Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen
In diesem Beitrag stelle ich zuerst Beispiele von Binomialverteilungen für n = 40 und p variabel mit einer Graphik vor. Danach erkläre ich, wie man den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet und stelle die Formel vor. Doch wenn der Erwartungswert zweier binomialverteilter Zufallsgrößen gleich ist, können sie sich durch Varianz und Standardabweichung unterscheiden.
Beispiele von Binomialverteilungen für n = 40 und p variabel
Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer.
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,2
Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,4 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 16 Treffer.
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,4
Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,5 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 20 Treffer.
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,5
Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,6 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 24 Treffer.
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,6
Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,8 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 32 Treffer.
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,8
Erwartungswert einer binomialverteilter Zufallsgröße
Beim Würfeln erwarten wir, dass bei 6000 Würfen die Zahl 6 etwa 1000 mal auftritt. Das bedeutet nicht, dass die Zahl 6 tatsächlich 1000 mal auftritt. Der Erwartungswert setzt unendlich viele Experimente voraus, deren Mittelwert er darstellt.
Zusammenfassend kann man sagen:
Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p ist, n mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel n mal p Treffer.
Erwartungswert einer Binomialverteilung
Der Beweis soll an dieser Stelle nicht geführt werden. Er kann mithilfe des Binomischen Lehrsatzes erfolgen.
Bei Betrachtung der Histogramme fällt auf, sdie mit der größten Wahrscheinlichkeit auftretenden Ergebnisse dem Erwartungswert entsprechen. Die Form der Histogramme ist ähnlich, sie entspricht der einer Glocke. Für p = 0,5 liegen die Werte symmetrisch zum Erwartungswert. Für p < 0,5 ist die Verteilung „linksschief“, für p > 0,5 dagegen „rechtsschief“. In der Nähe des Erwartungswertes liegen die Ergebnisse mit den höchsten Wahrscheinlichkeiten. Die Höhe einer Säule entspricht der Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Ergebnisses, ihre Breite beträgt 1 Einheit. Da aber die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperimentes immer 1 ist, ergibt die Summe aller Säulenflächen ebenfalls den Wert 1. Die Fläche der Säulen in einem bestimmten Intervall ist somit ein Maß für die Wahrscheinlichkeit aller Erfolge, die in diesem Intervall liegen.
Varianz und Standardabweichung
Binomialverteilung für n = 120 und p = 0,1
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,3
Beide Binomialverteilungen haben den gleichen Erwartungswert.
Obwohl beide Verteilungen den gleichen Erwartungswert haben sehen sie unterschiedlich aus. Wir untersuchen die Streuung um den Erwartungswert. Aus der beschreibenden Statistik ist die Varianz, bzw. die Standardabweichung als Streumaß bekannt.
Analog hierzu definieren wir für Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Varianz und Standardabweichung
Speziell für Binomialverteilungen gilt:
Varianz und Standardabweichung für Binomialverteilungen
Der Beweis soll an dieser Stelle nicht geführt werden.
Bei der ersten Verteilung ist die Streuung etwas größer als bei der zweiten.
Aufgaben hierzu: Binominalverteilung I
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