Lösungen der Aufgaben zum Hypothesentest II mit dem
grafikfähigen Taschenrechner Casio fx-CG50 und Casio fx-CG20
Erläuterungen
Die hier dargestellten Rechnungen sind Teilberechnungen, aus bestehenden Hypothesentestaufgaben, auf die an entsprechender Stelle verlinkt wird. Die Rechnungen wurden mit dem GTR Casio fx-CG20 durchgeführt. Abweichungen in den Ergebnissen sind darauf zurückzuführen, dass die Originalaufgaben mit Tabellenwerten entsprechender Binomialverteilungen, bzw. mit Näherungswerten der Normalverteilung berechnet wurden.
Update auf Casio fx-CG50
Aufgabe 1.1 Ausführliche Lösung
Nullhypothese: H0: p = 0,3 Alternativhypothese: H1: p ≠ 0,3
Signifikanzniveau: α ≤ 10%.
Fehler 2. Art für p = 0,2 ermitteln.
Bei einem Erhebungsumfang von n = 170 verzeichnet man k Erfolge.
Es handelt sich um einen beidseitigen Hypothesentest, denn kleine, wie auch große Werte von k sprechen gegen H0.
Da es zwei Ablehnungsbereiche gibt, wird hier die Vereinbarung getroffen, dass diese sich symmetrisch zum Erwartungswert 51 positionieren.
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.
Ablehnungs-und Annahmebereich sehen dann wie folgt aus:
{ 0 … 40 } { 41 …. 51 … 61 } { 62 … 170 }
Fällt die Anzahl k der Erfolge in einen der beiden Ablehnungsbereiche, wird die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 7,83%.
Eingabeprozedur:
Aufgabe 1.2 Ausführliche Lösung
Falls H0 nicht gilt, sondern p = 0,2 richtig ist, d.h. die Hypothese p = 0,3 ist falsch, aber das Stichprobenergebnis fällt zufällig in den Annahmebereich von H0 , nimmt man H0 fälschlicherweise an.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Fehler zu machen ist der Fehler 2. Art.
Man bestimmt diesen Fehler, indem man unter der Annahme, dass p = 0,2 richtig ist, die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs von H0 berechnet.
Falls H0 falsch und p = 0,2 richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 10,7% in den Annahmebereich von H0.
Die Nullhypothese würde fälschlicherweise angenommen werden.
Dieser Fehler heißt Fehler 2. Art.
Er beträgt 10,7% und ist im Vergleich zum Fehler 1. Art mit 7,83% vergleichbar groß.
Eingabeprozedur:
Aufgabe 2.1. Ausführliche Lösung
Bei einem Erhebungsumfang von n = 300 verzeichnet man k Erfolge.
Verschiedene Interessen erfordern unterschiedliche Hypothesentests des selben Objektes.
Nullhypothese: H0: p ≤ 0,05 Alternativhypothese: H1: p > 0,05
Nullhypothese: H0: p ≥ 0,05 Alternativhypothese: H1: p < 0,05
Signifikanzniveau in beiden Fällen: α ≤ 5%.
Es ist jeweils ein rechts – bzw. linksseitiger Test durchzuführen.
Rechtsseitiger Test:
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.
Bei einer Anzahl von k = 22 oder mehr Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 4,85%.
Eingabeprozedur:
Aufgabe 2.2. Ausführliche Lösung
Bei einem Erhebungsumfang von n = 300 verzeichnet man k Erfolge.
Nullhypothese: H0: p ≥ 0,05 Alternativhypothese: H1: p < 0,05
Signifikanzniveau: α ≤ 5%.
Linksseitiger Test:
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.
Bei einer Anzahl von k = 8 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 3,4%.
Eingabeprozedur:
Aufgabe 2.3. Lösung
Gegenüberstellung von linksseitigem und rechtsseitigem Hypothesentest
Rechtsseitiger Test:
Fehler 1. Art 4,85%
Bei mehr als 21 Erfolgen wird H0 abgelehnt.
Linkssseitiger Test:
Fehler 1. Art 3,4%
Bei weniger als 9 Erfolgen wird H0 abgelehnt.
Aufgabe 3. Ausführliche Lösung
Nullhypothese: H0: p ≥ 0,15 Alternativhypothese: H1: p < 0,15
Signifikanzniveau: α ≤ 5%.
Bei einem Erhebungsumfang von n = 140 verzeichnet man k Erfolge.
Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest, denn kleine Werte von k sprechen gegen H0.
Wie ändert sich der Fehler 1. Art, wenn k = 19 als untere Grenze des Annahmebereichs von H0 eingesetzt wird?
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.
Bei einer Anzahl von k = 13 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 3,22%.
Eingabeprozedur:
Wird der Ablehnungsbereich auf { 0 … 18 } vergrößert, dann gilt für das Signifikanzniveau:
Bei einer Anzahl von k = 18 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann jezt etwa 28,3%.
Rechenhelfer für die Binomialverteilung
