Lösungen der Aufgaben zur Kombinatorik II
1.In einer Urne befinden sich 14 gleichgroße Kärtchen, auf denen jeweils nur ein Buchstabe aufgedruckt ist.
Es werden folgende Zufallsexperimente durchgeführt:
a)Aus der Urne werden mit einem Griff zwei Kärtchen gezogen.
Folgende Ereignisse sind definiert:
A: Die Buchstaben auf den beiden Kärtchen sind gleich.
B: Die zwei gezogenen Buchstaben sind Konsonanten.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
b)Der Urne werden nacheinander fünf Kärtchen entnommen und der Reihe nach nebeneinander gelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Wort TANNE entsteht?
c)Fünf Kärtchen werden mit einem Griff der Urne entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich mit den gezogenen Buchstaben das Wort TANTE legen lässt?
d)Jens schlägt folgendes Spiel vor:
Aus der Urne werden mit einem Griff drei Kärtchen gezogen. Es wird nach folgender Tabelle ausgezahlt:
Wie hoch muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?
e) Aus der Urne werden mit einem Griff zwei Kärtchen gezogen.
(1):Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, das die gezogenen Buchstaben Vokale oder Konsonanten sind.
(2):Wie viel Kärtchen mit Konsonanten müssen zusätzlich in die Urne gegeben werden, damit die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis unter(1) gleich 0,5 ist?
1.Ausführliche Lösungen
Die Urne enthält insgesamt 14 Buchstaben: 1 A; 4 E; 5 N; 1 O; 3 T
a)
I. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf beiden Karten die Buchstaben gleich sind ist 0,209.
II. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf beiden Karten die Buchstaben Konsonanten sind ist 0,307.
III. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf beiden Karten die Buchstaben gleich oder Konsonanten sind ist 0,374.
Wenn man weiß, dass die Buchstaben auf beiden Karten Konsonanten sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das es sich um gleiche Buchstaben handelt 0,464.
b) 5 Karten angeordnet bilden das Wort TANNE
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Wort TANNE entsteht, ist etwa 0,001.
c)5 Karten mit einem Griff.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Wort TANTE legen lässt,ist etwa 0,03.
d)Unter den 14 Buchstaben gibt es 6 Vokale und 8 Konsonanten.
Die Werte der Zufallsvariablen X sind:
Deren Wahrscheinlichkeit ist:
Wahrscheinlichkeiten der Zufallsvariablen und Berechnung des Erwartungswerts:
Bei einem Einsatz von 4 € ist das Spiel fair.
d) (1) 6 Vokale und 8 Konsonanten befinden sich in der Urne.
(2) Werden x Vokale dazu getan, dann gilt für die Anzahl der Vokale: 8 + x
Es müssen 2 Karten mit Konsonanten dazugegeben werden. Das gleiche Ergebnis (P = 0,5) würde man erhalten, wenn man 5 Konsonanten entfernt.
