Lösungen Lineare Gleichungen IV

Lösungen Vermischte Aufgaben zu linearen Gleichungen

1a) Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Ausführliche Lösung

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Vorgehensweise:
– auf beiden Seiten der Gleichung die Produkte ausmultiplizieren
– gleiche Summanden zusammenfassen
– Summanden mit x durch Äquivalenzumformungen auf die linke Seite bringen
– beide Seiten der Gleichung durch den Faktor, der vor x steht dividieren so dass x auf der linken Seite übrig bleibt

1b) Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Ausführliche Lösung

01b_l

1c) Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Ausführliche Lösung

01c_l
Vorgehensweise:
– auf beiden Seiten der Gleichung die Produkte ausmultiplizieren
– Summanden ordnen und zusammenfassen
– da auf beiden Seiten der Summand 2x2 auftritt, kann dieser gestrichen werden
– durch Äquivalenzumformungen x auf die linke Seite bringen

1d) Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Ausführliche Lösung

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Bemerkung: k ist eine Formvariable, auch Platzhalter genannt.

1e) Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Ausführliche Lösung

01e_l
Vorgehensweise:
– Alle Summanden, die die Variable x enthalten werden auf die linke Seite gebracht
– x wird ausgeklammert
– beide Seiten werden durch den Klammerausdruck dividiert

 

1f) Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Ausführliche Lösung

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Vorgehensweise:
– es handelt sich um eine Bruchgleichung, deren Nenner nur aus Zahlen besteht
– zuerst wird der Hauptnenner bestimmt, das ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner (kgV)
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– Multiplikation beider Gleichungsseiten mit dem Hauptnenner lässt eine Gleichung ohne Brüche entstehen



2a. Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Ausführliche Lösung

02a_l

2b. Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Ausführliche Lösung

02b_l

2c.  Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Ausführliche Lösung

02c_l
Bemerkung:
Um die Brüche auf den Hauptnenner zu bringen, muss Zähler und Nenner mit einer passenden Zahl multipliziert werden.
Dabei ist zu beachten, dass der Zähler in Klammern zu setzen ist, wenn er aus einer Summe besteht.

2d. Lösen Sie die Gleichung nach x auf.  Ausführliche Lösung

02d_l
Bemerkung:
Die Formvariable k darf nicht den Wert Null besitzen, denn durch Null darf man nicht teilen.
Nachdem die Bruchgleichung auf den Hauptnenner k gebracht wurde, kann man auf der linken Seite x ausklammern und die rechte Seite durch den Klammerausdruck teilen.

 

3a. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k. Ausführliche Lösung

03a_l
Bemerkung:
Der Lösungsterm ist ein Bruch in dem die Formvariable k vorkommt.
Da der Nenner eines Bruches nicht Null werden darf, kann k nur Werte annehmen für die der Nenner ungleich Null ist.
Man bestimmt also den Wert für k , bei dem der Nenner Null wird und schließt diesen aus.
03a_l_1
Die Lösung gilt also für alle Werte von k außer k = 2/3.

3b. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k. Ausführliche Lösung

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Bemerkung:
Im vorletzten Schritt darf der Bruch nur dann durch ( k – 1 ) gekürzt werden, wenn k ungleich 1 ist, denn sonst würde in dem Bruch 0/0 vorkommen, was nicht definiert ist.
Jetzt ist zu untersuchen, wie die Gleichung aussieht, wenn k = 1 ist.
Dazu wird der Wert 1 für k in die Ausgangsgleichung eingesetzt.

03b_2_l
Diese Gleichung gilt für alle x- Werte.
Das bedeutet:
Für k = 1 hat die Gleichung unendlich viele Lösungen und für k ungleich 1 genau eine Lösung.

3c. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k. Ausführliche Lösung

03c_l
Bemerkung:
Für k = 1 gibt es keine Lösung, da der Nenner des Bruches ungleich Null sein muss.

3d. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k. Ausführliche Lösung

03d_1_l
Bemerkung:
Im vorletzten Schritt darf der Bruch nur dann durch ( 2k +1 ) gekürzt werden, wenn k ungleich -1/2 ist, denn sonst würde in dem Bruch 0/0 vorkommen, was nicht definiert ist.
Jetzt ist zu untersuchen, wie die Gleichung aussieht, wenn k = -1/2 ist.
Dazu wird der Wert -1/2 für k in die Ausgangsgleichung eingesetzt.

