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Aufgabensammlung Gleichungen Mathematik Quadratische Gleichungen Sekundarstufe 1

Lösungen Quadratische Gleichungen V Brüche

Lösungen Quadratische Gleichungen V Gleichungen mit Brüchen
mit komplettem Lösungsweg

1.Ausführliche Lösungen:

a)
01a_l: Quadratische Gleichung mit zwei Lösungen
b)
01b_l: Quadratische Gleichung mit keiner Lösung
c)
01c_l

2.Ausführliche Lösung:

02_l: Quadratische Gleichung gelöst mit dem Satz vom Nullprodukt
Division durch x ist nur erlaubt für x ungleich Null. Denn durch Null darf man nicht dividieren.


3.Ausführliche Lösungen:

a)Berechne die Lösungsmenge für a = 0 und für a ungleich Null!

\color{blue}{ax^2 - 6x = 0 \Rightarrow für \quad a = 0:}
-6x = 0  | : (-6)  \Leftrightarrow x = {\underline{\underline{0}}}  \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{0 \}}}}  \\ \color{blue}{ax^2 - 6x = 0 \Rightarrow für \quad a \neq 0:}
x(ax - 6) = 0    Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt:
x_1 = {\underline{\underline{0}}}   \lor   ax - 6 = 0  | +6 \\ \Leftrightarrow ax = 6  | :a \Leftrightarrow x^2 = \frac{6}{a} \Rightarrow \color{red}{\underline{\underline{L = \{0   ;  \frac{6}{a}\}}}}

b)Berechne die Lösungsmenge in Abhängigkeit von a!

x^2 - 2x = (2 - a)x^2 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x = 2x^2 - ax^2  | -2x^2 - ax^2 \\ \Leftrightarrow -x^2 + ax^2 - 2x = 0
\Leftrightarrow x(ax - x - 2) = 0
\Leftrightarrow x [x(a - 1) - 2] = 0

Fall 1:  a = 1 \Rightarrow x [x(1 - 1) - 2] = 0 \\ \Leftrightarrow -2x = 0  | : (-2)   \\
  x = \underline{\underline{0}}   \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{ 0 \}}}}

Fall 2:  a \neq 1 \Rightarrow x [x(a - 1) - 2] = 0
Deshalb wenden wir den Satz vom Nullprodukt an.
x_1 = \underline{\underline{0}}  \lor  x(a - 1) - 2 = 0   | +2 \\ \Leftrightarrow x(a - 1) = 2  | :(a - 1) \\ \Leftrightarrow x_2 = \underline{\underline{ \frac{2}{(a - 1)}}} \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{0 ;  \frac{2}{(a - 1)} \}}}}

4.Ausführliche Lösungen:

a)
04a_l
b)
04b_l: Quadratische Gleichung mit nur einer Lösung
c)
04c_l
d)
04d_l
e)
04e_l
f)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht -2 sein.
04f_l

5.Ausführliche Lösungen:

a)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null sein.

\color{blue}{ \frac{x - 2}{15} = \frac{1}{x} \Rightarrow D = \mathbb{R}^*} 
\frac{x - 2}{15} = \frac{1}{x}  | \cdot x \\ \Leftrightarrow \frac{x(x - 2)}{15} = 1 | \cdot 15 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x = 15  | - 15
\Leftrightarrow x^2 - 2x - 15 = 0 

p = -2 \Rightarrow -\frac{p}{2} = 1   ;   q = -15 \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = 1 + 16 = 16 
\Rightarrow \sqrt D = \sqrt 16 = 4  

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = 1 + 4 = \underline{\underline{5}} \\ x_2 = 1 - 4 = \underline{\underline{-3}} \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{5 ; -3 \}}}}

b)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht -3 sein.

\color{blue}{ \frac{1}{x + 3} = x + \frac{1}{3}  \Rightarrow D = \mathbb{R} \setminus (-3) }
\frac{1}{x + 3} = x + \frac{1}{3}   | \cdot (x + 3) \\ \Leftrightarrow 1 = x(x + 3) + \frac{1}{3} (x + 3) \\ \Leftrightarrow 1 = x^2 + 3x + \frac{1}{3}x + 1   | -1
\Leftrightarrow 0 = x^2 + \frac{10}{3}x 
Als nächstes klammern wir x aus:
\Leftrightarrow x(x + \frac{10}{3})  = 0   

Dann wenden wir den Satz vom Nullprodukt an:
x = 0   \lor   x + \frac{10}{3} = 0 \\ x = 0 \Rightarrow x_1 = \underline{\underline {0} } \\ x + \frac{10}{3} = 0  | - \frac{10}{3} \\ \Leftrightarrow x = -\frac{10}{3} \Rightarrow  x_2 = -\frac{10}{3} \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{0  ;  -\frac{10}{3} \}}}}

c)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null sein.

