Lösungen Quadratische Gleichungen V Gleichungen mit Brüchen
mit komplettem Lösungsweg
1.Ausführliche Lösungen:
a)
b)
c)
2.Ausführliche Lösung:
Division durch x ist nur erlaubt für x ungleich Null. Denn durch Null darf man nicht dividieren.
3.Ausführliche Lösungen:
a)Berechne die Lösungsmenge für a = 0 und für a ungleich Null!
\color{blue}{ax^2 - 6x = 0 \Rightarrow für \quad a = 0:}
-6x = 0 | : (-6) \Leftrightarrow x = {\underline{\underline{0}}} \Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{0 \}}}} \\
\color{blue}{ax^2 - 6x = 0 \Rightarrow für \quad a \neq 0:}
x(ax - 6) = 0 Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt:
x_1 = {\underline{\underline{0}}} \lor ax - 6 = 0 | +6 \\
\Leftrightarrow ax = 6 | :a \Leftrightarrow x^2 = \frac{6}{a} \Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{0 ; \frac{6}{a}\}}}}
b)Berechne die Lösungsmenge in Abhängigkeit von a!
x^2 - 2x = (2 - a)x^2 \\
\Leftrightarrow x^2 - 2x
= 2x^2 - ax^2 | -2x^2 - ax^2 \\
\Leftrightarrow -x^2 + ax^2 - 2x = 0
\Leftrightarrow x(ax - x - 2)
= 0
\Leftrightarrow x [x(a - 1) - 2] = 0
Fall 1: a = 1 \Rightarrow x [x(1 - 1) - 2] = 0 \\
\Leftrightarrow -2x = 0 | : (-2) \\
x = \underline{\underline{0}} \Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{ 0 \}}}}
Fall 2: a \neq 1 \Rightarrow x [x(a - 1) - 2] = 0
Deshalb wenden wir den Satz vom Nullprodukt an.
x_1 = \underline{\underline{0}} \lor x(a - 1) - 2 = 0 | +2 \\
\Leftrightarrow x(a - 1) = 2 | :(a - 1) \\
\Leftrightarrow x_2 = \underline{\underline{ \frac{2}{(a - 1)}}} \Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{0 ; \frac{2}{(a - 1)} \}}}}
4.Ausführliche Lösungen:
a)
b)
c)
d)
e)
f)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht -2 sein.
5.Ausführliche Lösungen:
a)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null sein.
\color{blue}{ \frac{x - 2}{15} = \frac{1}{x} \Rightarrow D = \mathbb{R}^*}
\frac{x - 2}{15} = \frac{1}{x} | \cdot x \\
\Leftrightarrow \frac{x(x - 2)}{15} = 1 | \cdot 15 \\
\Leftrightarrow x^2 - 2x
= 15 | - 15
\Leftrightarrow x^2 - 2x - 15 = 0
p = -2 \Rightarrow -\frac{p}{2} = 1 ; q = -15 \\
\Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q
= 1 + 16 = 16
\Rightarrow \sqrt D = \sqrt 16 = 4
x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = 1 + 4 = \underline{\underline{5}} \\
x_2 = 1 - 4 = \underline{\underline{-3}} \\
\Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{5 ; -3 \}}}}
b)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht -3 sein.
\color{blue}{ \frac{1}{x + 3} = x + \frac{1}{3} \Rightarrow D = \mathbb{R} \setminus (-3) }
\frac{1}{x + 3} = x + \frac{1}{3} | \cdot (x + 3) \\
\Leftrightarrow 1
= x(x + 3) + \frac{1}{3} (x + 3) \\
\Leftrightarrow 1 = x^2 + 3x + \frac{1}{3}x + 1 | -1
\Leftrightarrow 0
= x^2 + \frac{10}{3}x
Als nächstes klammern wir x aus:
\Leftrightarrow x(x + \frac{10}{3}) = 0
Dann wenden wir den Satz vom Nullprodukt an:
x = 0 \lor x + \frac{10}{3} = 0 \\
x = 0 \Rightarrow x_1
= \underline{\underline {0} } \\
x + \frac{10}{3} = 0 | - \frac{10}{3} \\
\Leftrightarrow x = -\frac{10}{3} \Rightarrow x_2 = -\frac{10}{3} \\
\Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{0 ; -\frac{10}{3} \}}}}
c)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null sein.
