Wahrscheinlichkeiten und Zählstrategien

Wahrscheinlichkeiten und Zählstrategien

Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung konnten im Wesentlichen mit übersichtlichen Ergebnisbäumen bearbeitet werden. Doch diese Methode hat ihre Grenzen. Das zeigt schon allein das Beispiel des mehrmaligen Wurfes eines Würfels. Danach beschäftigen wir uns in diesem Beitrag mit der Ereignissen, die in einer bestimmten Reihenfolge, also in einer bestimmten Kombination, erfolgen. Deshalb spricht man hier auch von der

Kombinatorik


Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird k – mal geworfen. Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 6 Kugeln mit den Nummern 1 bis 6 enthält, k mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen wird.
A: Mit jedem Wurf, bzw. Zug erhält man eine 4.
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei jedem der k Würfe bzw. Züge eine 4 zu erhalten?
b)Wie viele Elemente enthält die Ergebnismenge (Anzahl aller Möglichkeiten)?

Lösung:

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a)Da es sich bei dem Versuch um ein Laplace-Experiment handelt, wo für alleErgebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit angenommen werden kann, gilt für die Wahrscheinlichkeit nach jeder Stufe eine 4 zu erhalten:

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b)Da die Anzahl der Äste im Baumdiagramm sich mit jeder Stufe versechsfachen, gilt für die k – te Stufe:

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Verallgemeinert man diese Gesetzmäßigkeit derart, dass man sagt:
In einer Urne befinden sich n gleichartige Kugeln mit den Nummern 1, 2, …, n, wobei k mal mit zurücklegen gezogen wird, dann ist die Anzahl der Möglichkeiten nk.

Satz:

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Beispiel:

Bei der Fußballwette (Toto) muss man für 11 Spiele an einem Wochenende vorhersagen, ob die Heimmannschaft gewinnt (Tipp: 1) oder die Gastmannschaft (Tipp: 2) oder ob beide Mannschaften unentschieden spielen (Tipp: 0).
a)Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Toto – Tippzettel auszufüllen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Tipp mit 11 richtigen?
Lösung:a)Modellierung mit dem Urnenmodell:
Eine Urne enthält drei Kugeln mit den Nummern 0; 1 und 2. Es wird 11 mal gezogen mit Zurücklegen.

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b)
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Übung:

Ein Fahrradschloss (Zahlenschloss) besteht aus vier unabhängig voneinander beweglichen Rädern, die jeweils 6 Ziffern ( von 1 bis 6 )enthalten. Das Schloss öffnet sich nur bei einer ganz bestimmten Zahlenkombination. Wie viele Stellungen (Zahlenkombinationen) hat das Fahrradschloss und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Einstellung das Schloss zu öffnen?
Lösung unten

Übung:

Aus den 26 Buchstaben des Alphabets werden nacheinander blind drei Buchstaben mit Zurücklegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dreimal denselben Buchstaben zu ziehen?
Lösung unten




Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne liegen 4 Kugeln mit den Farben rot, gelb, grün und blau.
Man zieht eine Kugel, registriert die Nummer, legt die Kugel zur Seite und wiederholt den Vorgang.
Insgesamt sind 4 Züge möglich, dann ist die Urne leer.
Wie viele Elemente enthält die Ergebnismenge (Anzahl aller Möglichkeiten)?

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Wie aus dem Baumdiagramm leicht abzulesen ist, verringert sich von Stufe zu Stufe die Anzahl der Äste um 1.

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Die aus dem Baumdiagramm abzulesende Gesetzmäßigkeit lässt sich verallgemeinern.
Betrachtet man nun eine Urne mit n Kugeln nummeriert von 1 bis n und führt k Züge ohne zurücklegen durch, so gilt für die Anzahl der Möglichkeiten:

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Ein Produkt, bei dem jeder Folgefaktor um 1 erniedrigt wird, nennt man Fakultät.

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Satz:
f_1207 geordnete Stichprobe ohne zurücklegen

Beispiel:

Ein Computerprogramm ist durch ein Passwort geschützt. Dieses Passwort besteht aus 4 unterschiedlichen Buchstaben.
a)Wie viele Passwörter sind möglich?
b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Code mit einem Versuch geknackt werden?
Lösung:a)Es stehen alle 26 Buchstaben des Alphabets genau einmal zur Verfügung. Für den ersten Buchstaben des Wortes kommen alle 26 Buchstaben des Alphabets, für den zweiten nur noch 25 Buchstaben in Frage usw. Es handelt sich um eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen. Aus n = 26 Buchstaben werden k = 4 Buchstaben gezogen.