\color{blue}{ 3 = \frac{2}{x} - 2x  \Rightarrow D = \mathbb{R}^*} 
3 = \frac{2}{x} - 2x  | \cdot x \\ \Leftrightarrow 3x = 2 - 2x^2  | - 3x \\ \Leftrightarrow 0 = -2x^2 - 3x + 2   | :(-2) \\ \Leftrightarrow 0 = x^2 + \frac{3}{2}x - 1 
\Leftrightarrow x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0 \\ p = \frac{3}{2} \Rightarrow -\frac{p}{2} = -\frac{3}{4} \quad  q = -1 \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{9}{16} + 1 = \frac{9}{16}+ \frac{16}{16} = \frac{25}{16} \\ \Rightarrow \sqrt D = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = -\frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\ x_2 = -\frac{3}{4} - \frac{5}{4} = - \frac{8}{4} = -2 \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{\frac{1}{2} ; -2 \}}}}

d)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null sein.

\color{blue}{ x + \frac{1}{6x} + \frac{5}{6} = 0  \Rightarrow D = \mathbb{R}^*} 
x + \frac{1}{6x} + \frac{5}{6} = 0  | \cdot x \\ \Leftrightarrow x^2 + \frac{1}{6} + \frac{5}{6}x = 0 \\ \Leftrightarrow x^2 + \frac{5}{6}x + \frac{1}{6}  = 0 \\ p = \frac{5}{6}  \Rightarrow -\frac{p}{2} = -\frac{5}{12} \quad  q = \frac{1}{6} \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{25}{144} - \frac{1}{6} =  \\ \frac{25}{144} - \frac{24}{144} = \frac{1}{144} \\ \Rightarrow \sqrt D = \sqrt{\frac{1}{144}} = \frac{1}{12}

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = -\frac{5}{12} + \frac{1}{12} = -\frac{4}{12} = \underline{\underline{-\frac{1}{3} }} \\ x_2 =  -\frac{5}{12} - \frac{1}{12} = -\frac{6}{12} = \underline{\underline{-\frac{1}{2} }} \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{-\frac{1}{3} ; -\frac{1}{2} \}}}}

e)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null sein.

\color{blue}{ \frac{21}{2x} - \frac{5}{2}x = -4  \Rightarrow D = \mathbb{R}^*} 
\frac{21}{2x} - \frac{5}{2}x = -4   | \cdot x \\ \Leftrightarrow \frac{21}{2} - \frac{5}{2}x^2 = -4x   | +4x \\ \Leftrightarrow - \frac{5}{2}x^2 + 4x + \frac{21}{2} = 0   | \cdot (-\frac{2}{5})
\Leftrightarrow x^2 -\frac{8}{5}x - \frac {21}{5} = 0 \\ p = - \frac{8}{5} \Rightarrow  -\frac{p}{2} = \frac{4}{5}  \quad q = - \frac {21}{5} \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{16}{25} + \frac {21}{5} = \frac{16}{25} + \frac{105}{25} = \frac{121}{25} \\ \\ \Rightarrow \sqrt D = \sqrt{\frac{121}{25}} = \frac{11}{5}

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = \frac{4}{5}  + \frac{11}{5} = \frac{15}{5} = \underline{\underline{3}}  \\ x_2 = \frac{4}{5}  - \frac{11}{5} = \underline{\underline{-\frac{7}{5} }}  \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{3  ; -\frac{7}{5} \}}}}

f)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null, nicht 2 und auch nicht -1 sein.

\color{blue}{\frac{13}{x - 2} + \frac{16}{x + 1} = \frac{30}{x}   \Rightarrow D = \mathbb{R}^*}  \setminus \{2 ; -1\}
Der Hauptnenner ist: x(x + a)(x - 2) \\ \Rightarrow \dfrac{13x(x + 1)} {x(x + 1)(x - 2)} + \dfrac{16x(x - 2)} {x(x + 1)(x - 2)} \\ = \dfrac{30(x + 1)(x - 2)} {x(x + 1)(x - 2)}

\Leftrightarrow \dfrac{13x(x + 1) + 16x(x - 2)} {x(x + 1)(x - 2)}
= \dfrac{30(x^2 - 2x + x - 2)} {(x + 1)(x - 2)} |  \cdot x(x + 1)(x - 2)

\Leftrightarrow 13x^2 + 13x + 16x^2 - 32x = 30x^2 - 60x + 30x - 60 \\ \Leftrightarrow 29x^2 - 19x = 30x^2 - 30x - 60  | -29x^2 + 19x
\Leftrightarrow 0 = x^2 - 11x - 60 \Leftrightarrow x^2 - 11x - 60 = 0

p = -11 \Rightarrow  -\frac{p}{2} = \frac{11}{2}  \quad q = -60 \\ \Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{121}{4} + 60 = \frac{121}{4} + \frac{240}{4} = \frac{361}{4}
\Rightarrow \sqrt D = \sqrt{\frac{361}{4}} = \frac{19}{2}

x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
x_1 = \frac{11}{2} +\frac{19}{2}  = \frac{30}{2} = \underline{\underline{15}}  \\ x_2 = \frac{11}{2} - \frac{19}{2}  = -\frac{8}{2} = \underline{\underline{-4 }}  \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{15  ;  -4 \}}}}



6.Ausführliche Lösungen:

a)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht 4/3 und auch nicht -1/4 sein.