03d_2_l
Diese Gleichung gilt für alle x- Werte.
Das bedeutet:
Für k = -1/2 hat die Gleichung unendlich viele Lösungen und für k ungleich -1/2 genau eine Lösung.

3e. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k. Ausführliche Lösung

03e_l
Bemerkung:
Da k2 +1 nie Null werden kann, ist die Division durch k2 +1 für alle k erlaubt.

3f. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k. Ausführliche Lösung

03f_l
Bemerkung:
Für k = 1 keine Lösung, da der Nenner dann Null würde.
Eine Vorzeichenumkehr im Zähler und im Nenner erreicht man dadurch, dass man den Faktor ( -1 ) ausklammert und kürzt.


4a. Für welche Wahl von a besitzt die Gleichung genau eine, keine oder mehr als eine Lösung? Ausführliche Lösung

04a_l
Bemerkung:
Für a = 6 besitzt die Gleichung keine Lösung.
Für alle anderen Werte von a jeweils genau eine Lösung.

4b. Für welche Wahl von a besitzt die Gleichung genau eine, keine oder mehr als eine Lösung? Ausführliche Lösung

04b_l
Bemerkung:
Für a = 2 besitzt die Gleichung keine Lösung.
Für alle anderen Werte von a jeweils genau eine Lösung.

4c. Für welche Wahl von a besitzt die Gleichung genau eine, keine oder mehr als eine Lösung? Ausführliche Lösung

04c_l
Bemerkung:
Da im Lösungsterm die Formvariable a nicht mehr auftritt, gilt die Lösung für alle Werte von a.
Die Gleichung hat für jeden Wert von a die Lösung 4/3.

4d. Für welche Wahl von a besitzt die Gleichung genau eine, keine oder mehr als eine Lösung? Ausführliche Lösung

04d_1_l

Bemerkung: Falls a = 1 ist gilt:

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Da in diesem Fall für x jede beliebige Zahl die Gleichung erfüllt, hat die Gleichung unendlich viele Lösungen falls a = 1 ist.
Sonst hat sie für jedes a nur die Lösung x = 4.

5. Ausführliche Lösung

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6. Konstruieren sie aus der Gleichung andere verschiedenartige Gleichungen, die dieselbe Lösung haben. Ausführliche Lösung

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Bemerkung:
Da jede Gleichungsseite wegen der Äquivalenz mit dem gleichen Faktor multipliziert werden darf, kann die Gleichung mit dem Formfaktor a (ungleich Null) multipliziert werden.
Das Ergebnis wird davon nicht beeinflusst.

 

7. Die Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ergibt 460. Berechnen Sie die größte Zahl. Ausführliche Lösung
Ansatz:
Die natürliche Zahl sei x.
Die auf x folgende Zahl ist dann (x + 1) und die darauf folgende ( x + 1 ) +1 = ( x + 2) usw.
Damit lässt sich die Summe von 5 aufeinander folgenden Zahlen wie folgt darstellen:
x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4).
Der Wert der Summe sei 460 und die größte Zahl ist (x + 4).

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Die größte Zahl lautet 94.

 

8. Die Differenz der Quadrate von zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlenist 55. Bestimmen Sie die beiden Zahlen. Ausführliche Lösung
Ansatz:
Die Zahl sei n.
Zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind dann n und n+1.
Die Quadrate dieser sind n2 und (n+1)2 .
Da die Differenz der zwei aufeinander folgenden Zahlen 55 sein soll, muss vom größeren Quadrat das kleinere abgezogen werden.

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9. Eine Mauer lässt sich aus 54 Reihen Ziegelsteinen der Höhe x herstellen. Nimmt der Maurer um 1,6 cm höhere Steine, so braucht er nur 45 Reihen. Berechnen Sie die Höhe x. Ausführliche Lösung
Ansatz:
Der Ziegelstein hat die Höhe x.
Mit 54 Reihen hat die Mauer eine Höhe von 54x.
Ist der Stein um 1,6 cm höher, so ist die Steinhöhe x+1,6.
Da die gesamte Höhe der Mauer gleich bleiben soll und der Maurer dafür 45 Reihen benötigt, gilt:

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Der ursprüngliche Stein hat eine Höhe von 8 cm.

Hier finden Sie die Aufgaben

und hier die Theorie Lineare Gleichungen zu Sachaufgaben



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