Lösungen Polynomgleichungen II

Lösungen Polynomgleichungen II Einfache Aufgaben
mit komplettem Lösungsweg

1a. Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung!
Ausführliche Lösung
Für diese Polynomgleichung soll durch raten eine Lösung gefunden werden. Dazu nimmt man einen Teiler vom Absolutglied (hier einen Teiler von 48). Die Zahl 1 kommt als Lösung nicht in Frage, denn 1 + 4 – 20 -48 = -63 Der Versuch mit x = -2 ergibt -8 +16 +40 – 48 = 0 führt zum Erfolg. Mit der Polynomdivision lässt sich der Grad der Polynomgleichung verringern.

01a_l

1b. Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung!
Ausführliche Lösung
Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch raten erhält man die Lösung x = 2.

01b_l

2a.Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung!

Ausführliche Lösung
Um eine Lösung durch raten oder probieren zu finden, kann man entweder den Taschenrechner benutzen oder das Horner-Schema verwenden. Hat man eine Lösung für x z. B. mit dem Taschenrechner gefunden, so muss man auf jeden Fall die Polynomdivision durchführen um das Restpolynom zu finden. Hat man hingegen mit dem Horner-Schema einen Lösungswert für x gefunden, so lässt sich aus den Koeffizienten das Restpolynom bilden. Das Horner-Schema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision. Nachfolgend soll die erste Lösung mit dem Horner-Schema gefunden werden.

02a_l
Die erste Zeile im Horner-Schema muss n + 1 Koeffizienten der Polynomgleichung enthalten, wenn der Polynomgrad n ist. Im obigen Beispiel fehlt in der Polynomgleichung der Summand mit dem Exponenten 1 also das x. Im Horner-Schema muss diese Stelle mit 0 aufgefüllt werden. Das Restpolynom hat keine Lösung, da die Diskriminante D < 0 ist.

2b. Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung!
Ausführliche Lösung
Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch raten erhält man die Lösung x = -1.

02b_l


3a. Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung!

Ausführliche Lösung
Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch raten erhält man die Lösung x = 2.

03a_l

3b. Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung!
Ausführliche Lösung
Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch raten erhält man die Lösung x = 1.

03b_l

4a. Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung!

Ausführliche Lösung
Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch einsetzen in das Horner-Schema erhält man die Lösung x = 1/2.

04a_l
Die Lösung x = 1/2 kommt zweimal vor. In diesem Fall sagt man auch x = 1/2 ist eine zweifache Lösung der Polynomgleichung.

4b. Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung!
Ausführliche Lösung
Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch einsetzen in das Horner-Schema erhält man die Lösung x = 1.

04b_l

5a. Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichungen für die jeweils eine Lösung bekannt ist.

Führen Sie dazu die Polynomdivision durch!
Ausführliche Lösung

05a_l

5b. Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichungen für die jeweils eine Lösung bekannt ist. Führen Sie dazu die Polynomdivision durch!
Ausführliche Lösung

05b_l


6a. Führen Sie die Polynomdivision durch!

Ausführliche Lösung

06a_l
Falls im zu teilenden Polynom ein Summand fehlt, sollte man diesen durch die entsprechende Potenz mit dem Koeffizienten 0 ersetzen (hier 0x2 ). Das vereinfacht die Rechnung.

6b. Führen Sie die Polynomdivision durch!
Ausführliche Lösung

06b_l
Diese Aufgabe zeigt, wie wichtig es ist die auftretenden Summanden sauber untereinander zu schreiben.

7. Zerlegen Sie in Linearfaktoren!

Ausführliche Lösung
Eine Polynomgleichung 3. Grades mit den Lösungen x1 ; x2 und x3 lässt sich auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben.
Also: ( x – x1 )( x – x2 )( x – x3 ) = 0. Das gilt in entsprechender Weise für alle Polynomgleichungen beliebigen Grades, falls deren Lösungen bekannt sind. Durch einsetzen in das Horner-Schema erhält man die Lösung x = 1.

07_l

8. Zeigen Sie: x = 1 ist doppelte Lösung von x3 -3x + 2!

Ausführliche Lösung
Falls x = 1 doppelte Lösung von x3 -3x + 2 ist, muss gelten:
( x – 1 )( x – 1 )( … ) = ( x – 1 )2 ( … ) = ( x2 – 2x +1 )( … ) = x3 -3x + 2.
Das bedeutet die Polynomdivision (x3 -3x + 2 ):( x2 – 2x +1 ) muss ohne Rest aufgehen. Das Ergebnis liefert sogar eine weitere Lösung.

08_l
Da die Polynomdivision ohne Rest aufgeht gilt:
Also ( x2 – 2x +1 ) = ( x – 1 )( x – 1 )( x + 2 ) = 0.
Damit wurde gezeigt, das x = 1 eine doppelte Lösung ist.

9. Zeigen Sie, dass die Gleichung x3 + kx2 – k2x – k3 =0 nur die Lösungen x1 = k und x2 = -k besitzt!

Ausführliche Lösung
Es ist eine Polynomdivision mit dem Produkt ( x – k )( x + k ) = x2 – k2 durchzuführen.
Das Ergebnis muss entweder ( x – k ) oder ( x + k ) lauten.

09_l
Damit gilt:
x3 + kx2 – k2x – k3 = ( x – k )( x + k )( x + k ) = 0

10. Gegeben ist die Gleichung x3 + (k + 1)x2 – (2k2 – k)x – 2k2 = 0.

Zeigen Sie, das x1 = k eine Lösung der Gleichung ist und berechnen Sie alle weiteren Lösungen!
Ausführliche Lösung

10_l

11. Gegeben ist die Gleichung x3 + (k – 1)x2 – (k + 2)x – 2k = 0.

Zeigen Sie, das x1 = -1 eine Lösung der Gleichung ist und berechnen Sie alle weiteren Lösungen!
Ausführliche Lösung

11_l

12. Gegeben ist die Gleichung x3 – 4x2 + (k + 4)x – 2k = 0.

Zeigen Sie, das x1 = 2 eine Lösung der Gleichung ist. Für welche Werte von k gibt es genau eine weitere doppelte Lösung? Stellen Sie das Ergebnis als Produkt von Linearfaktoren dar!
Ausführliche Lösung

12_l

Hier finden Sie die Aufgaben

und hier die Theorie Polynomgleichungen.

Hier weitere Aufgaben Polynomgleichungen V Text- und Parameteraufgaben.



Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Gleichungen, dort auch Links zu weiteren Aufgaben.

Diese und weitere Materialien sind in den Dateien enthalten, die Sie in unserem Shop erwerben können. Dort gibt es Pakete mit vielen PDF-Dateien für Schüler ab 1 Euro. Für Lehrer gibt es WORD-Dateien, die Sie beliebig ändern können.

Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like auf facebook.