x^2 - ax +1; a \neq 0 | -x^2 \\ \Leftrightarrow \frac{a^2}{2}x^2  - x^2 - 4x = -ax +1 | +ax \\ \Leftrightarrow (\frac{a^2}{2} -1)x^2 -4x +ax = 1  | -1
\Leftrightarrow (\frac{a^2}{2} -1)x^2 + (a - 4)x - 1 \\ a = (\frac{a^2}{2} -1) ; b = (a - 4) ; c = - 1 \\ \Rightarrow D = b^2 - 4ac = (a - 4)^2 - 4(\frac{a^2}{2} -1) \cdot (-1)  \\ = a^2 - 8a + 16 + 2a^2 - 4 = \\ = \color{red}{\underline{\underline{3a^2 - 8a + 12}}}

d)
04d_l

5. Ausführliche Lösung:

mx^2 + ax - 1 = 0 
Jetzt müssen wir zeigen, dass die Diskriminante für alle a ∈ ℝ > 0 ist.
p = a   ;   q = -1 \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \\ = \frac{a^2}{4} + 1 > 0 \Rightarrow  zwei \quad Lösungen.

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D = -\frac{a}{2} \pm \sqrt {\frac{a^2}{4} + 1}
\Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{-\frac{a}{2} + \sqrt {\frac{a^2}{4} + 1}   ;  -\frac{a}{2} - \sqrt {\frac{a^2}{4} + 1} \}}}}

6.Ausführliche Lösungen:

a)

-ax^2 + 2ax - a + 1 = 0  ;   a > 0
-ax^2 + 2ax - a + 1 = 0 | : (-a) \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 - \frac{1}{a} = 0 \\ p = -2  ;   q = 1 - \frac{1}{a} \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q \\ = 1 - (1 - \frac{1}{a}) = 1 - 1 + \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \sqrt D = \sqrt{\frac{1}{a}} 

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = 1 + \sqrt{\frac{1}{a}} \\ x_2 = 1 - \sqrt{\frac{1}{a}} \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{1 + \sqrt{\frac{1}{a}}  ;  1 - \sqrt{\frac{1}{a}}\}}}}

b)

x^2 - 2ax - 6a = -3x | +3x
\Leftrightarrow x^2 - 2ax - 6a + 3x = 0 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2ax + 3x - 6a = 0 \\ \Leftrightarrow x^2 - (2a - 3) \cdot x - 6a = 0 \\ \Rightarrow p = -(2a - 3) = 3 - 2a   ;  q = -6a \\ \Rightarrow D = (\dfrac{p}{2})^2 - q = (\dfrac{3 - 2a}{2})^2 + 6a \\ = \dfrac{9 - 12a + 4a^2}{4} +6a \\ = \dfrac{9 - 12a + 4a^2}{4} + \dfrac{24a}{4} \\ = \dfrac{9 - 12a + 4a^2 + 24a}{4} \\ = \dfrac{4a^2 + 12a + 9}{4} \\ = \dfrac{(2a + 3)^2}{4} \\ = (\frac{2a + 3}{2})^2 \\ \Rightarrow \sqrt D  = \sqrt {(\frac{2a + 3}{2})^2} = \frac{2a + 3}{2}

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = \frac{2a - 3}{2} + \frac{2a + 3}{2} \\ = \frac{2a - 3 + 2a + 3}{2} = \frac{4a}{2} = 2a
x_2 =  \frac{2a - 3}{2} - \frac{2a + 3}{2} \\ = \frac{2a - 3 - 2a - 3}{2} = \frac{-6}{2} = -3
  \color{red}{\underline{\underline{L = \{-3 ; 2a\}}}}

c)

-ax^2 + 2a^2 + 3a^3 = 0 | : (-a) \\ \Leftrightarrow x^2 - 2ax - 3a^2 = 0 \\ \Rightarrow p = -2a   ;   q = -3a^2 \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = a^2 + 3a^2 = 4a^2
\Rightarrow \sqrt D = \sqrt{4a^2} = 2a 

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = a + 2a = 3a \\ x_2 = a - 2a = -a \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{-a ; 3a\}}}}

d)