\color{blue}{ 3 = \frac{2}{x} - 2x \Rightarrow D = \mathbb{R}^*}
3 = \frac{2}{x} - 2x | \cdot x \\
\Leftrightarrow 3x = 2 - 2x^2 | - 3x \\
\Leftrightarrow 0
= -2x^2 - 3x + 2 | :(-2) \\
\Leftrightarrow 0 = x^2 + \frac{3}{2}x - 1
\Leftrightarrow x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0 \\
p = \frac{3}{2} \Rightarrow -\frac{p}{2} = -\frac{3}{4} \quad q = -1 \\
\Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{9}{16} + 1 = \frac{9}{16}+ \frac{16}{16} = \frac{25}{16} \\
\Rightarrow \sqrt D = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}
x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = -\frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\
x_2 = -\frac{3}{4} - \frac{5}{4} = - \frac{8}{4} = -2 \\
\Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{\frac{1}{2} ; -2 \}}}}
d)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null sein.
\color{blue}{ x + \frac{1}{6x} + \frac{5}{6} = 0 \Rightarrow D = \mathbb{R}^*}
x + \frac{1}{6x} + \frac{5}{6} = 0 | \cdot x \\
\Leftrightarrow x^2 + \frac{1}{6} + \frac{5}{6}x = 0 \\
\Leftrightarrow x^2 + \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} = 0 \\
p = \frac{5}{6} \Rightarrow -\frac{p}{2} = -\frac{5}{12} \quad q = \frac{1}{6} \\
\Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{25}{144} - \frac{1}{6} = \\
\frac{25}{144} - \frac{24}{144} = \frac{1}{144} \\
\Rightarrow \sqrt D = \sqrt{\frac{1}{144}} = \frac{1}{12}
x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = -\frac{5}{12} + \frac{1}{12} = -\frac{4}{12} = \underline{\underline{-\frac{1}{3} }} \\
x_2 = -\frac{5}{12} - \frac{1}{12} = -\frac{6}{12} = \underline{\underline{-\frac{1}{2} }} \\
\Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{-\frac{1}{3} ; -\frac{1}{2} \}}}}
e)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null sein.
\color{blue}{ \frac{21}{2x} - \frac{5}{2}x = -4 \Rightarrow D = \mathbb{R}^*}
\frac{21}{2x} - \frac{5}{2}x = -4 | \cdot x \\
\Leftrightarrow \frac{21}{2} - \frac{5}{2}x^2
= -4x | +4x \\
\Leftrightarrow - \frac{5}{2}x^2 + 4x + \frac{21}{2} = 0 | \cdot (-\frac{2}{5})
\Leftrightarrow x^2 -\frac{8}{5}x - \frac {21}{5} = 0 \\
p = - \frac{8}{5} \Rightarrow -\frac{p}{2} = \frac{4}{5} \quad q = - \frac {21}{5} \\
\Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{16}{25} + \frac {21}{5} = \frac{16}{25} + \frac{105}{25} = \frac{121}{25} \\
\\
\Rightarrow \sqrt D = \sqrt{\frac{121}{25}} = \frac{11}{5}
x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = \frac{4}{5} + \frac{11}{5} = \frac{15}{5} = \underline{\underline{3}} \\
x_2 = \frac{4}{5} - \frac{11}{5} = \underline{\underline{-\frac{7}{5} }} \\
\Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{3 ; -\frac{7}{5} \}}}}
f)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null, nicht 2 und auch nicht -1 sein.
\color{blue}{\frac{13}{x - 2} + \frac{16}{x + 1} = \frac{30}{x} \Rightarrow D = \mathbb{R}^*} \setminus \{2 ; -1\}
Der Hauptnenner ist: x(x + a)(x - 2) \\
\Rightarrow \dfrac{13x(x + 1)} {x(x + 1)(x - 2)} + \dfrac{16x(x - 2)} {x(x + 1)(x - 2)} \\
= \dfrac{30(x + 1)(x - 2)} {x(x + 1)(x - 2)}
\Leftrightarrow \dfrac{13x(x + 1) + 16x(x - 2)} {x(x + 1)(x - 2)}
= \dfrac{30(x^2 - 2x + x - 2)} {(x + 1)(x - 2)} | \cdot x(x + 1)(x - 2)
\Leftrightarrow 13x^2 + 13x + 16x^2 - 32x = 30x^2 - 60x + 30x - 60 \\
\Leftrightarrow 29x^2 - 19x
= 30x^2 - 30x - 60 | -29x^2 + 19x
\Leftrightarrow 0 = x^2 - 11x - 60 \Leftrightarrow x^2 - 11x - 60 = 0
p = -11 \Rightarrow -\frac{p}{2} = \frac{11}{2} \quad q = -60 \\
\Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{121}{4} + 60
= \frac{121}{4} + \frac{240}{4} = \frac{361}{4}
\Rightarrow \sqrt D = \sqrt{\frac{361}{4}} = \frac{19}{2}
x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = \frac{11}{2} +\frac{19}{2} = \frac{30}{2} = \underline{\underline{15}} \\
x_2 = \frac{11}{2} - \frac{19}{2} = -\frac{8}{2} = \underline{\underline{-4 }} \\
\Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{15 ; -4 \}}}}
6.Ausführliche Lösungen:
a)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht 4/3 und auch nicht -1/4 sein.