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b)Da es nur einen richtigen Code gibt, wird die Erfolgswahrscheinlichkeit unmittelbar berechnet:
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Übung:

In einer Lostrommel befinden sich 6 Lose mit den Nummern 1 bis 6. Ein Spieler zieht nacheinander drei Lose. Zieht er in der Reihenfolge die Nummern 2, 4 und 6, so hat er gewonnen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn.
Lösung unten




Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Ziehung der Lottozahlen werden 6 Zahlen aus insgesamt 49 Zahlen gezogen. Dabei handelt es sich um ein Ziehen ohne zurücklegen.
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Da es bei der Ziehung nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Zahlen ankommt, verringert sich die Anzahl der Möglichkeiten um den Teil, wie oft sich die gezogenen Zahlen anordnen lassen.
Werden z. B. die Zahlen 3, 12, 17, 22, 36 und 41 gezogen, so kann man sie auch in der Form 17, 22, 41, 3, 36 und 12 anordnen. Das hat für den Gewinn keine Bedeutung. Um die Anzahl der Möglichkeiten beim Lotto herauszufinden, müssen wir Anzahl der möglichen Vertauschungen der 6 Zahlen herausfinden. Oder anders ausgedrückt, wir müssen herausfinden, auf wie viele verschiedene Arten sich diese 6 Zahlen anordnen lassen.Die Lösung lässt sich leicht durch ein Urnenexperiment finden.
In einer Urne befinden sich n = 6 Kugeln mit den Nummern von 1 bis 6. Zieht man nun der Reihe nach (Ziehen ohne Zurücklegen) k = 6 mal, bis die Urne leer ist, dann hat man alle Möglichkeiten gefunden, die 6 Zahlen anzuordnen.

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Wird aus einer Urne mit n Elementen solange gezogen (Ziehen ohne Zurücklegen), bis die Urne leer ist, dann ist, dann spricht man von einer geordneten Vollerhebung. In diesem Fall ist n = k. Für n verschiedene Elemente gibt es n! Vollerhebungen.
Mit anderen Worten:
Eine Menge aus n unterschiedlichen Elementen lässt sichauf n! verschiedene Arten anordnen.Kommen wir zurück zu unserem Lotto – Beispiel.
Bisher haben wir ermittelt wie viele Möglichkeiten es gibt, aus 49 zahlen 6 zahlen zu ziehen. Da es bei der Auswertung nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Zahlen ankommt, muss die Anzahl der Möglichkeiten durch 6! geteilt werden.
Damit wird die Anzahl der Möglichkeiten im Lotto 6 richtige zu haben:

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Satz:

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Beispiel:

Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden 4 Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies 4 Buben sind?Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen.

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Übung:

Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden 8 Karten gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies 8 Karo – Karten sind?
Lösung unten

Etwas anspruchsvollere Taschenrechner haben für die oben genannten Formeln Funktionstasten, mit denen der Rechenvorgang sehr vereinfacht werden kann.
Für den TI – 30 eco RS von Texas Instruments gilt beispielsweise:

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Zusammenfassung

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Kombinatorik – Rechner   Interaktiv: Folgende Kombinationen können berechnet werden:
1. Anordnung von k Elementen.
2. Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen.
3. Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen.
4. Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen.
5. Binominalverteilung.

Lösung der Übungen:

Ein Fahrradschloss (Zahlenschloss) besteht aus vier unabhängig voneinander beweglichen Rädern, die jeweils 6 Ziffern ( von 1 bis 6 )enthalten. Das Schloss öffnet sich nur bei einer ganz bestimmten Zahlenkombination.Wie viele Stellungen (Zahlenkombinationen) hat das Fahrradschloss und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Einstellung das Schloss zu öffnen? Lösung: Modellierung mit dem Urnenmodell:Eine Urne enthält n = 6 Kugeln mit den Nummern 1 bis 6. Es wird k = 4 mal gezogen mit Zurücklegen.

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Lösung der Übung:

Aus den 26 Buchstaben des Alphabets werden nacheinander blind drei Buchstaben mit Zurücklegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dreimal denselben Buchstaben zu ziehen? Lösung: Modellierung mit dem Urnenmodell:
Eine Urne enthält n = 26 Kugeln mit den Buchstaben A bis Z.
Es wird k = 3 mal gezogen mit Zurücklegen.

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Lösung der Übung:

In einer Lostrommel befinden sich 6 Lose mit den Nummern 1 bis 6. Ein Spieler zieht nacheinander drei Lose. Zieht er in der Reihenfolge die Nummern 2, 4 und 6, so hat er gewonnen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn. Lösung: Zuerst wird die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, von diesen gibt es nur eine, die zum Gewinn führt, nämlich die Zahlenfolge 2, 4, 6. Es handelt sich um eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen. Aus n = 6 Zahlen werden k = 3 Zahlen gezogen.

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Lösung der Übung:

Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden 8 Karten gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies 8 Karo – Karten sind? Lösung:

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Aufgaben hierzu mit Berechnung der Wahrscheinlichkeiten bei Lotto spielen

und Aufgaben zu Stichproben II mit Berechnung der Wahrscheinlichkeiten bei einem Multiple-Choice-Test

und Aufgaben zu Stichporben III

Im nächsten Beitrag geht es um Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Erwartungswert



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