-x^2 + 1,5ax - 0,5a^2 = 0 | : (-1) \\ \Leftrightarrow x^2 - \frac{3}{2}ax + \frac{1}{2}a^2 = 0\\ \Rightarrow p = -\frac{3}{2}a   ;  q = \frac{1}{2}a^2 \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{9}{16}a^2 - \frac{8}{16}a^2 = \frac{1}{16}a^2
\Rightarrow \sqrt D = \sqrt{\frac{1}{16}a^2} = \frac{1}{4}a

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = \frac{3}{4}a + \frac{1}{4}a = \frac{4}{4}a = a \\ x_2 = \frac{3}{4}a - \frac{1}{4}a = \frac{2}{4}a = \frac{1}{2}a  \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{\frac{1}{2}a ; a\}}}}

e)

-\frac{1}{a}(x^2 - 5x) = 0  ;   a \neq 0     x ausklammern.
\Leftrightarrow -\frac{1}{a} x (x - 5) = 0    Diesmal wenden wir den  Satz vom Nullprodukt an.
  -\frac{1}{a} x = 0 \Leftrightarrow x_1 = 0  \\ x - 5 = 0  | + 5 \Leftrightarrow x_2 = 5 \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{0 ; 5 \}}}}

f)

\frac{x^2}{3} - \frac{2}{3}ax - a^2 = 0 | \cdot 3 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2ax - 3a^2 = 0 \\ \Rightarrow p = -2a    ;   q = -3a^2 \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = a^2 + 3a^2
\Rightarrow \sqrt D = \sqrt{4a^2} = 2a

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = a + 2a = 3a \\ x_2 = a - 2a = -a \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{-a ; 3a\}}}}

7.Ausführliche Lösungen:

a)

2x^2 + x - 3a = 0 | : 2 \\ \Leftrightarrow x^2 + \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}a = 0
\Rightarrow p = \frac{1}{2}   ;   q = -\frac{3}{2}a \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{1}{16} + \frac{3}{2}a \\ = \frac{1}{16} + \frac{24}{16}a = \frac{1}{16} (24a + 1) 
Da die Diskriminante von a abhängt, müssen wir eine Fallunterscheidung durchführen.

Für D > 0 gibt es 2 Lösungen.

Die Bedingung für a ist dann:
D > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{16} (24a + 1) > 0 | \cdot 16
\Leftrightarrow  24a + 1 > 0 | -1 \\ \Leftrightarrow 24a > -1 | :24 \\ \Leftrightarrow 24a > -1 | :24 \\ \Leftrightarrow a > -\frac{1}{24} \\ \sqrt D = \sqrt { \frac{1}{16}(24a + 1) } = \frac{1}{4} \sqrt { 24a +1}

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt { 24a +1}  \\ x_2 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt { 24a +1}  \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{ -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt { 24a +1}  : -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt { 24a +1} \}}}}

Für D = 0 gibt es eine Lösung.

Die Bedingung für a ist dann:
a = - \frac{1}{24} \Rightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2}
= -\frac{1}{4} \Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{ -\frac{1}{4}  \}}}}  

Für D < 0 gibt es keine Lösung.
Die Bedingung für a ist dann:
a < - \frac{1}{24} \Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{ \}}}}

b)

ax^2 + 2x - 3 = 0 | :a  \\ \Leftrightarrow x^2 + \frac{2}{a}x - \frac{3}{2} = 0
\Rightarrow p = \frac{2}{a}    ;  q = -\frac{3}{a} \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{1}{a^2} + \frac{3}{a} \\ = \frac{1}{a^2} + \frac{3a}{a^2} = \frac{1}{a^2}(3a + 1)

Für D > 0 gibt es zwei Lösungen.

D > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{a^2}(3a + 1) > 0 | \cdot a^2 \\ \Leftrightarrow 3a + 1 > 0   |  -1 \\ \Leftrightarrow 3a  > -1 | :3 
\Leftrightarrow a > - \frac{1}{3}

\sqrt D = \sqrt { \frac{1}{a^2}(3a + 1) }
=\frac{1}{a} \sqrt {3a + 1}

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = -\frac{1}{a} + \frac{1}{a}\sqrt {3a + 1} \\ x_2 = -\frac{1}{a} - \frac{1}{a}\sqrt {3a + 1} \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{-\frac{1}{a} + \frac{1}{a}\sqrt {3a + 1}   ;  -\frac{1}{a} - \frac{1}{a}\sqrt {3a + 1} \}}}}

Für D = 0 gibt es eine Lösung.

