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Aufgaben Parabeln aus gegebenen Bedingungen I

Aufgaben Parabeln aus gegebenen Bedingungen I

1.

Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion
f(x) = x^2 + a_1x + a_0 erfüllt sein, damit f(x)   keine Nullstellen besitzt?

2.

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von f(x) und g(x) in Abhängigkeit von a , wenn gilt:
f(x) = -x^2 +1 \; \, \, x \in \mathbb{R} und g(x) = ax^2 - a; \, \, x \in \mathbb{R}; \, a \in \mathbb{R}^*

3.

Gegeben sind die quadratischen Funktionen f(x) und g(x) mit
f(x) = -x^2 -3x; \, \, x \in \mathbb{R} und g(x) = 0,5x(x + 3); \, \, x \in \mathbb{R}

a) Zeichnen Sie die Graphen von f(x) und g(x) in ein Koordinatensystem. Begründen Sie ohne Rechnung warum sich f(x) und g(x) auf der x- Achse schneiden.
S(-1,5 | 2,25) ist der Scheitel von f(x) .
Geben Sie den Scheitel von g(x) an.

b) Die Gerade mit x = u schneidet für -3 < u < 0 \, f(x) in P und g(x) in Q.
Bestimmen Sie die Koordinaten von P und Q.

c) Die Strecke PQ ist eine Seite eines Rechtecks, das den beiden Parabeln einbeschrieben ist. Bestimmen Sie den Inhalt des Rechtecks für u = -1   und den Umfang U in Abhängigkeit von u .

d)Verschieben Sie die Parabel g(x) in y- Richtung so, dass die verschobene Parabel den Graphen von f(x) berührt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes.

e) Bestimmen Sie a so, dass f(a) - f(a+1) = 4 ist.

4.

Gegeben ist eine quadratische Funktion f(x) .
Bestimmen Sie a so, dass die Parabel g(x) den Graphen von f(x) berührt.
f(x) = (x - 1)(x - 2); \, \, x \in \mathbb{R}; \, \, g(x) = ax^2

5.

Zeigen Sie, dass es keinen Wert von a gibt, sodass der Graph von f(x) die Normalparabel berührt.
f(x) = ax^2 + 1




6.

Eine Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) hat ihren Scheitel in S(0 | 6) und schneidet die x-Achse im Punkt P_x(2 \sqrt{3} | 0) .
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung und zeichnen Sie den Graphen.

7.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 2. Grades f(x) schneidet die Koordinatenachsen in P_{x_1}(k | 0); \, \, P_{x_2}(-2 | 0) und in P_y(0 | -k) .
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) .

8.

Ermitteln Sie die Koeffizienten a_2 und a_1 so, dass die Funktion f(x) = a_2x^2 + a_1x + 3 an den Stellen x = -1 und x = 0,5 die gleichen Funktionswerte hat wie die Funktion g(x) = 2x - 1 .

Hier finden Sie die Lösungen.

Und hier die dazugehörige Theorie: Zusammenfassung Quadratische Funktionen.

Hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu quadratische Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.