Achsenschnittpunkte und Exponentialgleichungen

Achsenschnittpunkte und Exponentialgleichungen

Nachdem wir uns mit Exponentialfunktionen und der e-Funktion beschäftigt haben, werde ich hier anhand mehrerer Beispiele zeigen, wie man die Achsenschnittpunkte dieser Funktionen berechnen kann.

Einführungsbeispiele

Beispiel 1:

Zu bestimmen sind die Achsenschnittpunkte von

f_1372

Schnittpunkte mit der x- Achse bestimmt man über die Nullstellen von f (x). Die Funktion f (x) hat keine Nullstelle, da es sich bei ihr um eine in x- Richtung verschobene und in x- Richtung gestreckte e- Funktion handelt. Sie ist außerdem noch an der y- Achse und an der x- Achse gespiegelt.

f_1373

Beispiel 2:

Zu bestimmen sind die Achsenschnittpunkte von

f_1374

Um mögliche Schnittpunkte mit des x- Achse zu bestimmen , ist der Aufwand etwas größer. Dazu sind die Nullstellen von f (x) zu bestimmen.

f_1375

Um die Schnittpunkte mit der x- Achse, also die Nullstellen einer Exponentialfunktion zu bestimmen, ist es in vielen Fällen erforderlich, eine Exponentialgleichung zu lösen.

Zusätzlich zu den bekannten Operationen, die zur Lösung von Gleichungen verwendet werden, ist es bei der Lösung von Exponentialgleichungen nötig, die Potenz- und die Logarithmengesetze zu kennen.

mc_222


Potenz- und Logarithmengesetze

Da wir im folgenden die Potenz- und Logarithmengesetze brauchen werden, habe ich hier noch einmal die wichtigsten zusammengefasst:

f_0929

Im Zusammenhang mit e- Funktionen haben Potenzen mit der Basis e und natürliche Logarithmen eine besondere Bedeutung.




Trainingsaufgaben: Anwendung der Potenz- und Logarithmengesetze.

Formen Sie folgende Potenz- und Logarithmenterme unter Verwendung der Potenz- und Logarithmengesetze um.

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4.04

5.05

6.06

7.07

8.08

9.09

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Hier finden Sie die Lösungen


Lösungsmethoden für Exponentialgleichungen

Lösung mittels Exponentenvergleich

f_1376

Eine Lösung mittels Exponentenvergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben. Das ist leider jedoch nicht immer möglich, wie folgendes Beispiel zeigen soll.

Lösung mittels Logarithmieren

f_1377

In vielen Fällen führt der Ansatz über das Logarithmieren zum Erfolg. Jedoch Exponentialgleichungen, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, können nicht logarithmiert werden. Man kann versuchen, sie mittels Substitution (Einsetzung einer Ersatzvariablen) zu lösen.

Lösung mittels Substitution

f_1378


Ausführliche Beispiele zu Exponentialgleichungen

f_1379

f_1380


f_1381

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f_1383


f_1384


f_1385




Trainingsaufgaben: Exponentialgleichungen:

Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen mit den Ihnen bekannten Methoden!

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Hier finden Sie die Lösungen


Achsenschnittpunkte berechnen

f_1386mc_223


f_1387mc_224


Aufgaben hierzu:

Eine große Hilfe bieten die Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen

Aufgaben zu Exponentialgleichungen I

und Aufgaben Exponentialgleichungen II mit e-hoch-x

und Aufgaben Exponentialgleichungen III mit gebrochenem Exponenten

und Aufgaben Exponentialgleichungen IV mit e-Funktionen

und Aufgaben Exponentialgleichungen V mit e-Funktionen und Brüchen

und Aufgaben: Exponentialgleichungen VI mit Parametern

und Aufgaben Exponentialgleichungen VII mit Sachaufgaben




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