Partielle Integration

Integration von Produkten

Soll das Produkt zweier Funktionen integriert werden, so versagen in den meisten Fällen die bisher bekannten Methoden der Integration.

f_0865

Dieses Integral ließ sich mit der Methode der Substitution lösen, da durch die Substitution der Faktor x herausfällt. Das ist normalerweise nicht der Fall.

f_0866

Dieses Integral lässt sich nicht durch Substitution lösen. Wir entwickeln aus der Produktregel für die Differentialrechnung einen Ansatz.

f_0867
Mit Hilfe dieser Umformungen wird das Integral über ein Produkt zweier Faktoren zwar nicht gelöst, jedoch bei geschickter Wahl von u und v ‚ bzw. von u ‚ und v lässt sich der Ausdruck so umformen, dass sich die Integrale lösen lassen.




Beispiel

Die Vorgehensweise soll nun an einigen Beispielen gezeigt werden.

Beispiel 1:

f_0868

Beispiel 2:

f_0941

Beispiel 3:

f_0869

Beispiel 4:

f_0870

Dieses Beispiel zeigt, dass beim integrieren oftmals mehrere Verfahren nacheinander anzuwenden sind. Da die Zwischenergebnisse bei der partiellen Integration oft schon bekannte Integrale sind, die durch Substitution gefunden wurden, sollte man sich diese in Form einer Integraltabelle merken.

Es gibt noch weitere Verfahren und Techniken des Integrierens, auf die hier an dieser Stelle nicht eingegangen werden soll. Zu nennen sind da z.B. die Integration gebrochen rationaler Funktionen mit dem Verfahren der Partialbruchzerlegung.

Aufgaben Integration der e-Funktion, Flächenberechnungen

Aufgaben Differential- und Integralrechnung, vermischte Aufgaben I

Aufgaben Differential- und Integralrechnung: Vermischte Aufgaben II

Anwendungsaufgaben: Werbebanner und vermischte Aufgaben

weitere Aufgaben noch auf brinkmann-du.debald auch hier.



Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like auf facebook
Die Unterrichtsmaterialien gibt es in unserem Shop Pakete mit vielen PDF-Datei ab 1 Euro und für Lehrer als WORD-Dateien, die beliebig geändert werden können.