Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen

Beispiele von Binomialverteilungen für n = 40 und p variabel

Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer.

Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,2

mc_195

Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,4 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 16 Treffer.

Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,4

mc_196

Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,5 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 20 Treffer.

Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,5

mc_197

Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,6 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 24 Treffer.

Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,6

mc_198

Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,8 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 32 Treffer.

Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,8

mc_199




Erwartungswert einer Binomialverteilung

Beim Würfeln erwarten wir, dass bei 6000 Würfen die Zahl 6 etwa 1000 mal auftritt. Das bedeutet nicht, dass die Zahl 6 tatsächlich 1000 mal auftritt. Der Erwartungswert setzt unendlich viele Experimente voraus, deren Mittelwert er darstellt.

Zusammenfassend kann man sagen:
Wird ein Bernoulli-Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p ist, n mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel n mal p Treffer.

Erwartungswert einer Binomialverteilung

f_1291

Der Beweis soll an dieser Stelle nicht geführt werden. Er kann mithilfe des Binomischen Lehrsatzes erfolgen.

Bei Betrachtung der Histogramme fällt auf, sdie mit der größten Wahrscheinlichkeit auftretenden Ergebnisse dem Erwartungswert entsprechen. Die Form der Histogramme ist ähnlich, sie entspricht der einer Glocke. Für p = 0,5 liegen die Werte symmetrisch zum Erwartungswert. Für p < 0,5 ist die Verteilung „linksschief“, für p > 0,5 dagegen „rechtsschief“. In der Nähe des Erwartungswertes liegen die Ergebnisse mit den höchsten Wahrscheinlichkeiten. Die Höhe einer Säule entspricht der Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Ergebnisses, ihre Breite beträgt 1 Einheit. Da aber die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperimentes immer 1 ist, ergibt die Summe aller Säulenflächen ebenfalls den Wert 1. Die Fläche der Säulen in einem bestimmten Intervall ist somit ein Maß für die Wahrscheinlichkeit aller Erfolge, die in diesem Intervall liegen.


Varianz und Standardabweichung

mc_201
Binomialverteilung für n = 120 und p = 0,1

mc_200
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,3Beide Binomialverteilungen haben den gleichen Erwartungswert.

f_1292                                                           f_1293

Obwohl beide Verteilungen den gleichen Erwartungswert haben sehen sie unterschiedlich aus. Wir untersuchen die Streuung um den Erwartungswert. Aus der beschreibenden Statistik ist die Varianz, bzw. die Standardabweichung als Streumaß bekannt.

f_1294

Analog hierzu definieren wir für Wahrscheinlichkeitsverteilungen:

Varianz und Standardabweichung

f_1295

Speziell für Binomialverteilungen gilt:

Varianz und Standardabweichung für Binomialverteilungen

f_1296

Der Beweis soll an dieser Stelle nicht geführt werden.

 f_1297                                                f_1298

Bei der ersten Verteilung ist die Streuung etwas größer als bei der zweiten.


Aufgaben hierzu: Binominalverteilung I

und Binominalverteilung II

und Binominalverteilung III




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