Ergänzung zu den Lösungen zum Hypothesentest II
Theorie hierzu Grundlagen zum Hypothesentest
und Hypothesentest, ein einfacher Zugang mit Würfeln
Erläuterungen
Die hier dargestellten Rechnungen sind Teilberechnungen, aus bestehenden Hypothesentestaufgaben, auf die an entsprechender Stelle verlinkt wird. Die Rechnungen wurden mit dem GTR Casio fx-CG20 durchgeführt. Abweichungen in den Ergebnissen sind darauf zurückzuführen, dass die Originalaufgaben mit Tabellenwerten entsprechender Binomialverteilungen, bzw. mit Näherungswerten der Normalverteilung berechnet wurden.
Aufgabe 1.1 Ausführliche Lösung
Nullhypothese: H0: p = 0,3 Alternativhypothese: H1: p ≠ 0,3
Signifikanzniveau: α ≤ 10%.
Fehler 2. Art für p = 0,2 ermitteln.
Bei einem Erhebungsumfang von n = 170 verzeichnet man k Erfolge.
Es handelt sich um einen beidseitigen Hypothesentest, denn kleine, wie auch große Werte von k sprechen gegen H0.
Da es zwei Ablehnungsbereiche gibt, wird hier die Vereinbarung getroffen, dass diese sich symmetrisch zum Erwartungswert 51 positionieren.
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.
Ablehnungs-und Annahmebereich sehen dann wie folgt aus:
{ 0 … 40 } { 41 …. 51 … 61 } { 62 … 170 }
Fällt die Anzahl k der Erfolge in einen der beiden Ablehnungsbereiche, wird die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 7,83%.
Eingabeprozedur:
Aufgabe 1.2 Ausführliche Lösung
Falls H0 nicht gilt, sondern p = 0,2 richtig ist, d.h. die Hypothese p = 0,3 ist falsch, aber das Stichprobenergebnis fällt zufällig in den Annahmebereich von H0 , nimmt man H0 fälschlicherweise an.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Fehler zu machen ist der Fehler 2. Art.
Man bestimmt diesen Fehler, indem man unter der Annahme, dass p = 0,2 richtig ist, die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs von H0 berechnet.
Falls H0 falsch und p = 0,2 richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 10,7% in den Annahmebereich von H0.
Die Nullhypothese würde fälschlicherweise angenommen werden.
Dieser Fehler heißt Fehler 2. Art.
Er beträgt 10,7% und ist im Vergleich zum Fehler 1. Art mit 7,83% vergleichbar groß.
Eingabeprozedur:
Aufgabe 2.1. Ausführliche Lösung
Bei einem Erhebungsumfang von n = 300 verzeichnet man k Erfolge.
Verschiedene Interessen erfordern unterschiedliche Hypothesentests des selben Objektes.
Nullhypothese: H0: p ≤ 0,05 Alternativhypothese: H1: p > 0,05
Nullhypothese: H0: p ≥ 0,05 Alternativhypothese: H1: p < 0,05
Signifikanzniveau in beiden Fällen: α ≤ 5%.
Es ist jeweils ein rechts – bzw. linksseitiger Test durchzuführen.
Rechtsseitiger Test:
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.
Bei einer Anzahl von k = 22 oder mehr Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 4,85%.
Eingabeprozedur:
Aufgabe 2.2. Ausführliche Lösung
Bei einem Erhebungsumfang von n = 300 verzeichnet man k Erfolge.
Nullhypothese: H0: p ≥ 0,05 Alternativhypothese: H1: p < 0,05
Signifikanzniveau: α ≤ 5%.
Linksseitiger Test:
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.
Bei einer Anzahl von k = 8 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 3,4%.
Eingabeprozedur:
Aufgabe 2.3. Lösung
Gegenüberstellung von linksseitigem und rechtsseitigem Hypothesentest
Rechtsseitiger Test:
Fehler 1. Art 4,85%
Bei mehr als 21 Erfolgen wird H0 abgelehnt.
Linkssseitiger Test:
Fehler 1. Art 3,4%
Bei weniger als 9 Erfolgen wird H0 abgelehnt.
Aufgabe 3. Ausführliche Lösung
Nullhypothese: H0: p ≥ 0,15 Alternativhypothese: H1: p < 0,15
Signifikanzniveau: α ≤ 5%.
Bei einem Erhebungsumfang von n = 140 verzeichnet man k Erfolge.
Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest, denn kleine Werte von k sprechen gegen H0.
Wie ändert sich der Fehler 1. Art, wenn k = 19 als untere Grenze des Annahmebereichs von H0 eingesetzt wird?
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.
Bei einer Anzahl von k = 13 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 3,22%.
Eingabeprozedur:
Wird der Ablehnungsbereich auf { 0 … 18 } vergrößert, dann gilt für das Signifikanzniveau:
Bei einer Anzahl von k = 18 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann jezt etwa 28,3%.
Rechenhelfer für die Binomialverteilung
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