\color{blue}{\frac{2x + 1}{3x - 4} = \frac{x + 6}{4x + 1}}
Als erstes bestimmen wir die Definitionsmenge:
3x - 4 = 0 | +4 \Leftrightarrow 3x = 4 | :3 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3} \\
4x + 1 = 0 | -1 \Leftrightarrow 4x = -1 | : 4 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{4}
\Rightarrow \color{blue}{ D = \mathbb{R}^* \setminus \{ \frac{4}{3} ; -\frac{1}{4} \} }
Der Hauptnennen ist deshalb: (3x - 4)(4x + 1) \\
\Rightarrow \dfrac{(2x + 1)(4x + 1)} {(3x - 4)(4x + 1)} = \dfrac{(x + 6)(3x - 4)} {(3x - 4)(4x + 1)} | \cdot (3x - 4)(4x + 1) \\
\Leftrightarrow (2x + 1)(4x + 1)
= (x + 6)(3x - 4) \\
\Leftrightarrow 8x^2 + 2x + 4x + 1
= 3x^2 - 4x + 18x - 24
\Leftrightarrow 8x^2 + 6x + 1 = 3x^2 + 14x - 24 | -3x^2 - 14x + 24
\Leftrightarrow 5x^2 -8x + 25
= 0 | : 5 \\
\Leftrightarrow x^2 - \frac{8}{5}x + 5 = 0
p = -\frac{8}{5} \Rightarrow -\frac{p}{2} = \frac{4}{5} \quad q = 5
\Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{16}{25} - 5 \\
= \frac{16}{25} - \frac{125}{25} = -\frac{109}{25} \color{red}{ < 0 \Rightarrow L = \{ \} }
Da die Diskriminante kleiner als Null ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Das bedeutet, die Bruchgleichung hat ebenfalls keine Lösung.
b)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht 1 sein.
c)Zu beachten ist die Definitionsmenge: a darf nicht Null sein.
Statt x ist a die Variable nach der die quadratische Gleichung aufzulösen ist.
\color{blue}{\frac{1}{2} = a + 1 \Rightarrow D = \mathbb{R}^* }
\frac{1}{2} = a + 1 | \cdot a \\
\Leftrightarrow 2 = a^2 + a | - 2 \\
\Leftrightarrow
0 = a^2 + a - 2 \\
\Leftrightarrow a^2 + a - 2 = 0
p = 1 \Rightarrow -\frac{p}{2} = -\frac{1}{2} \quad q = -2
\Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{1}{4} +2 \\
= \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4}
a_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
a_1 = -\frac{1}{2} +\frac{3}{2} = \frac{2}{2} = \underline{\underline{1}} \\
x_2 = \frac{1}{2} -\frac{3}{2} = -\frac{4}{2} = \underline{\underline{-2 }} \\
\Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{1 ; -2 \}}}}
d)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null und auch nicht 4 sein.
e)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null und auch nicht 2 sein.
Der formal berechnete Wert x = 2 ist keine Lösung der Bruchgleichung, da 2 nicht zur Definitionsmenge gehört.
f)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht 1 und auch nicht 9 sein.
Da die Diskriminante kleiner als Null ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung.
Das bedeutet, die Bruchgleichung hat ebenfalls keine Lösung.
7.Ausführliche Lösungen
a)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht 1 und auch nicht 9 sein.
b)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null sein.
c)Zu beachten ist die Definitionsmenge: v darf nicht 2 sein.
Statt x ist v die Variable nach der die quadratische Gleichung aufzulösen ist.
d)Zu beachten ist die Definitionsmenge: m darf nicht Null und auch nicht -1 sein.
Statt x ist m die Variable nach der die quadratische Gleichung aufzulösen ist.
e)Zu beachten ist die Definitionsmenge: a darf nicht 3 und auch nicht 1 sein.
Statt x ist a die Variable nach der die quadratische Gleichung aufzulösen ist.
f)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht 2 sein.
Die Äquivalenzumformung der Bruchgleichung führt auf eine lineare Gleichung. Diese hat nur eine Lösung.
Hier finden Sie die Aufgaben.
Und hier die dazugehörige Theorie hier: Quadratische Gleichungen und p-q-Formel
und Zusammenfassung Quadratische Funktionen.
Hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu quadratische Funktionen, darin auch Links zur Theorie und zu weiteren Aufgaben.