\color{blue}{\frac{2x + 1}{3x - 4} = \frac{x + 6}{4x + 1}}
Als erstes bestimmen wir die Definitionsmenge:
3x - 4 = 0   | +4 \Leftrightarrow 3x = 4   | :3 \Leftrightarrow  x = \frac{4}{3} \\ 4x + 1 = 0   | -1 \Leftrightarrow 4x = -1   | : 4 \Leftrightarrow  x = -\frac{1}{4} 
\Rightarrow \color{blue}{ D = \mathbb{R}^* \setminus \{ \frac{4}{3} ; -\frac{1}{4} \} }

Der Hauptnennen ist deshalb: (3x - 4)(4x + 1) \\ \Rightarrow \dfrac{(2x + 1)(4x + 1)} {(3x - 4)(4x + 1)}  = \dfrac{(x + 6)(3x - 4)} {(3x - 4)(4x + 1)} | \cdot (3x - 4)(4x + 1)  \\ \Leftrightarrow (2x + 1)(4x + 1) =  (x + 6)(3x - 4) \\ \Leftrightarrow 8x^2 + 2x + 4x + 1 = 3x^2 - 4x + 18x - 24
\Leftrightarrow 8x^2 + 6x + 1 = 3x^2 + 14x - 24  | -3x^2 - 14x + 24
\Leftrightarrow 5x^2 -8x + 25 = 0 | : 5 \\ \Leftrightarrow x^2 - \frac{8}{5}x + 5 = 0

p = -\frac{8}{5} \Rightarrow  -\frac{p}{2} = \frac{4}{5}  \quad q = 5
\Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{16}{25} - 5 \\ = \frac{16}{25} - \frac{125}{25} = -\frac{109}{25} \color{red}{  < 0 \Rightarrow L = \{  \} }

Da die Diskriminante kleiner als Null ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Das bedeutet, die Bruchgleichung hat ebenfalls keine Lösung.

b)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht 1 sein.

06b_l

c)Zu beachten ist die Definitionsmenge: a darf nicht Null sein.
Statt x ist a die Variable nach der die quadratische Gleichung aufzulösen ist.

\color{blue}{\frac{1}{2} = a + 1  \Rightarrow D = \mathbb{R}^*  }
\frac{1}{2} = a + 1  | \cdot a \\ \Leftrightarrow 2 = a^2 + a | - 2 \\ \Leftrightarrow 0 = a^2 + a - 2 \\ \Leftrightarrow a^2 + a - 2 = 0 

p = 1 \Rightarrow  -\frac{p}{2} = -\frac{1}{2}  \quad q = -2
\Rightarrow D = (\frac{p}{2})^2 - q = \frac{1}{4} +2 \\ = \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4} 

a_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt D
a_1 = -\frac{1}{2} +\frac{3}{2}  = \frac{2}{2} = \underline{\underline{1}}  \\ x_2 = \frac{1}{2} -\frac{3}{2}  = -\frac{4}{2}  =  \underline{\underline{-2 }}  \\ \Rightarrow  \color{red}{\underline{\underline{L = \{1  ;  -2 \}}}}

 

d)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null und auch nicht 4 sein.

06d_l

e)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null und auch nicht 2 sein.

06e_l
Der formal berechnete Wert x = 2 ist keine Lösung der Bruchgleichung, da 2 nicht zur Definitionsmenge gehört.
f)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht 1 und auch nicht 9 sein.

06f_l
Da die Diskriminante kleiner als Null ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung.
Das bedeutet, die Bruchgleichung hat ebenfalls keine Lösung.

7.Ausführliche Lösungen

a)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht 1 und auch nicht 9 sein.

07a_l
b)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht Null sein.

07b_l

c)Zu beachten ist die Definitionsmenge: v darf nicht 2 sein.
Statt x ist v die Variable nach der die quadratische Gleichung aufzulösen ist.

07c_l

d)Zu beachten ist die Definitionsmenge: m darf nicht Null und auch nicht -1 sein.
Statt x ist m die Variable nach der die quadratische Gleichung aufzulösen ist.

07d_l

e)Zu beachten ist die Definitionsmenge: a darf nicht 3 und auch nicht 1 sein.
Statt x ist a die Variable nach der die quadratische Gleichung aufzulösen ist.

07e_l

f)Zu beachten ist die Definitionsmenge: x darf nicht 2 sein.

07f_l
Die Äquivalenzumformung der Bruchgleichung führt auf eine lineare Gleichung. Diese hat nur eine Lösung.




Hier finden Sie die Aufgaben.

Und hier die dazugehörige Theorie hier: Quadratische Gleichungen und p-q-Formel
und Zusammenfassung Quadratische Funktionen.

Hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu quadratische Funktionen, darin auch Links zur Theorie und zu weiteren Aufgaben.