Die Bedingung für a ist dann:
a = -\frac{1}{3} \Rightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2} = -\frac{1}{a} \Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{-\frac{1}{a}\} }}}

Für D < 0 gibt es keine Lösung. Die Bedingung für a ist dann:
a < -\frac{1}{3} \Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{ \} }}}

c)

x^2 -ax + a = x | -x  \\ \Leftrightarrow x^2 -ax - x + a = 0
\Leftrightarrow x^2 - (a + 1)x + a = 0 \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = (\frac{a + 1}{2})^2 - a \\ = \frac{a^2 + 2a + 1}{4} - \frac{4a}{4} = (\frac{a - 1}{2})^2 

Für D > 0 gibt es 2 Lösungen:

D > 0 \Leftrightarrow (\frac{a - 1}{2})^2 > 0
Die Bedingung ist erfüllt für alle a \neq 1 \\ \sqrt D = \sqrt {( \frac{a - 1}{2}) }^2 = \frac{a - 1}{2} = \frac{1}{2}(a - 1)

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = \frac{1}{2}(a + 1) + \frac{1}{2}(a - 1)  \\ = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}a - \frac{1}{2} = a \\ x_2 = \frac{1}{2}(a + 1) - \frac{1}{2}(a - 1) \\ = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}a + \frac{1}{2} = 1  \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{a ;  1 \}}}}

Für D = 0 gibt es eine Lösung.

Die Bedingung für a ist dann:
a = 1 \Rightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2} \\ = \frac{1}{2}(a + 1) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1 \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{ 1 \}}}}

Diese Lösung ist bereits in der Lösung für D > 0 enthalten.

8.Ausführliche Lösung

x^2 - 2x +3k - 1 = 0
Zu zeigen ist, dass für  k ≤ \frac{2}{3} \quad  L = \{ 1 + \sqrt {2 - 3k}  ;  1 - \sqrt {2 - 3k} \}  gilt:
p = -2  ;   q = 3k - 1 \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = 1 - (3k - 1) = 1 - 3k + 1 = 2 - 3k
x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D = 1 \pm \sqrt{2 - 3k}
Da der Radikant D ≥ 0 sein muss, müssen wir prüfen, für welche Werte von k das der Fall ist.
D ≥ 0 \Leftrightarrow  2 - 3k ≥ 0 | -2 \\ \Leftrightarrow -3k ≥ -2 | : (-3) \\ \Leftrightarrow k ≤ \frac{2}{3} \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{1 + \sqrt{2 - 3k}  ;  1 - \sqrt{2 - 3k} \}}}} \quad  für \quad  k ≤ \frac{2}{3}

9.Ausführliche Lösung

x^2 - 5x + k = 0 
Als erstes setzen wir x = k in die Gleichung ein:
k^2 - 5k + k = 0 \\ \Leftrightarrow k^2 - 4k = 0 \\ \Leftrightarrow k(k - 4) = 0
Als nächstes wenden wir den Satz vom Nullprodukt an:
\Rightarrow k_1 = 0  ;   k - 4 = 0 \Leftrightarrow k_2 = 4 \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{0  ;   4 \}}}}

10.Ausführliche Lösung

x^2 - 2x - k^2 \Rightarrow p = -2  ;   q = -k^2
\Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q \\ = 1 + k^2 = k ^2 + 1 \\ \Rightarrow \sqrt D = \sqrt{k^2 + 1} > 0 für alle k ∈ ℝ.
Die Lösungen sind:
x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = 1 + \sqrt{k^2 + 1} \\ x_2 = 1 - \sqrt{k^2 + 1} \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{1 + \sqrt{k^2 + 1}  ;   1 - \sqrt{k^2 + 1} \quad für \quad alle  \quad k \in \mathbb{R} \}}}} .




Hier findest du die Aufgaben.

Und hier die dazugehörige Theorie hier: Quadratische Gleichungen und p-q-Formel
und Zusammenfassung Quadratische Funktionen.

Hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu quadratische Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.